电磁场与电磁波答案.pdf

习题与解答习题与解答 第二章 静电场 2 2- -1 1 已知分布在半径为a的半圆周上的电荷线密度 0sinl ，0，试求圆心处 的电场强度。 解解：建立直角坐标系，令线电荷位于xy平面，且以y轴为对称，如习题图2 1所示。那么 点电荷d l l在圆心处产生的电场强度具有两个分量 xE和yE。由 电荷分布以y轴为对称，左右两部分产生的xE分量 相互 抵消。因此，仅需考虑电场强度 的yE分量，即 2 0 d ddsin 4 l y l EE a 考虑到 0 dd ,sin l la，代入上式求的合 图2 1 成电场强度为 200 0 00 d sin 48 yy E ee aa 2 2- -2 2 已知均匀分布的带电圆盘半径为a，面电荷密度 为 s ，位于0z 平面，且盘心与原点重合，试求圆 盘轴线上任一点电场强度E。 解解: 如习题图 2-2 所示， 在圆盘上取一半径为r， 宽度 为dr的圆环， 该圆环具有的电荷量为d2d s qr r。 由于对称性，该圆环电荷在z轴上 任一点P产生的电厂强度仅有z分量。所以该圆环电 荷 在P产生的电场强度z分量为 3/2 22 0 d d 2() s z zrr E rz 图22 dl E a y xO y z x 0 r dr P(0,0,z) 那么，整个圆盘电荷在P产生的电场强度为 3/2 22220 00 d () 22 () a ss z zz zr rzz E ee z rzaz 2 2- -3 3 三根长度均为L，均匀线电荷密度分别为 123 , lll 的线电荷构成等边三角形。设 123 22 lll ，计算三角形中心处的电场强度。 、 解：解：如图 2-3 所示，设等边三角形位于yOz平面，其中心点为P，中心点到各边之间的距 离为 1 tan3 30 26 l bl 线电荷密度为 1l 的线段在P点产生的电场1E，因 对称性只有y分量，大小为 111 11 00 0 333 (coscos)() 30150 422243 /6 lll yEE bll 同理，线电荷密度为 2l ， 3l 的线段产生 的电场2,3E E，大小为 21 23 00 33 24 ll EE ll 由图可见，2E与3E叠加后也只有y分量， 图 2-3 11 23 00 33 cos60 48 ll yyEE ll 所以正三角形中心点处的电场为 1111 123 0000 3333 2884 llll yyyyEEEE llll 2 2- -4 4 有两根长度均为d相互平行的均匀带电直线，分别带等量异号的电荷q，它们相隔距 离为d，试求此带电系统中心处的电场。 解：解：如图 2-4 所示，由于对称性，两根线上对称位置的两对线元，在中心O处产生的电场， 其x分量相抵消为零，只有y分量。 y z x 0 l1 l3 l2 E1 E2 E3 P 下面一根线在O点产生的电场，依据库伦 定律1 2 0 sin d d 4 l y x E R 可得 112 0 (coscos) 4 l yE r 而12/ ,/2, 45135 l q drd 所以 1 2 00 /2 ( 2 /22 /2) 4/22 y q dq E d d 上面一根线在O点处产生的电场与上式相同。 故两根线在O点产生的电场为 图 2-4 2 0 2 y q E d 2 2- -5 5 两个无限长的ra和rb（ba）的同轴圆柱表面分别带有面电荷密度1和2。 计算各处的E；欲使rb处0E ，则1和2应具有什么关系？ 解：解：利用高斯定理 求解 1:0ra E 1 2 0 2 :2 al arbrlE 则 1 2 0 r a Ea r 12 3 0 22 :2 albl rbrlE 则 12 3 0 r ab Ea r 令 12 3 0 0 ab E r 得 1 2 b a 2 2- -6 6 已知同轴圆柱电容器的内导体半径为a，外导体的内半径为b。若填充介质的相对介电 常数2 r 。试求在外导体尺寸不变的情况下，为了获得最高耐压，内、外导体半径之比。 解：解：已知若同轴线单位长度内的电荷量为 1 q，则同轴线内电场强度 1 2 r q E e r 。为了使 y x dx dx -q +q d O R dE2 dE1 1 2 d 同轴线获得最高耐压，应在保持内，外导体之间的电位差U不变的情况下，使同轴线内最 大的电场强度达到最小值，即应使内导体表面ra处的电场强度达到最小值。因为同轴线 单位长度内的电容为 1 1 1 22 ln( )ln( ) q Uq C bb U aa 则同轴线内导体表面ra处电场强度为 ( )() ln( )ln( ) b UU a E a bb b a aa 令b不变，以比值 b a 为变量，对上式求极限，获知当比值 b e a 时，( )E a取得最小值，即 同轴线获得最高耐压。 2 2- -7 7 一同心球电容器由半径为a的导体球和与它同心的导体球壳构成，壳的内半径为b，球 与壳间的一半（沿径向分开）充满介电系数为 1 的均匀介质，另一半充满介电系数为 2 的 均匀介质，试求该球形电容器的电容。 解：解：在 1 与 2 两种介质的分界面上有 12ttrEEE 由于场分布具有对称性，可利用高斯定律得 2 2 1 2 22r rEqEr r 2 12 2() r q E r 内外导体间的电压为 2 1212 d11 d() 2()2 () bb r aa q rq UEr ab r 故电容为 12 2()qab C Uba 2 2- -8 8 已知内半径为a，外半径为b的均匀介质球壳的介电常数为，若在球心放置一个电荷 量为q的点电荷，试求：各区域中的电场强度；介质壳内、外表面上的束缚电荷。 解：解：先求各区域中的电场强度。根据介质中高斯定理 在0ra区域中，电场强度为 2 004 r Dq E e r 在arb区域内，电场强度为 2 4 r Dq E e r 在rb区域内，电场强度为 2 004 r Dq E e r 再求介质壳内外表面上的束缚电荷。 由于 0 ()PE ，则介质壳内表面上束缚电荷面密度为 0 0 22 ()(1) 44 nr s qq PP ee aa 外表面上束缚电荷面密度为 0 0 22 ()(1) 44 nr s qq PP ee bb 2 2- -9 9 半径为a的薄导体球壳在其内表面涂覆了一薄层绝缘膜。球内充满总电荷量为Q的电 荷，球壳上又充了电荷量Q。已知内部的电场为 4 ( / ) r Er a e ，设球内介质为真空。试求： 球内电荷分布；球壳的外表面电荷分布；球壳的电位；球心的电位。 解：解：利用高斯定律的微分形式可求出球内电荷分布，即电荷体密度。 43 022 000 4422 116 ()() r rr E r Er rr aarr 由上面已求出的球内电荷分布，可以得到球内总电荷量Q为 36 0022 0 44 0 0 624 d4d4 6 a a V rr QVr ar aa 故得球外表面等效电荷面密度为 2 0 0 22 28 2 44 s Q a aa 球壳电位 。 2 0 2 000 24 2 422 aa QQ a Edrdra aa a 球心电位 0 。 4 0 42 00 0 21 d ddd22.2 45 aa aa Q r ErErrraaa aa 2 2- -1010 已知同轴电缆内、 外导体半径分别为a和b， 其间填充两层介质， 介质分界面半径为 0 r， 内、外导体间加电压为V，求各层介质中的电场强度E；算出各层介质中的最大场强； 欲使两层介质中的最大场强相等，两层介质满足什么条件？ 解：解：设同轴电缆单位长带电荷 l ，根据高斯定理求出 12 12 ; 22 ll EE rr 内、外导体间的电压为 0 0 0 12 120 11 dd(lnln) 2 rb l ar rb UE rE r ar 故 0 120 2 11 lnln l U rb ar 得 12 00 12 120120 ; 1111 (lnln)(lnln) UU EE rrbb rr arar 各层介质最大场强出现在 0 ,ra rr处 1max2max 00 102 120120 ; 1111 (lnln)(lnln) UU EE rrbb ar arar 由 1max2max EE得 102 11 ar 故 01 2 r a 2 2- -1111 两同轴圆柱之间， 0 0部分填充介质电常数为的介质，如图 2-11 所示，求单 位长度电容。 解：解：根据边界条件，在两种介质的分界面处，有 12tt EEE 设同轴线单位长度带电 l ，可以用高斯定理解得 12 0 (2) (2) l DrDr E rEr 则 0(2 ) l E r 同轴线内、外导体间电压 0 dln (2) b l a b UE r a 图 2-11 所以单位长度的电容为 0 0 (2) ln( / ) l C Ub a 2 2- -1212 设同轴圆柱电容器的内导体半径为a，外导体半径为b，其内一半填充介电常数为 1 的介质，另一半填充介质的介电常数为 2 ，如图 2-12 所示。当外加电压为U时，试求： 电容器中的电场强度；各边界上的电荷密度；电容及储能。 解：解：设内导体的外表面上单位长度的电荷量为q。外导体的内表面上单位长度的电荷量为 q。取内、外导体之间一个同轴的单位长度圆柱面为高斯面，由高斯定理 求得 12 ()rq DD 已知 112212 , DE DE ，在两种介质的分 界面上电场强度的切向分量必须连续， 即 12EE ，求得 12 12 () q E EE r 内外导体之间的电势差为 12 dln( ) () b a qb UEr a 即单位长度内的电荷量为 图 2-12 12 1 () ln( ) qU b a a b 0 0 a b 1 2 故同轴电容器中的电场强度为 ln( ) r U E e b r a 由于电场强度在两种介质的分界面上无法相分量，故此边界上的电荷密度为零。 内导体的外表面上的电荷面密度为 12 12 12 ; ln( )ln( ) rr SS UU EE ee bb aa aa 外导体的内表面上的电荷面密度为 12 12 12 ; ln( )ln( ) rr SS UU EE ee bb bb aa 单位长度的电容为 12 () ln( ) q C b U a 电容器中的储能密度为 2 2 12 11 () 22 ln( ) e U CU b a 2 2- -1313 已知平板电容器的极板尺寸为a b，间距为d，两板间插入介质块的介电常数为， 如图 2-13 所示。试求：当接上电压U时，插入介质块所受的力；电源断开后，再插入 介质时，介质块的受力。 解：解：此时为常电位系统，因此介质块受到的电场力为 d d eW F x 常数 式中，x为沿介质块宽边b的位移。介质块插入后，引起电容量改变。设插入深度x，则电 容器的电容量为 0 00 () () axa bxa Cbx ddd 电容器的电场能量可表示为 2 2 00 1 () 22 e aU WCbx U d 那么介质块受到的x方向的电场力 为 d d eW F x 常数 2 0 () 2 aU d ab d S U + _ 0 时为常电荷系统，因此介质块受到的电场力为 图 2-13 d d eW Fq x 常数 式中，x为沿介质块宽边b的位移。介质块插入后，极板电荷量不变，只有电容量改变。此 时电容器的电场能量可表示为 22 00 11 22() e dqq W Cabx 因此介质块受到的x方向的电场力为 d d eW Fq x 常数 2 22 00 2 00 2 () ab U d bx 2 2- -1414 计算在电场 xy Eyx aa 中把带电量为2 C的电荷从(2,1, 1)移到(8,2, 1)时电 场所做的功：沿曲线 2 2xy；沿连接该两点的直线。 解：解： ddWFlq El 曲线的方程为 2 2xy，将y作为参数，则d4 dxy y 2 2 1 2 3 2 2 1 1 ddd 4 d2d 6d614 3 Wq Elq y xx y qyy yyy y qyyqq 把2qC 代入，得2 1428()WJ 在1z 平面上，点(2,1)和点(8,2)的直线方程为 11 11 yyyy xxxx ，即640xy 64,6xydxdy 2 1 2 2 2 2 1 1 1 6 ddd d(64)d 12 12 d4d(4) 2 (184)1414 228() Wq Elq y xx y qyyyy y qy yyqy qqJ 2 2- -1515 把一电量为q，半径为a的导体球切成两半，求两半球之间的电场力。 解：解：导体球储存在空气中的静电能量为 2 22 0 2 00 11 d() 4d 2248 e a qq WE Drr ra 根据虚位移法，求均匀带电球壳在单位面积上受到的静电斥力（设想在静电力作用下，球面 稍膨胀） 22 2 2 0 2 0 1 44 11 () 482 e F fW aaa q E aaa 方向为法向方向n，即 sincossin sincos xyz naaa 取力的z分量对上半球壳表面的积分为 2 2 0 00 1 cos d 2 zz Fa FaES 把 2 2 0 ,sin d d 4 q En dSa a 代入，得 2 2 2 2 24 00 0 2 2 22 0 0 22 2 22 000 cossin d d 32 sin2 2d 322 cos2 32232 z z zz q Fa Fa a q a a qq aa aa 4-1 每立方米铜中大约有 8.51028个自由电子。若铜线截面积为 10cm2，通过电流 1500A。求（a）电 子平均漂移速度； （b）电流密度。 解 （a）电子飘移速度 4 4 2819 /1500/(10 10 ) 1.1 10/ 8.5 101.6 10 JI S vm s Ne （b）电流密度 462 /1500/(10 10 )1.5 10/JI SA m 4-2 在电场作用下，真空中电子运动的平均速度是 3105m/s。若电流密度为 10A/cm2，求电子运动方 向假想垂直单位面积上的电子数。 解 451 91 8 /1010 / 310 / 1.6102.0810NJv e 4-3 一宽度为 30cm 的传输带上电荷均匀分布，以速度 20m/s 匀速运动，形成的电流所对应的电流强度 为 50A，计算传输带上的面电荷密度。 解 62 62 /50 10/30 10 8.33 10/ 20 S S JI L C m vv 4-4 （略） 4-5 孤立导体内有多余电荷，已知经电荷包围面流出的电流 Aei t50 2 . 0 ，求（a）驰豫时间； （b）初 始电荷； （c）在 t2 时间内，通过包围面的总电荷； （d）电流衰减到初始值 10所需要的时间。 解 （a）1/500.02s (b) t 时间内穿过导体表面的电荷量为 5050 0 0.20.004(1) t tt QedteC 则初始电荷为 0 0.004QC (c) t=2=0.04s 时，穿过包围面的总电荷为 2 0.00346QC (d) 解方程 50 0.1 t e，得所需时间0.0461ts 4-6 设同轴电缆内导体半径为 a，外导体的内半径为 b，填充介质的电导率为 。根据恒定电流场方程， 计算单位长度内同轴线的漏电导。 解 设 r=a 时， =U；r =b 时，=0。建立圆柱坐标系，则电位应满足的拉普拉斯方程为 2 1 0 dd r r drdr 求得同轴线中的电位 及电场强度 E 分别为 lnln ra U bb ， 1 ln r U ar b Ee 则 1 ln r U ar b J =E =e 单位长度内通过内半径的圆柱面流进同轴线的电流为 2 ln S U Id a b JS 那么，单位长度内同轴线的漏电导为 2 ln I G aU b 4-7 设双导线的半径为 a，轴线间距为 D，导线间的媒质电导率为 ，根据恒定电流场方程，计算单位 长度内双导线之间的漏电导。 解 设双导线的两根导线上线电荷密度分别为+ 和-，利用叠加原理和高斯定律可求得两导线之间垂 直连线上任一点的电场强度大小为 11 2 E rDr 那么两导线之间的电位差为 ln() D a a Da Ud a Er 单位长度内两导线之间的电流大小为 () SS D Idd Da JSES 则单位长度内两导线之间的漏电导为 / ()ln() ID GS m Da U Da a 若 Da 则单位长度内双导线之间的漏电导为 / ln() GS m D a 4-8 已知环形导体尺寸如题 4-8 图所示。试求 r=a 与 r=b 两个表面之 间的电阻。 解 建立圆柱坐标系，则电位应满足的拉普拉斯方程为 2 1 0 dd r r drdr 题 4-8 图 该方程的解为 12 ( )lnrCrC 令 0 ( )a，( )0b， 求得常数 0 1 ln C b a 。那么，电场强度为 0 ln r d - bdr r a E(r)=e 电流密度为 0 ln r b r a J =E =e 电流强度为 00 2 00 ln2ln d S d Idad dz bb a aa JS 由此求得两个表面之间的电阻为 0 2ln b a R Id 。 4-9 两半径分别为 a 和 b（ba）的同心导电球壳之间填充了非均匀材料，其电导率 krm/ ，式 中 bra ，且 m 和 k 均为常数。设内球壳电位为 V0，外球壳接地。计算（a）媒质的电阻； （b）每 个球的面电荷密度； （c）媒质中的体电荷密度； （d）每个球体上的总电荷； （e）区域中的电流密度； （f） 通过区域的电流。问当 m0 时，电阻是多少？ 解 （a）利用 A dl dR amabk bmabk m rk r m dr r dr R b a b a ln 4 1 4)( 4 2 2 amabk bmabk mV RVI ln 4 / 0 0 rr a r amabk bmabk mV a r I J 2 0 2 ln 4 r a krmr amabk bmabk mVJ E )(ln 2 0 （b）内壳外表面 )( )(ln D 2 0 2 0 kamaM mV krmr amabk bmabk mV Ea nsa 内 外壳内表面 )( )(0( 2 0 kbmbM mV aD rrsb 外 （c） v 22 0 2 02 2 2 2 )( )( 1 )( 1 rkrmM mV krmrM mV r r r Dr r r D r （d） )( 4 )( 4 0 2 2 0 kamM amV kamaM amV SQ asa 内 )( 4 )( 4 0 2 2 0 kbmM bmV kbmbM bmV SQ bsb 外 （e） r a Mr mV J 2 0 （f） M mV I 0 4 m m amabkbmabk m amabk bmabk R mm4 )ln()ln( lim 4 ln lim abk ab amabk a bmabk b m44 lim 4-10 媒质 1 的电导率为 100S/m，相对电容率为 9.6，其中的电流密度为 50A/m2，和分界面法线的夹角 为 30。如果媒质 2 的电导率为 10S/m，相对电容率为 4，其中电流密度是多少？它和分界面法线的夹 角是多少？分界面上的面电荷密度是多少？ 解 （a）电流密度 2 21 1 21 1 2 222 22 1/ 22 222 50cos3043.3 / sin3050sin30 0.25/ 100 2.5/ ()43.37/ nn tt tt nt JJA m J EEV m JEA m JJJA m （b）电流密度与分界面法线的夹角 222 arctan(/)arctan(2.5/43.3)3.3 tn JJ （c）分界面上的面电荷密度是 1210221 2 21 49.6 ()43.3() 8.854 101.165 10/ 10100 Sn JC m 4-11 已知圆柱形电容器的长度为 L，内、外电极半径分别为 a 及 b，填充的介质分为两层，分界面半径 为 c。在 a1，求：弧 片内的电位分布（设 x 轴上的电极为零电位） ；总流 I 和弧片电阻；在分界面上，D 、J 和E 是否 突变？分界面上的电荷密度 s。 解 J 线沿 方向，且垂直于电极，也垂直于等位线，因此 仅与 有关。令 1区和 2区的电位分别 为 1、2，则 2 21 112 22 2 22 212 22 1 0(,) 42 1 0(,0) 4 RrR r RrR r 边界条件为 2(0) 0， 1( ) 2 U 12 ()() 44 ， 12 1/42/4 解以上方程，得 112 ( )CC ， 234 ( )CC 利用边界条件，得 题 4-12 图 41 12 1 3121 2 30 0,5.95, (1/)(16.5/1.2) 44 32.26,20.65 2 U CC CCCUC 故 1 2 ( )5.9520.65() 42 ( )32.26(0) 4 V V 由 1 r Ee，且 J 的法线分量在分界面上连续，即 111 121 1C rr 12 J =EEee 故电流 2 1 112 11 1 735 ln 45 6.5 105.952 10ln3.317 10 30 R SR CdR IddrCd rR A JS 电阻 5 5 30 9.56 10 3.317 10 U R I 因为电流密度沿分界面法线方向连续，因此，J 连续。由于 突变，所以 E 突变，从而 D 突变。 分界面上的电荷密度 301 0210 26.31 ()() S CC EE rrr 4-13 面积为 1m2的两块平行金属板间填充三种导电媒质，厚度分别为 0.5mm、0.2mm、0.3mm，电导率 分别为 10kS/m、500S/m、0.2MS/m。两板间的有效电阻是多少？若两板间的电位差为 10mV，计算每个 区域钟的J 和E ，三种媒质中消耗的功率各是多少?总消耗功率是多少？ 解： 三层导电媒质是串联的，其总电阻为 )( 1 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 321 ddd AA d A d A d RRRR )(10515. 4 102 . 0 103 . 0 500 102 . 0 1010 105 . 0 ( 1 1 7 6 33 3 3 ）R A102 . 2 10515. 4 1010 / 4 7 3 RVI 24 /A102 . 2/JmAI JJJJ 321 mVJE/2 . 2 1010 102 . 2 / 3 4 11 mVJE/4 . 4 500 102 . 2 / 4 22 mVJE/11. 0 102 . 0 102 . 2 / 6 4 33 2 .24105 . 012 . 2102 . 2 34 1111 AdEJP 6 .193102 . 014 . 4102 . 2 34 2222 AdEJP 726. 0103 . 0111. 0102 . 2 34 3333 AdEJP )(5 .218 321 wpppP 4-14 同轴电缆内导体的半径为 10cm，外导体的半径为 40cm，两导体之间填两层媒质。里层媒质半径从 10cm 到 20cm，电导率为 50S/m，电容率为 20；外层媒质半径从 20cm 到 40cm，电导率为 100S/m， 电容率为 40。运用静电比拟的方法，求单位长度（a）各层媒质区的电容； （b）各层媒质区的电阻； （c） 总电容； （d）总电阻。 解 （a） b a ab r dr C 111 2 )/ln( 2 1 FabC 9 011 1016. 02ln/22)/ln(/2 FbcC 9 022 1032. 02ln/42)/ln(/2 （b） C G 2206 10502 2ln 2 )/ln( 2 )/ln(1 6 111 1 11 1 1 abab C R 1103 101002 2ln 2 )/ln( 6 2 2 bc R （c）F CC C 9 21 1011. 0 11 1 （d）3309 21 RRR 4-15 两同心球形导体，半径分别为 3cm 和 9cm。两球间填充两种媒质：里层媒质，半径从 3cm 到 6cm， 电导率为 50S/m，电容率为 30；外层媒质，半径从 6cm 到 9cm，电导率为 100S/m，电容率为 40。 运用静电比拟的方法，求（a）各层媒质区的电容； （b）各层媒质区的电阻； （c）总电容； （d）总电阻。 解 解 （a） 2 1 1111 44 b a r r ab dr Crrr 故 1 4 a b ba r r C rr 2 110 1 4433 6 10 2 10 63 a b ba r r CF rr 2 110 2 4446 9 10 8 10 96 b c cb r r CF rr （b）根据 C G ，则 01 1 611 11 3 26526 50 102 10 R C 02 2 611 22 4 4421 100 108 10 R C （c）总电容 11 12 1 1.6 10 11 CF CC （d）总电阻 12 30947RRR 4-16 将半径为 25mm 的半球形导体球埋入地中，如题 4-16 图所示，该导体球与无限远处之间的电阻称 为导体球的接地电阻。若土壤的电导率为 10S/m，试求导体的接地电阻。 解 已知半径为 a 的孤立导体与无限远处之间的电容为 C=4a，那么根据静电比拟，埋地导体球的电 阻 R 为 1 4 RCR Ca 对于埋地的导体半球，表面积减小了一半，故电阻加倍，即 6 1 6.36 10 2 R a 若一张矩形导电纸的电导率为 ，面积为 ab，四周电位如题错误错误!未找到引用源。未找到引用源。图所示。试求： 导电纸中电位分布；导电纸中电流密度。 解 建立直角坐标系，根据给定的边界条件，得 0 0 y y ，0 y b y ， ( 0)xa 题错误!未找到引用源。图 题题 4-16 图图 (0, )0y， 0 ( , )a y， ( 0)yb 导电纸区域中电位的通解为 0000 1 ( , )()()sinhcoshsincos nnnnnnnn n x yA xBC yDAk xBk x Ck yDk y 由边界条件 0 0 y y 和0 y b y 得 000 1 ()sinhcosh0 nnnnnn n A xB CAk xBk x C k y 000 1 ()sinhcoshsincos0 nnnnnnnn n A xB CAk xBk x Ck bDk b 由此求得常数：0 n C ，其中 n=0，1，2，3， n n k b ，其中 n=1，2，3， 代入上式，得 00 1 ( , )sinh()cosh()cos() nn n nnn x yA xBAxBxy bbb 由边界条件(0, )0y， 0 ( , )a y，得 000 1 0 1 sinh()cosh()cos() cos()0 nn n n n nnn A aBAaBay bbb n BBy b 由此求得常数： 0 n B ，其中 n=0，1，2，3， 0 0 A a ，0 n A ，其中 n=1，2，3， 那么导电纸中的电位分布为 0 ( , )x yx a 由 0 x a Ee，求得导电纸中电流密度为 0 ( , ) x x y a JEe 5-1 真空中边长为 a 的正三角形导线回路，电流为 I，求回路中心的磁场。 解 由于其对称性，故回路中心的磁场垂直于三角形平面。一条边的电流产生的磁感应强度为 0 112 00 coscos 4 3 (cos30cos30 ) 2 4 () 2 3 I B r II a a 故合成磁场为 0 9 2 total I B a 5-2 求题 5-2 图中 P 点的磁感应强度。 解 3 0 4 R RlIdu B yx ayaR )05. 0(2 1 半圆产生的磁感应强度 1 . 0 0 2/322 0 1 )05. 0(2 2 4 y adyIu B z 7 105 . 2 上下两边产生的磁感应强度 4 42 102 BB 左边产生的磁感应强度 4 0 3 0 3 1028. 6 05. 0 )05. 0(05. 0 4 aad Iu B 总的磁感应强度 35 1003. 1B 总 5-3 在氢原子中，电子绕半径为 5.310-11m 的圆轨道运动，速度为 2200m/s，求圆轨道圆心处的磁场。 解 71 9 20 21 12 41 01 . 61 02 2 0 0 1 . 2 51 0 44(5.3 10) qv BT R 5-4 当半径为 a 的均匀带电圆盘的电荷面密度为 s，若圆盘绕其轴线以角速度 旋转，试求轴线上任 一点磁感应强度。 解 将圆盘分割成很多宽度为 dr 的同心载流圆环 dI，它在 z 处产生的磁感应强度为 2 0 223/2 2() z r dI d rh Be 因为 2 2 S d Ird r 题 5-2 图 所以 322 00 223/2 022 2 2 22() a SS zz r draz z rh az Bee 5-5 已知电流环半径为 a，电流为 I，电流环位于 z0 平面，如题 5-5 图所示。试求 P（0，0，h）处 的磁感应强度。 解 由毕-萨定律得 0 3 4 l Id R lR B 由于 rz ah Ree，dad le 故 2 0 223/2223/2 0 4()() zr Iaadhd ahah ee B 所以 2 0 223/2 2() z Ia ah Be 5-6 已知 N 边正多边形的外接圆半径为 a，当通过的电流为 I 时，试证多边形中心的磁感应强度为 )tan( 2 0 Na NI eB n N aa I 12 O 解 如图所示，载流线圈每边在中心O处产生的磁感应强度为 0 112 00 (coscos) 4 cos()cos()tan() 222 4cos() n nn I r II NNaN a N Be ee 则 N 边形在中心处产生的磁场为 0 1 tan() 2 n NI N aN BBe 题 5-5 图 题 5-9 图 当N 时， 00 limtan() 22 nn N NII aNa Bee 5-7 一个半径为 b、长度为 L 的圆柱体，由极细的导线密绕 N 匝。若导线中电流为 I。求在圆柱体轴线 上任一点的磁感应强度。在圆柱中心的磁感应强度是多少？并求出在圆柱轴线末端的 B 的表达式。 解 已知半径为 b，电流为 I 的磁偶极子在中心轴上 h 高处的磁感应强度为 2 0 223/2 2() z Ib bh Be 将 dz宽度内的电流看成是线电流，代入上式得 2 0 223/2 () 2() ) z NI bdz l d bzz Be 则，通过积分得 22 00 22 223/2223/2 22 22 2 arctan() 00 33 22222 arctan() 22() )() sec 22 22sec ()() 22 ll z llzz z l z b lzz z b b NIb NIdzdm llbzzbm ll zz b NINIbd llb ll zbzb B = ee ee 中心处 0 22 1 2 1 4 z NI lb 0 Be，两端 0 22 1 2 z NI lb ll 22 BBe 当lb时， 0z N I l 0 Be， 0 11 22 z N I l ll0 22 BBeB 5-8 电量 为 50nC 的点电荷，在 磁场TeB z 2 . 1中运动，经过点 （ 3，4 ，5）时速度 为 smee yx /2000500 ，求电荷在该点所受的磁场力。 解 (5002000)1. 20. 000120. 00003 xyzxy qN -9 FvB = 5010eeeee 5-9 题 5-9 图示一个在 xy 平面上的弯曲线，通过 20A 电流。在这区域内的磁场为TeB z 25. 1。求导 线所受的力。 解 两端直线受到力为 x BIleBlIdFF 31 10042025. 1 半圆受到的力为 z BeeadIBlIdF 2 0 deBIa deeBIa xy )sin(cos 0 x BIae2 xx ea50112025. 12 合力为 x eF250 总 5-10 一根长度为 1.2m，质量为 500g 的金属棒，用一对有弹性的引线悬挂在 0.9T 的磁场中，如题 5-10 图所示。求克服悬挂引线张力所需的电流值。电流应为什么方向？ 解 0Fmg BIlF A Bl mg I537. 4 2 . 19 . 0 8 . 9500. 0 方向朝左 5-11 每边长为 10cm 的 1200 匝的正方形线圈，载有 25A 的电流。计算它在 1.2T 磁场内，由 0 至 180 旋转所需做的功。此处 为磁偶极子与磁场的夹角。 解 磁偶极矩为 22) 1010(251200 z aNIAm 其受到的转矩为 r aNIABSinBmT 即 N I A B S i nT Tddw 0 N I A B C o sdN I A B S i ndwW =1200250.1 2 1.22 =720 J 5-12 当磁矩为 25Am2的磁针位于磁感应强度为 B2T 的均匀磁场中，试求磁针所受的最大转矩。 解 最大转矩为 max 25 250TmBN m 5-13 真空中边长为 a 的正方形导线回路，电流为 I，求回路中心的矢量磁位。 题 5-10 图 解 由于其对称性，合成0A。 5-14 两根平行直导线，每根长 10m，载有大小相等方向相反的 10A 电流。导线距离为 2m，如题 5-14 图所示。试计算在点 P（3，4，0）处的矢量磁位和磁感应强度。 解 设两根导线位于 yoz 平面，并且关于 z 轴对称。左面一条边的坐 标为（0，-1，z） ，右面的坐标为（0，1，z） ，则位于空间任一 点（x，y，z）的的矢量磁位为 55 00 55222222 22222200 222 0 222 44 (1)()(1)() 55 ln(1)() )ln(1