医学科学研究导论的课外翻译.doc

313下319页11. 近似值 虽然建立问题的数学模型通常是最困难的步骤，他比得上用合适的方法的得到结果的近似值。原始数学模型常常与事物的本性相似，但同时这个模型很少能彻底地解决问题。 许多专业的近似值是有效的，通常其用处是在序列中那个延伸。我们必须记住这类序列大多数集中于复平面上的某个范围内，并且有限数目的条件可得到起初符合但逐渐低于那一点的近似值。此外，必须考虑到不同类型的完全收敛性和条件性，特别是多重级数。除非序列是完全收敛的，我们必须抵制重排数据顺序的诱惑，许多问题的方程式的提出，有多个参量可选择，且某一个的选择会优于另一个。适当的，数列数据近似值的选择，必须在对余数有一个更高的限制的前提下估计，不幸的是，这常常不可能实现。因此，结果具有限制性，仅在开端有效。对于任何方程式的实际有效性而言，它确实比练习值有效，有时实验性结果可以用来证明这类近似值。如果能发现序列的高级项造成一些未被注意的性质上的影响，例如，光谱线的分裂，必须承认仅仅是实验中有限数据的协调，并不意味着一个方程式是收敛的。 另一种类型的无限序列的巨大效用是方程式的正交函数，傅立叶序列是仅有的例子。它与乘方序列的差异在于收敛性和近似值的特性。例如，即使是间断方程，也尽其所能的再呈递。此外，与乘方序列相似，有限个数据得出的近似值通常在间距，而非形成一个点。通常，正交函数有多个类型，如，三角函数，指数函数，厄米函数，勒让德多项式，及拉盖尔多项式，因为每一个选择都是最佳的，这些函数值得我们去掌握其性质。一类非常重要的近似值由渐近线方程得出，它们类似于乘方序列，但却是分散的。随着条件的增多，起初近似值变好，但一段时间后，新增的条件使得近似值的情况逐渐恶化，有分散的变成无穷的。随着方程多样性的下降，有效条件的数量增加，自然的，使用适量数量的条件，对于多样性而言，只有有限的精确度是可得的，但它通常高于拥有有限个条件的收敛性序列。阶乘的斯特灵近似值是著名的渐进线方程。这个公式是： (1)若n的值在范围内足够大，这个级数将得到完美精确的百分率。虽然它的绝对差异可能是巨大的，连续近似值的方法适用范围十分的广泛。比如等式变化形成的猜想： X=f(x) (2)如果f(x)的范围是： (3)然而： (4) 是一个比第一次试解出的x。值更好的方程式的近似根（关于x。,f(x)必须是有扩展性的）。然后通过利用f(x)的x1，就可以得到下一个近似值，以此类推，通过对原有方程进行适当的重新排列的过程，也常常可以使方程快速变形成你想要的式子，比如下面这个方程的例子： (5)转化成： (6)就成了前面的方程（2）。如果开始使用的值与x十分相近，这个公式就提供了一个快速得到平方根的方法，特别是用计算器计算的时候。这个连续近似值的方法可以被代数的或算术的使用，虽然，后者更常用。因为代数方法似乎是会把简单变得更复杂（第12、13节会有更深入的讨论）有时要通过一系列的项安全方向的代换，可能才能得到一个想得到的。与上下限接近的最适的数学表达式。这个过程可能比得到某个确切的值或表达式容易。而为了达到眼下的目的，也足够了。如果一些可以忽略的值受到怀疑，这一点尤其正确。得到一个在限制条件之上的结果的实根可能十分简单。如果上限本身是可忽略的，那得到的值一定也是。这是一个从扩展式中展示可忽略的其余数的标准方法。11.8正规系统 当一个给出的问题不是孤立的，而是一个以解决的相似问题的部分，这时我们就需要建立一个符号或运算过程的正规系统。这个系统普遍的适用于问题的所有阶段并且一旦建立，任何问题的解决方法都会变得简单起来。有时，这个数量足以发展为一个新的数学分支，不过，它很少像正规系统那样大。 例如，向量代数就不过是一个在三维空间上，通过注记设计使陷入僵局的问题简单化的系统。如果仅仅只是这样一个问题需要解决，在发展或者学习这个符号的规则的时候，它将不会具有价值。因为如何可以用向量解决的问题也可以不使用向量解决。然而，当很多应用程序不得不解决的时候，时间和努力的投资也可以很快得到回报。 整个的阶级代数学而不是普通代数学知识的拓展是经常被奖励的。（“代数学”术语被数学家经常在一个更为严谨的数学理念中。）对称的代数学运算就是一个例证。这些证书呈现的不是作为普通代数学里的数字，而是对称运算，例如一架飞机对称性的反映或者关于四倍重对称轴四分之一旋转轮流。这些是代数学的原理。然后，必须有一个或者更多个为这些原理组合的模型。紫塞这种情况下，两种原理的产物被定义为对于它们成功的应用程序是等价的运算，“产物”这一名字很少被使用，因为这种组合模型有特定的运用普通代数学产物的类推法，并且为了解释一个想法而使用大量的新单词而使语言杂乱，那是不令人满意的。然而，代数学是不完整的，它经常造成对称运算优先的差别，那就是AB可能不同于BA。为了更加深入地表述关于代数学的对称运算，它在交警学，分子构造，和其他领域，回顾See11.5. 在航线代数学有了3个组合模型，称为加法，标量乘法和矢量乘法，这可能会被记录下来。其他常见的代数学包括混合代数学，阶段代数学，（Sec10.4）和使用符号的逻辑学（Sec10.5）。另外一个是实验构思设计的代数学（Sec4.8）正式的系统对代数学没有限制，但是这些例证是最基本的观点。（一样看Sec12.11） 总的来说，这并没有回报去建立一个详尽的记号法系统去解决一个可以用标准方法去解决单一问题。使用某人自己的发明并且忘记投入可能比回报更大证明合法，它很容易使人昏头昏脑，特别是为了他人。对于肉体的测心术者打开一本书处理一门他非常感兴趣的科目，而仅仅找到几个必须在其他如何有用的可以在书的剩余部分引出的知识前掌握的数学运算（可能没有其他应用领域）新分支更令人气馁了。 然而，在劳力被很好的节约，并且系统是相当简单的地方，它经常被高度利用去发展一个正常的系统。这一点对于记忆是，任何具有合理的能力的人可以构造他自己的标记法系统，或者数学运算，当需要的时候。早书中，这些分支里的数学运算已经不受限制了。11.9 一些证明的普通方法有时获得一个数学定理通过试验和归纳而缺少严格证明也是可以的。可以在偶然的情况下通过猜测得到公式，然后通过一些特殊的例子进行验证。证明这些定理有2种常用方法，反正论法和数学归纳。反正论法假定该问题的定理不是真的，然后逐步从它的反面推导出真正错误的。如果推导的过程是正确的，那么错误的结论就必须是出发点，换句话说，开始的定理的假设是不对的。数学归纳是对于依赖于构成整体所必须的因素的n的结果的初级使用的方式。它表明，如果定理对n=m正确，它必须对n=m+1正确。试验证明它对n=1正确，由此又对所有n正确。例如，思考第一个n平方的总和的公式： (1)如果对n正确，则 (2)这表明如果公式对n正确，它对n+1也正确，但公式必须标明对n=1时时正确的，它因此也对于n= 2正确，从n=3,4,5.开始也正确。它因此是普遍正确的。11.10度量大多数的数值，但不是所有，物理量被给予一个单位。例如，一个竿的长度从竿一端到另一端用一个数字的英寸来表示。这个精准的一定的量被称为主要性质，选择性质为主要的有些主观上方便的因素，它是一个惯例包括质量、长度、时间。但要强调不论如何，选择无关于宗教，只是为了用的时候方便罢了。同一种单位的数值的比，规定两个长量用同一种单位测量，单位的选择并不重要。不是因为深的哲学的因素，只是因为人选择测量长度的步骤，所以它是正确的。矿物学范围的硬度是一个物理量的代表，数值测量不具有这样的特性，因为标准是不均等的。第二性质，体积不常被用作主要性质。尽管如此它在日常生活被测量，通过直接被对照的体积单位，加仑或升。通过实验性发现Euclidean几何假定物质世界的水力应用是充足的近似等级，因此可以计量体积用一个小的度量值。因此一个长方体体积是 （1）在上述表达式中，l为长度，w是宽度，h是高度，同时k是一个常量，他们的值不依赖于计算的容器，而决定于表达它们的单位。常量k 被叫作量纲常数，在现代理论中是非常重要。如果v用加仑表示，l、w、h用英寸表示，那k的值为4.33 虽然既不必要甚至也不特别普遍，但这是有可能的。定义体积的一个特殊单位等级为的是制定量纲常量K。例如，如果长度是用英尺来测量，则表达单位叫立方英尺，如果长度是从厘米测量，制定了K单位的体积单位叫立方厘米。当一个量被特选的单位表示，为了抑制一个量纲常量，则这个量叫中级量。再次说明，这种术语并不意味着任何意义，同时相同是物质的量有时候可能被认为是初级的或中级的。对于那些初级的或中级的量的关注是有约束的，是要符合“比率条件”，viz,相同量的两个测量的比，这已经被规定，只有中级量符合这一规定，才能被科学测量所采用，但这是不标准的。这个规定有时是有价值的。当放弃比率条件的限制时。例如，氢离子集结的PH比例的情况，但量纲原则的益处就得不到了。量纲：如果比率条件被满足是被要求的，可以用来生成职工年纪了的数学关系的种类是严格受限的。假设一个被给予的中级量是被确切的独立的初级量所确定，然后用某些特殊方法测量，它的测量值将是一个有关于的测量或F所表示的有影响的形式的地方的影响=F（） （2）假设的单位因一个因素t而减少，然后能被插入F代替的数是tx，同时的值将会改变。但比率条件确保的任何改变都必须均衡与（或F）的条件，以致比/n的疯子们将均衡。离开比例不变式 （3） 由此，是一个均衡常量，然后t与表达式一致 （4）（5）“常数将不由决定，但是和的一个影响，一个精确相似的论证显示其他初级量和的决定影响也必须认为是简单能力的形成。所以最后获得K的地方是一个常量（6）其结果是如果一个量满足比