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小学数学课堂渗透数学思想的思考与举例周口市六一路小学 李红英小学数学课堂渗透数学思想的思考与举例周口市六一路小学 李红英各位领导、各位老师：大家上午好！首先感谢周口师院数学系的领导和老师给我提供这样一个机会，让我能非常荣幸的在这里和各位领导与同行进行探讨和交流。我只是一个来自教学一线的普通数学教师，今天在各位专家和各位优秀的同行面前班门弄斧，不当之处还请多多包涵！2001年在我国大范围铺开的义务教育课程改革实验，经历10个年头之后于2011年正式结束，10年的探索与实验，为我们以后持续深入的推进课程改革奠定了很好的基础，同时，义务教育数学课程标准（2011版）正式颁布 。在标准中，培养目标在原有“双基”的基础上，进一步明确提出了“基本思想”和“基本活动经验”的要求，这样就把原来的“双基”扩展为“四基”，即：基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。下面，我就个人在课堂教学中渗透数学基本思想方面的一些想法和做法与大家做一交流，不当之处敬请各位专家与同行批评指正： 思考一：什么是数学的基本思想？数学的基本思想有哪些？作为一线教师，如果连自己都不知道或不清楚数学的基本思想是什么，那么在教学中渗透数学思想就无从谈起，要想在课堂教学中渗透数学的基本思想，首先就应该透彻的了解数学基本思想。我本人开始有意识的在课堂教学中渗透数学思想，大约是在六、七年前，起因有两点： 一、多年的教学实践中一直有一些困扰我的问题：当教学和分类有关的数学内容时，无论怎么强调，总有部分孩子会出现混淆现象，比如三角形的分类：按边分可以分为等腰三角形和非等腰三角形，等腰三角形中又包含等边三角形；按角分可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。但孩子们往往会把按不同标准分出的三角形混到一起，告诉你三角形可以分为等腰三角形、直角三角形、钝角三角形等，让人哭笑不得。还有诸如五年级学习数的整除时，孩子们会把奇数、偶数、质数、合数进行混搭。另外，很多老师可能都有同感：在教学一些稍复杂应用题时，当孩子们对题意理解出现困难的时候，如果把里面的相关信息换成诸如“苹果、桔子”之类比较直观的条件，孩子们接受起来就容易得多。无论哪一届的学生，总会有部分孩子能非常熟练正确地解答课本习题，但一旦遇到稍有变化的题目就会无从下手。这些现象引起了我的深思：如果我们在课堂教学中有意识的经常渗透一些相关思想方法，对于提高孩子们的思维能力是否有一定的帮助，结果会不会好一些呢？ 二、是从吴正宪老师的课堂教学中受到启发。吴正宪老师是我们非常熟悉的小学数学教学的专家，我相信在座的很多老师可能都听过吴正宪老师的课。在她的十种教学策略中就有这样两种：“学有数学思想的数学和学会数学思维的数学”由此可见她对数学思想渗透的重视。我关注吴正宪老师的课堂教学，并在自己的课堂中进行尝试，但这些都还仅仅是肤浅的模仿。真正引发我深入思考数学思想的是2011年的一次听课活动。2011年的11月，就在我们周口师院举行的大学生教学技能大赛中，一位评委老师在答辩环节中向选手提出这样一个问题：“作为一个数学教师，应该把数学思想方法的渗透贯穿到整节课的教学中，你认为你是怎样以本课内容为载体，渗透了哪些数学思想方法，是如何渗透的？”说实在话，我不知道这个问题带给选手的是什么，但它对我的触动很大！因为我很清楚：如果我是选手，我不知道这个问题该如何回答；此外，这个问题的提出多少意味着教学改革的发展方向：向提高人的综合素养上转变而非仅仅着眼于知识和技能。作为一线教师，如果我们还墨守成规，就一定要落伍了。于是，我开始查阅大量有关数学思想的资料（包括在互联网上进行搜索），想对其有一个清楚的认识，但很遗憾，我并没有找到很系统的解释，大多都是只说出其中的一部分数学思想。也就在这个时候，义务教育数学课程标准（2011版）颁布了，开始的时候，标准并没有纸质材料下发，只能在网上阅读，而且不允许下载或打印。标准中明确提出了“数学的基本思想”，但没有更为详细的解释，这更让我感到了肩上沉重的压力。不久，义务教育数学课程标准（2011版）解读出版，这才让我对数学思想有了一个清楚的认识。在义务教育数学课程标准（2011版）解读中，对于数学的基本思想做出了这样的说明：“标准中所说的数学的基本思想主要指：数学抽象的思想、数学推理的思想、数学建模的思想。”同时强调“这里在思想的前面加了基本二字，一方面强调其重要；另一方面也希望控制其数量。”另外，除了标准解读中提出的这三种基本思想之外，南开大学数学院顾沛教授还提出了数学审美的思想，我觉得也很有道理，这样，数学的基本思想就有了四大类，即：数学抽象的思想、数学推理的思想、数学建模的思想和数学审美的思想。以上四种只是数学的基本思想，而由此演变、派生和发展出来的数学思想还有很多，这些具体的数学思想也恰恰是我们课堂教学中应该渗透和让学生感悟接受的，例如，由“数学抽象的思想”派生出来的有：分类的思想，集合的思想，数形结合的思想，“变中有不变”的思想，符号的思想，对应的思想，有限与无限的思想，等等。由“数学推理的思想”派生出来的有：归纳的思想，演绎的思想，公理化思想，转换化归的思想，联想类比的思想，逐步逼近的思想，代换的思想，特殊与一般的思想，等等。 由“数学建模的思想”派生出来的有：简化的思想，量化的思想，函数的思想，方程的思想，优化的思想，随机的思想，抽样统计的思想，等等。由“数学审美的思想”派生出来的有：简洁的思想，对称的思想，统一的思想，和谐的思想，以简驭繁的思想，“透过现象看本质”的思想，等等。 思考二：为什么要在教学中渗透数学思想？数学思想的渗透带给学生的将会是什么?使学生获得数学的基本思想是数学课程的重要目标之一。数学课程固然应该教会学生必要的数学知识，但我们不能仅仅以教会知识为目的，而应该在教会知识的过程中更多的让学生去感悟、获得数学思想。数学思想对人们认识、分析和解决问题有非常重要的作用，它告诉人们怎样思考、从什么角度去思考，它指引人们如何用数学的眼光、数学的方法去透视事物、提出概念、解决问题。同时，它又能培养人们的抽象思维能力、逻辑思维能力和数学应用能力，为学生以后的发展奠定良好的基础。“数学思想是数学学科发生、发展的根本，是探索研究数学所依赖的基础，也是数学课程教学的精髓。” 在过去的教学中，我们过分的强调对“双基”的掌握，这种强调使我们的大多数老师往往“以本为本”，而非“以人为本”，加上应试教育的影响，使我们的老师在教学中往往只见“本”不见“人”，大大忽视了课堂教学中最主要的因素：学生。而新增的“两基”就直接和人有关系，在很大程度上体现的是对人的重视。数学思想作为一种隐性的东西，虽然我们不容易对其进行量化和考核，但正是这种隐性的东西，它却能在很大程度上影响人的思想方法和思维模式。曾经有人把数学思想说成是“把具体的数学知识都忘掉以后剩下的东西”，这句话恰恰说明了数学思想对人思想方法的影响，尤其是对那些长大后不从事数学相关工作的学生，哪怕他忘记了所有的数学定理和公式，但在学习过程中获得的数学思想一定会让他受益终生。数学之所以被称为“思维的体操”，也是对数学思想对人思维能力影响的高度概括，总之，数学思想是人们数学素养的集中体现，是培养创新人才的迫切需要！ 思考三：如何在课堂教学中渗透数学思想？ 数学思想的渗透不是一朝一夕就能完成的，它需要一个长期的、坚持不懈的过程。1、结合具体教学内容渗透数学思想。数学思想的渗透不是孤立进行的，它离不开具体的教学内容。“数学基础知识和基本技能是数学教学的主要载体，需要在课堂教学中花费较多的时间，数学思想是数学教学的精髓，统领课堂教学的主线。”二者相辅相成、互相促进，正因为如此，决定了数学思想的教学必须依附于数学知识的教学。但并不是说每个知识点的教学都能渗透所有数学思想，渗透什么样的数学思想还要结合具体内容而定。“抽象”是数学的特点之一，数学抽象的思想贯穿了数学教学的始终。我曾听过一节一年级的数学课：7的认识。在这节课中，老师先播放了一段白雪公主和7个小矮人的故事，引导孩子们数出故事中有7个小矮人；然后又出示教室内打扫卫生的场景，发现打扫卫生的有7个小朋友；图片上显示的有7张桌子；教室墙上挂着7个茶杯等等。这时老师就告诉小朋友：“7个小矮人、7个小朋友、7张桌子、7个茶杯等都是一些具体的事物，我们的古人经过长期观察和思考就抽象出了数字7，他们都可以用7来表示。”在这里，我觉得老师能结合具体场景告诉孩子“7”这个数字是从具体事物中抽象出来的，这样很好。虽然这时可能孩子们还不能真正准确的理解“抽象”一词的含义，但多少会有一些印象，如果以后我们在教学中结合具体内容持续给予积极的刺激，孩子们一定会对抽象思想有一个积极的认识。如在稍后的计算教学中，可以结合“7条小鱼+2条小鱼=9条小鱼，7朵花+2朵花=9朵花”告诉孩子们古人通过观察和思考就抽象出“7+2=9”来；还有在“角的认识”中引导学生人们从对树杈、屋顶、剪刀等事物的观察中通过思考就抽象出了“角”；在“圆的认识”中启发学生人们经过长期的观察和思考从太阳、月亮、车轮、水井等抽象出了“圆”等。相信通过结合合适的内容，这样长期的给予积极的渗透，“数学抽象的思想”一定能潜移默化的影响孩子们对具体事物的分析和判断！ 由数学的抽象思想派生出来的分类思想更是贯穿了小学数学教学的始终。一年级上册就安排了分类内容，需要提出的是：根据学生的年龄特点，这时的分类教学主要是对一些具体的物体进行，而且要在老师的引导下让孩子们边说边动手操作，使孩子们明白分类是要有一定标准的，标准不同分出的类别也就不同，而且有共同特点的一类放在一起就构成了一个集合，虽然在这里还不能出现集合这一名词，但这种有意识的渗透对孩子以后感悟、掌握集合的思想是大有好处的。下面是一节一年级上册分类这一课时的教学设计片段，我们可以感受一下教师在课堂教学中对这一数学思想的渗透。举例：分类 活动一（分铅笔） 孩子们，铅笔是我们的好朋友，每天陪伴我们学习，记录了我们学习的点点滴滴，今天老师就带来了很多铅笔（形状、颜色、有无橡皮），已经分发到各个小组。现在以小组为单位，请把这些铅笔进行分类。（1）小组讨论分类方案，统一标准；（经历思考、交流的过程，体会分类是要有一定标准的）（2）引导学生分工合作，实践操作并提醒学生分出的同一类的铅笔要放在一起；（适时渗透集合思想）（3）分组汇报，说明分类方法； 生1：我们是按颜色分的 生2：我们是按长短分的 （4）汇报，丰富学生认识，让学生体验不同标准下分类结果的多样性。（在这个活动中，老师通过让学生看一看、说一说、分一分、摆一摆，利用多种感官充分让学生自己动手操作，有利于对分类的理解，突破了难点。让学生把同类铅笔放在一起实际是形成了一个集合，以此渗透集合思想。此环节采取了合作互动的方式，让学生在相互交流中受到别人的启发，培养了学生的语言表达能力和与人合作的意识，同时这也是思维内化的过程，是外在的形象思维向内在的逻辑思维转换的过程。学生在小组交流汇报时，多种分法的呈现，拓宽学生的思维，丰富了分类方法，体现了集体的智慧，呈现了不同标准下分类的多样性。） 活动二（分图片） 同学们刚才在分铅笔的过程中表现得真不错，现在老师带来了一些水果图片准备奖给一些表现突出的同学，（课件出示图片）你能帮我先给分分类吗？ （1）学生独立完成； （2）小组内说说自己的分类方法； （3）指名让学生口述自己的分类方法（教师奖给水果图片）。（这一活动的设计主要因为一年级学生以形象思维为主，学生直观的以物体的种类、颜色过渡到图片的形状，多角度的思考分类方法，有助于学生理解不同标准下分类结果的多样性，较好的发展学生的思维。）分类思想在中高年级的课程中出现更多，如：角的分类，三角形的分类，数的分类等等，只要我们能结合具体内容适时准确的让学生感悟、理解这一思想，就一定能为学生以后的发展奠定一个良好的基础！转换化归的思想在高年级教学中非常有用，例如一些平面图形面积计算公式的推导，往往是把新图形转化为学过的图形，从而得到新图形的面积计算公式（如在教学平行四边形的面积计算公式时，我们往往都是利用割补法把平行四边形转化为长方形，然后通过比较平行四边形的底和高与长方形的长和宽的关系，由长方形的面积公式推导出平行四边形的面积计算公式，在这一过程中，我们可以向学生渗透转化的思想、类比的思想和推理的思想；还有三角形和梯形的面积公式推导也是把这两种图形转化为平行四边形，进而得到面积计算方法。）；在进行不规则图形面积计算教学时，拥有转化思想的同学更是显现出了较强的解题能力。在进行这部分教学时，我曾给学生出过这样一道题： 如图：已知大正方形边长为7cm,小正方形边长为5 cm，求阴影部分的面积。 由于平时有意识的渗透，班内很多学生对转化思想并不陌生，很快，有部分学生就给出了答案：552=12.5（cm2）。为此，我曾以此为例写过一篇短文刊登在学校的校报上，全文如下：巧用转化，化繁为简 转化的思想在数学教学中有着广泛的应用，只要运用得当，往往能把复杂繁琐的计算过程进行简化，收到意想不到的效果。现就高年级一道组合图形面积的题目为例，来体会这种数学思想方法在解答问题中的妙用。如图：已知大正方形边长为7cm,小正方形边长为5 cm， 求阴影部分的面积。常规做法是： 小正方形的面积：55=25（cm2） 大正方形的面积：77=49（cm2） 三角形ABD的面积：252=12.5（cm2）或552=12.5（cm2） 三角形DEF的面积：(7-5) 72=7（cm2） 三角形BGF的面积：(7+5) 72=42（cm2） 阴影部分的面积：25+49-12.5-7-42=12.5（cm2）转化思想：三角形BGF的面积：(7+5) 72=42（cm2） 梯形CDFG的面积：(7+5) 72=42（cm2） 因此可知三角形BCH与三角形HDF面积相等，那么阴影部分面积就转化为三角形BCD的面积，即是小正方形面积的一半：252=12.5（cm2） 像这样通过转化使计算简便的例子在数学中还有很多，愿和老师们一起探索交流！ 转换化归思想除了在图形与几何领域有着广泛的体现和应用，在其它各个数学领域也有体现，如在进行小数四则运算教学时，由于小数同整数一样同属十进数，我们就可以先把小数转化成整数从而推导出小数四则计算方法；异分母分数的加减计算也是转化成同分母分数后再进行计算的，等等，在这些计算的推导过程中，还可同时渗透类比的思想和推理的思想。所以，在日常教学中，我们应该深度挖掘教材，适时渗透并引导学生学会运用这种思想，达到提高学生解决问题的目的。2009年在河南省教育学会小学实验研究专业委员会许昌年会的学术交流活动中，我有幸上了一节观摩课故事中的数学，这是一节实践应用课，在这节课中我借助一则小故事曹冲称象，向学生适时渗透了这种思想，收到良好效果。 “数学优化思想”是由数学模型思想派生出来的一种重要思想方法，利用优化思想可以有效地分析和解决问题。因此，我们应该结合教材内容，在具体的学习活动中渗透这种数学思想。下面是“找次品”一课的教学设计，我们来体会一下其中对优化思想的渗透。找次品一、创设情境、激发兴趣。 1.师：大家平时愿意帮助别人吗？老师遇到一个问题，你们愿意帮忙吗？ 2.师：最近老师买了3瓶相同的钙片，(出示三个钙片瓶)其中有1瓶我吃掉了几粒，这瓶比其他的要怎么样？（轻一些）我不注意将这瓶钙片和另外两瓶混在了一起。你能帮老师把吃过的那瓶钙片找出来？ 学生介绍各种方法。（可以数数，用手掂一掂，用天平称） 3.师：大家帮我找到了这么多方法解决问题，你认为哪种方法好，为什么？（用天平称好）在数学学习中，解决问题的方法是多种多样的，但通常都有一种最有效最简便的方法，我们把它叫做最优化的方法，下面就让我们带着优化的思想走进课堂。 二、初步认识“找次品”的基本原理 1、自主探索。 师：既然大家认为用天平称是最好的方法，怎样用天平找出这瓶钙片？我们就用双手来模拟天平，谁愿意到前边来说说自己的想法？学生汇报方案。 师据生回答板书：3（1，1，1） 1次 师：你们真聪明！在生活中我们常常会遇到这样的情况，在一些外观看似相同的物品中，混着一个质量不同轻一点或重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，像这类问题我们把它叫做“找次品”，今天我们就一起研究如何使用天平来“找次品”。 2、刚才大家很容易就从3瓶中找到了次品，如果是5瓶钙片，你还能用天平将那个次品找出来吗？请你把自己的想法借助学具摆一摆与同桌讨论交流。在交流时注意说清以下问题： （1）你把待测物品分成几份？每份是多少？ （2）天平两端各放几个？ （3）假如天平平衡，次品在哪里？假如天平不平衡，次品又在哪里？ （4）至少称几次就一定能找出次品来？ 学生汇报演示 （学生根据自己的实践情况，会出现两种方案：是一个一个的称，需要称2次；是在天平的两边各放2个，也需要称2次。在这里不急着评价哪种方法最好，只是让学生初步感知方法的多样性，为下个环节的探究做好铺垫）三、从多种方法中，寻找“找次品”的最佳方案 师：“大家都很聪明，能在5个药瓶里找出那个次品来。那你能不能解决下面的问题呢？” 1、课件出示例2 在9个零件里有1个是次品，（次品重一些），用天平称，至少称几次就一定能找出次品来？ （1）、师：这次的次品有什么不同？（次品重一些）请各组同学用学具代替零件模拟用天平称一称，小组长在纸上记录你们的操作过程，现在开始。（学生小组合作学习。） （2）师：谁愿意把你们小组的学习成果向同学们汇报一下？ 师据生回答板书： 零件个数分的份数和分法保证能找到次品的次数93，（4,4,1）393，（3,3,3）299，（1,1,1,1,1,1,1,1,1）495，（2,2,2,2,1）397，（2,2,1,1,1,1,1）494，（2,2,2,3）396，（2,2,2,1,1,1）49（设计意图：小组汇报时将学生的各种方法展示出来，使学生进一步理解并初步掌握这种分析方法。待测物品数量为9个时，只有平均分成3份称才能保证2次就找到次品，其他任何一种分法都比2次要多，这样便于学生发现规律。） 2、观察分析，寻找规律。 师：哪种方法最好？为什么？ 师：这种方法我们把被测物品分成几份？（分成三份）（4，4，1）也是分成了三份，与这种方法有什么不同？（每份同样多，是平均分）你能得出什么结论？得出结论：平均分成三份保证找到次品所用次数最少。 师：对于他的结论你有什么质疑？（平均分三份的方法在其他数中也适合吗？） 师：要想知道结论是否正确怎么办？（用其他数再试试） 那我们就验证一下。还有哪些数也可以平均分成三份？（12、15、18）为了验证方便，咱们来选12试一试。12可以分成几份？怎样分？（各组说说分法）请选择一种试一试至少需要称几次才能保证把次品找出来。 师：哪组将12平均分成3份，至少需要称几次才能保证把次品找出来？（板书：12 （4，4，4） （3次） ）有没有一种方法比3次更少。（没有）按照上面的猜想，将12平均分成3份，保证找到次品的方法是最好。大家同意吗？ 学生自由发言 师引导：被测物能平均分3份时，怎样保证找出一个次品所用次数最少？ 学生总结（把被测物平均分成三份） 师：本节课我们找的次品都是几个？（1个）并且已知了次品重或轻，我们用了什么工具？（天平）当被测物能平均分3份时，怎样做？（平均分成3份），保证找出次品所用次数最少。 出示规律：物品外观都相同，一个次品混其中，已知质量轻或重。若用天平称一称，数量平均分三份，次数最少保证行。 （设计意图:充分发挥学生的主体性，让学生通过对比，自悟出找次品的最优方案，体会解决问题策略的多样性及运用优化的方法解决问题的有效性。）类似的案例还有很多，课程改革之后，教材在编排上也呈现了大量适合渗透数学思想的内容，我们应该积极的进行挖掘和利用。如，进行计算教学是数学教学的根本任务，有计算就一定有推理，可以渗透数学推理的思想；加强数学与生活的联系，从生活中发现数学问题，分析问题，进而解决问题，这实质上是数学建模的过程，可以渗透模型思想，比如新增的“数学广角”中的部分内容，烙饼问题、鸡兔同笼问题等；还有应用常见数量关系（速度、时间、路程，单价、数量、总价等）解决问题，可以通过推导公式渗透符号思想，推理思想、转换思想等；通过图形的平移、对称、旋转的教学渗透数学审美的思想等等。2、引导学生经历探索过程，在过程中感悟数学思想。 数学思想的形成需要一定的过程，只有经历问题解决的过程，学生才能真正感悟数学思想，体会数学思想的作用、理解数学思想的精髓，才能做到知识的有效迁移、形成能力。 下面以两个课例说明这一观点：课例1、 可能性的大小(一)1、 转转盘猜一猜。教师：同学们，喜欢玩转转盘游戏吗？学生：喜欢。教师：老师这儿有一个转盘，（课件出示图1）如果转动转盘，请你猜一猜，指针可能停在哪儿呢？学生猜测：可能停在红色区域，也可能停在黄色区域。教师：也就是说有几种可能？学生：2种教师：下面，老师换一个转盘（课件出示图2）如果转动转盘，请你猜一猜，指针可能停在哪儿呢？学生猜测：可能停在红色区域，也可能停在黄色、蓝色、绿色区域。有4种可能的结果。教师：这次，老师再换一个转盘（课件出示图3）如果转动转盘，请你猜一猜，指针可能停在哪儿呢？有几种可能出现的结果？为什么？学生猜测：可能停在红色区域，也可能停在黄色、蓝色、绿色区域。有4种可能的结果。教师：转动转盘后，指针最有可能停在哪种颜色上呢？为什么？（最有可能停在红色区域，因为它占的份数多些，占的面积要大些；停在绿色区域的可能性最小，因为它占的份数少些，占的面积要小些。）教师：也就是说可能性的大小与面积的大小有关，对不对？图3图2图12、 组织活动，转转盘验证。教师：刚才同学们对转盘转动以后可能出现的结果和停在哪个区域的可能性大小进行了猜测，大家猜的对不对呢？这个谜底还是让我们通过实验来揭晓。学生小组合作进行验证。课件出示合作要求：按规则每组每个同学轮流转动两次转盘，将每次转出的结果填在记录表1中。绿色蓝色黄色红色表1教师巡视指导。教师：试验的结果和你猜想的一样吗？你有什么想法？全班交流，老师把各组汇报的结果填在表2中。绿色蓝色黄色红色6组5组4组3组2组1组表2教师：看到这个表格，你能发现什么？可能会出现两种不同的情况：（1）各组数据都是红色的多，黄色的少。（2）个别组出现了其它颜色比红色多的情况。若出现第一种情况，教师追问：为什么都是转到红色区域的次数要多些呢？引导学生说出：因为红色区域占的面积要大些。教师：占的面积与可能性的大小有什么关系呢？引导学生说出：占的面积越大，可能性就越大；占的面积越小，可能性就越小。如果出现第二种情况，则按以下教学：教师：他们组为什么会出现跟其它组不一样的情况呢？出现这种情况后我们该怎么办？（把各组的次数加起来，求出每种颜色的合计数。）教师：观察各组的结果和全班的结果，都是转到红色的可能性大，和我们猜想的一样吗？(一样)教师小结：以上我们通过猜测、验证，发现了转转盘可能性的大小与占的面积的大小有关，占的面积越大，事件发生的可能性就越大，反之，就越小。教师：如果再转一次，指针可能落在哪个区域呢？落在哪个区域的可能性大一些呢？（4种颜色的区域都有可能，但落在红色区域的可能性大一些）（这个教学环节的设计，一是让学生经历猜想、验证这样一个完整的认知过程，依靠学生自身的努力完成对可能性大小的认知，进而渗透随机的思想，让学生感悟数据的随机性和数据较多时的稳定性；二是想通过对转盘的改动，使学生的认知活动成为