高等代数第三版王萼芳石生明著课后答案高等教育出版社.pdf

高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳 石生明）石生明）石生明）石生明） 习题解答习题解答习题解答习题解答首都师范大学首都师范大学首都师范大学首都师范大学 数学科学学院数学科学学院数学科学学院数学科学学院1100500070110050007011005000701100500070 第 1 页 共 26 页1 高等代数习题答案（一至四章）高等代数习题答案（一至四章）高等代数习题答案（一至四章）高等代数习题答案（一至四章） 第一章 多项式习题解答 1、 （1）由带余除法，得 17 ( ), 39 q xx= 262 ( ) 99 r x= （2）， 2 ( )1q xxx=+( )57r xx= + 2、 （1），（2）由得或。 2 10 0 pm qm + += = 2 2 (2)0 10 mpm qpm = + = 0 1 m pq = =+ 2 1 2 q pm = += 3、 （1） 432 ( )261339109,q xxxxx=+( )327r x= （2）q（x）=， 2 2(52 )xixi+( )98r xi= 4、 （1）有综合除法： 2345 ( )1 5(1) 10(1)10(1)5(1)(1)f xxxxxx= + （2） 234 ( )11 24(2)22(2)8(2)(2)f xxxxx=+ （3） 234 ( )24(75 )5()( 1)()2 ()()f xixii xii xixi=+ + 5、 （1）x+1（2）1（3） 2 2 21xx 6、 （1）u（x）=-x-1，v（x）=x+2（2）， 11 ( ) 33 u xx= + 2 22 ( )1 33 v xxx= （3）u（x）=-x-1, 32 ( )32v xxxx=+ 7、或 0 2 u t = = 2 3 u t = = 8、思路：根具定义证明 证：易见 d（x）是 f（x）与 g（x）的公因式。另设是 f（x）与 g（x）的任意公因式，下证( )x 。( )( )x d x 由于 d（x）是 f（x）与 g（x）的一个组合，这就是说存在多项式 s（x）与 t（x） ，使 d（x）=s（x）f（x）+t（x）g（x） 。从而，可得。即证。( )( )xf x( )( )x g x( )( )x d x 9、证：因为存在多项式 u（x） ，v（x）使（f（x） ，g（x） ）=u（x）f（x）+v（x）g（x） ，所以 （f（x） ，g（x） ）h（x）= u（x）f（x）h（x）+v（x）g（x）h（x） ，上式说明（f（x） ，g（x） ） h（x）是 f（x）h（x）与 g（x）h（x）的一个组合。 另一方面，由知。同理可得( ( ), ( )( )f x g xf x( ( ), ( ) ( )( ) ( )f x g x h xf x h x 从而是与的一个最大公因式，又( ( ), ( ) ( )( ) ( )f x g x h x g x h x( ( ), ( ) ( )f x g x h x ( ) ( )f x h x ( ) ( )g x h x 高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳 石生明）石生明）石生明）石生明） 习题解答习题解答习题解答习题解答首都师范大学首都师范大学首都师范大学首都师范大学 数学科学学院数学科学学院数学科学学院数学科学学院1100500070110050007011005000701100500070 第 2 页 共 26 页2 因为的首相系数为 1，所以。( ( ), ( )( )f x g xh x( ( ) ( ), ( ) ( )( ( ), ( ) ( )f x h x g x h xf x g x h x= 10. 证存在 u（x） ，v（x）使有因为 f（x） ，g（x）不全为 0， 所以，由消去律可得( ( ) ( )0f x g x 所以。 11.由上题结论类似可得。 12. 证 由假设，存在使（1） （2） ，将（1） （2）两式相乘得 所以( ( ), ( ) ( )1f x g x h x= 13. 证 由于 反复应用第 12 题结论，可得同理可证 从而可得 14. 证有题设知，所以存在 v（x） ，v（x）使 u(x)f(x)+v(x)g(x)=1 从而( ), ( )1f x g x= u(x)f(x)-v(x)f(x)+v(x)g(x)+v(x)g(x)=1 即u(x)-v(x)f(x)+v(x)f(x)+g(x)=1 所以 同理再有 12 题结论，即证( ( ),( )( )1f xf xg x+=( ( ),( )( )1g xf xg x+= ( ( ) ( ),( )( )1f x g xf xg x+= 15、。 13 2 i 16、 （1）由 x-2 得三重因式（2）无重因式。 高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳 石生明）石生明）石生明）石生明） 习题解答习题解答习题解答习题解答首都师范大学首都师范大学首都师范大学首都师范大学 数学科学学院数学科学学院数学科学学院数学科学学院1100500070110050007011005000701100500070 第 3 页 共 26 页3 17、当 t=3 时有三重根 x=1,；当 t=由二重根。 15 4 1 2 x= 18、 32 4270pq+= 19、a=1，b=-2 。 20、证因为 f（x）的导函数所以于是 从而 f（x）无重根。 21、证 因为，由于 a 是的 k 重根，故 a 是的 k+1 重根。代入验算知 a 是 g（x）的根。所以 s-2=k+1s=k+3，即证。 22、证必要性：设是 f（x）的 k 重根，从而是的 k-1 重根，是的 k-2重 根 。 。 。 。 ， 是 0 x 的一重根，并且不是的根。于是，而 0 x 。 充分性 由而，知是的一重根。又由于，知 0 x 0 x 是的二重根，以此类推，可知是 f（x）的 k 重根。 0 x 23、解：例如：设，那么以 0 为 m 重根。 1 1 ( )1 1 m f xx m + = + ( )m fxx= 24、证 要证明，就是要证明 f（1）=0（这是因为我们可以把看做为一个变量。 n x 有题设由，所以也就是 f（1）=0，即证。 25、当 n 为奇数时， 11 212222 22 1(1)()1()1.()1 nn nnn xxxxxxxx + =+ 当 n 为偶数时 27、 （1）利用 11 212222 22 1(1)(1)()1()1.()1 nn nnn xxxxxxxxx + =+ 剩余除法试根：有一有理根：2 （2）有两个有理根：， 1 2 1 2 （3）有五个有理根：3，-1，-1，-1，-1。 高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳 石生明）石生明）石生明）石生明） 习题解答习题解答习题解答习题解答首都师范大学首都师范大学首都师范大学首都师范大学 数学科学学院数学科学学院数学科学学院数学科学学院1100500070110050007011005000701100500070 第 4 页 共 26 页4 28、 （1）因为1 都不是它的根，所以在有理数域里不可约 2 1x+ （2）利用爱森斯坦判别法，取 p=2，则侧多项式在有理数域上不可约。 （3）不可约 （4）不可约 （5）不可约 第二章第二章第二章第二章 行列式行列式行列式行列式习题解答习题解答习题解答习题解答 1、均为偶排列 2、 （1）i=8，k=3（2）i=3k=6 3、 4、当 n=4k，4k+1 时为偶排列 当 n=4k+2,4k+3 时为奇排列 5、 (1) 2 n n k 6、正号 7、， 11233244 a a a a 12233441 a a a a 14233142 a a a a 8、 （1）原式=， （2）（3） (1) 2 ( 1)! n n n = 1 ( 1)! n n = (1)(2) 2 ( 1)! nn n = 9、解：行列式展开得一般项可表示为，列标只可以在 1,2,3,4,5 中取不同值，故三 12345 12345jjjjj a aaaa 345 j j j 个下标中至少有一个要取 3,4,5 列中一个数，从而任何一个展开式中至少要包含一个零元素，故所给行列式 中每一项的乘积必为 0，因此行列式只为零。 10、解：含有的展开项中只能是，所以的系数为 2；同理，含有的张开项中只能是 4 x 11223344 a a a a 4 x 3 x ，所以的系数为-1。 12213344 a a a a 3 x 11、证：有题设，所给行列式的展开式中的每一项的绝对值为 1。而行列式的值为 0，这说明带正号与带负 号的项数相同。根据行列式定义，其展开式中的每一项的符号是由该乘积中各因子下表排列的逆序数所决 定的，即当该乘积中各因子的第一个下标排成自然顺序，且第二下标所成排列为偶排列时，该项前面所带 符号为正，否则为负号。所以，由带正号的项与带符号的项数相等即说明奇偶排列各半。 12、解（1）因为所给行列式的展开式中只有第一行含有 x，所以若该行列式的第一行展开时含有的对 1n x 应项系数恰为乘一个范得蒙行列式于是，由为互不相同 1 ( 1)n 22 111 22 222 22 111 1 1 1 n n n nnn aaa aaa aaa 1231 , n a a aa 的数即知含有的对应项的系数不为零，因而 p（x）为一个 n-1 次的多项式。 1n x 高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳 石生明）石生明）石生明）石生明） 习题解答习题解答习题解答习题解答首都师范大学首都师范大学首都师范大学首都师范大学 数学科学学院数学科学学院数学科学学院数学科学学院1100500070110050007011005000701100500070 第 5 页 共 26 页5 13、 （1）（2）（3）48（4）160（5）（6）0 5 294 10 33 2()xy+ 22 x y 14、提示：将第二列，第三列的同时加到第一列。 15、 （1）=-6，=0，=0，=0，=12，6，=0，=0，=15，=-6， 11 A 12 A 13 A 14 A 21 A 22 A= 23 A 24 A 31 A 32 A =-3，=0，=7，=0，=1，=-2 33 A 34 A 41 A 42 A 43 A 44 A （2）=7，=-12，=3，=6，4，=-1，=-5，=5，=5，=0。 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A= 23 A 31 A 32 A 33 A 34 A 16、 （1）1（2）（3）-483（4） 13 12 3 8 17、 （1）按第一行展开，原式=。 1 ( 1) nnn xy + + （2）从第二列起个人列减去第一列： 当 n3 时，原式=0，当 n=2 时，原式=，当 n=1 时，原式= 2121 ()()aabb 11 ab （3） 1 1 ()() n n i i xmm = （4） （-2） （n-2） ！ （5）各列加到第一列得： 11 ( 1)(1)(1)! 2 n nn + 18、提示： （1）分别将第 i（i=2,3n+1）行乘以加到第一行 1 1 i a （2）从最后一行起，分别将每一行乘以 x 后加到起前一行。 （3）导出递推关系式 （4）同（3） （5）解： 高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳 石生明）石生明）石生明）石生明） 习题解答习题解答习题解答习题解答首都师范大学首都师范大学首都师范大学首都师范大学 数学科学学院数学科学学院数学科学学院数学科学学院1100500070110050007011005000701100500070 第 6 页 共 26 页6 19、 （1）=-70，=-70，=-70，=-70，=-70d 1 d 2 d 3 d 4 d =1=1=1=1 1 1 d x d = 2 2 d x d = 3 3 d x d = 4 4 d x d = （2）=324，=324，=648，=-324，=-648d 1 d 2 d 3 d 4 d =1=2=1=-2 1 1 d x d = 2 2 d x d = 3 3 d x d = 4 4 d x d = （3）=24，=96，=-336，=-96，=-168，=312d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d =4=-14=-4=-7=13 1 1 d x d = 2 2 d x d = 3 3 d x d = 4 4 d x d = 5 5 d x d = （4）=665，=1507，=-1145，=703，=-395，=212d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d =-= 1 1 d x d = 1057 665 2 2 d x d = 229 133 3 3 d x d = 37 35 4 4 d x d = 79 133 5 5 d x d = 212 665 20、证明：由得 这是一个关于的线性方程组，且他的系数行列式 为一个范得蒙行列式。由已知该行列式不为零，故线性方程组只有唯一解，即所求多项式时唯一的。 21、13.5613.48 第三章第三章第三章第三章线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组习题解答习题解答习题解答习题解答 1、 （1）无穷多解（2）无解（3） （-8,3,6,0）（4）无穷多解（5）无解 （6）无穷多解 2、 （1）（2） 1234 5111 4444 =+ 13 = 高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳 石生明）石生明）石生明）石生明） 习题解答习题解答习题解答习题解答首都师范大学首都师范大学首都师范大学首都师范大学 数学科学学院数学科学学院数学科学学院数学科学学院1100500070110050007011005000701100500070 第 7 页 共 26 页7 3、证有题设，可以找到不全为零的数使显然。事实 上，若，而不全为 0，使成立，这与线性无 关的假设成立，即证。故即向量可由线性表出。 4、证设有线性关系带入分量，可得方程组 由于，故齐次线性方程组只有零解，从而线性无关。 12 , n 5、证：设有线性关系则 当 r=n 时方程组中的未知量个数与方程个数相同，且系数行列 式为一个范德蒙行列式，即 由定理得：方程组有唯一解，就是说线性无关。 当 rn 时，令 则由上面（1）的证明可知是线性无关的。而是 的延长向量所以也线性无关。 6、证：由线性关系，则 高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳 石生明）石生明）石生明）石生明） 习题解答习题解答习题解答习题解答首都师范大学首都师范大学首都师范大学首都师范大学 数学科学学院数学科学学院数学科学学院数学科学学院1100500070110050007011005000701100500070 第 8 页 共 26 页8 。再由题设知线性无关，所以 解得，所以线性无关 7、 证：设是中任意 r 个线性无关向量组，如果能够证明任意一个向量 都可由线性表出就可以了。 事实上，向量组是线性无关的，否则原向量组的秩大于 r，矛盾。这说明 ，再由得任意性，即证。 8、证：有题设知所以 ，且等于 r。又因为线性无关，故而 的一个极大线性无关组。 9、 证： 将所给向量组用（1）表示，它的一个极大线性五官向量组用（2）表示。 若向量组（1）中每一个向量都可以由向量组（2）线性表出，那么向量组（2）就是向量组（1）的极 大线性无关组。否则，向量组（1）至少有一个向量不能由向量组（2）线性表出，此时将添加到向量 组（2）中去，得到向量组（3） ，且向量组（3）是线性无关的。 进而，再检查向量组（1）中向量是否皆可由向量组（3）线性表出。若还不能，再把不能由向量组（3） 线性表出的向量添加到向量组（3）中去，得到向量组（4） 。继续这样下去，因为向量组（1）的秩有限， 所以只需经过有限步后，即可得到向量组（1）的一个极大线性无关组。 10、 证（1）由于的对应分量不成比例，因而线性无关。 （2）因为且由可解得所以 线性无关。 再令带入已知向量后，由于相应的其次线性方程组的系数行列式为 0，因而该 齐次方程组存在非零解，即线性相关，所以可由线性表出。 11、解（1） 高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳 石生明）石生明）石生明）石生明） 习题解答习题解答习题解答习题解答首都师范大学首都师范大学首都师范大学首都师范大学 数学科学学院数学科学学院数学科学学院数学科学学院1100500070110050007011005000701100500070 第 9 页 共 26 页9 对矩阵 A 做初等行变换，可得： 所以的秩为 3，且即为所求 极大线性无关组。 （2）同理可得为所求极大线性无关组，且向量组的秩为 3. 13、设的秩为 rn，因而的秩为 n，有题设和上题知 nr 12 , n 从而 r=n。故线性无关。 12 , n 14、证：必要性。设线性无关，但是 n+1 个 n 维向量必线性相关，于是 12 , n 对于任意 n 维向量，他必可由线性表出。 12 , n 充分性：任意 n 维向量可由线性表出，特别的单位向量可由线性表 12 , n 12 , n 出，于是有上题结果即证线性无关。 12 , n 15、 证:充分性:有克莱姆法则即证. 必要性:记,则原方程组可表示成 ,有题设知,任意向量都可由表出,因此由上题结果可 12 , n 知线性无关. 12 , n 进而,下述线性关系,仅有唯一零解,故必修有,即证. 16. 由于与有相同的秩，因此他们的最大线性无关组所含向量 个数必定相等，这样的最大线性无关组也必为的极大线性 无关组，从而他们有相同的最大线性无关组。 17、 证：只要证明向量组等价即可。有题设，知可由线性表出。 高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳 石生明）石生明）石生明）石生明） 习题解答习题解答习题解答习题解答首都师范大学首都师范大学首都师范大学首都师范大学 数学科学学院数学科学学院数学科学学院数学科学学院1100500070110050007011005000701100500070 第 10 页 共 26 页10 现在把这些等式统统加起来，可得于是， （i=1,2，。r）即证也可由线性表出，从而向量组与 等价。 18、 （1）4（2）3（3）2（4）3（5）5 19、 （1）=1 时 无穷多解=-2 时无解 1 且-2 时方程组解唯一， 2 123 11(1) , 222 xxx + = = + 0且1时方程组解唯一： 32332 123 222 315912943129 , (1)(1)(1) xxx + = （ 3 ） 当 行 列 式 D0 时 ， 即 a1 且 b0 时 ， 方 程 组 有 唯 一 解 ， 且 为 123 211124 , (1)(1) babb xxx b abb a + = 当 D=0 时若 b=0 无解若 a=1 时无解当 a=1，b=时方程有无穷多解。 1 2 20、 （1）无穷多解 123 (1, 2,1,0,0),(1, 2,0,1,0),(5, 6,0,0,1)= （2）无穷多解 12 7 5 ( 1,1,1,0,0),(,0,1,3) 2 2 = = （3）无穷多解 12 13 1 ( ,1, ) 23 12 4 = （4）无穷多解 12 15 ( 1, 1,1,2,0),( ,0,0,1) 44 = = 21、 （1）（4） 其中 k 为任意常数。其中为任意常数。 （6） 其中 k 为任意常数。 高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳 石生明）石生明）石生明）石生明） 习题解答习题解答习题解答习题解答首都师范大学首都师范大学首都师范大学首都师范大学 数学科学学院数学科学学院数学科学学院数学科学学院1100500070110050007011005000701100500070 第 11 页 共 26 页11 22、解：对方程的增广矩阵做行初等表换： 于是，只有 a=0 且 b=2 时，增广矩 阵的秩与系数的秩都为 2，此时原方程组有解；当 a0 且 b2 时，原方程组都无解。当 a=0，b=2 时原 方程组与方程组同解。且其一般解为 其中为任意常数。 23、证：对方程组的增广矩阵做行初等变换，有 此时 A 的秩为 4，的秩为 4 的充分必要条件是A ，因此，原方程组有解的充分必要条件是，其次，当时，原方程组与方程组 同解，所以他的一般解为其中 k 为任意常数。 24、证：由于两个等价的线性无关组所含向量个数是相等的，不妨设是齐次线性方程组的一个 基础解系， 且与他等价， 则（i=1,2，。r）可由线性表出， 从而（i=1,2，。 i a i a r）也是其次线性方程组的解。 又由题设知线性无关，且可由线性表出，从而其次线性方程 组的任意一个解也可以由线性表出，即证也是方程组的一个基础解系。 高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳 石生明）石生明）石生明）石生明） 习题解答习题解答习题解答习题解答首都师范大学首都师范大学首都师范大学首都师范大学 数学科学学院数学科学学院数学科学学院数学科学学院1100500070110050007011005000701100500070 第 12 页 共 26 页12 25、证：由于方程组的系数矩阵的秩为 r，所以它的基础解系所含线性无关解向量的个数为 n-r。 设是方程组的一个基础解系，是方程组的任意 n-r 线性无关的解向量， 则向量组的秩仍为 n-r，且是他的一个极大线性无关组，同 理也是他的一个极大线性无关组，所以与等价，再由上题 即证。 26、证：线性方程组为有题设，是该 方程组的 t 个解，现将代入方程组，得 ， 所以 仍是方程组的一个解。即证。 第四章第四章第四章第四章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1 1、解： （1） （2） 其中 ， 2、 高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳 石生明）石生明）石生明）石生明） 习题解答习题解答习题解答习题解答首都师范大学首都师范大学首都师范大学首都师范大学 数学科学学院数学科学学院数学科学学院数学科学学院1100500070110050007011005000701100500070 第 13 页 共 26 页13 （3）采用数学归纳法，可证 事实上，当 n=2 时有结论成立。 当 n=k-1 时归纳假设结论成立，即 当 n=k 时，有 即证成立。 （4）采用数学归纳法：可证 事实上，当 n=2 时，有 结论成立。 当 n=k-1 时，有数学归纳法成立，即 于是当 n=k 时有 其中，同理可得 ，因而有 ， 高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳 石生明）石生明）石生明）石生明） 习题解答习题解答习题解答习题解答首都师范大学首都师范大学首都师范大学首都师范大学 数学科学学院数学科学学院数学科学学院数学科学学院1100500070110050007011005000701100500070 第 14 页 共 26 页14 （8）采用数学归纳法可证 事实上当 n=1 时，结论显然成立，现在归纳法假设 高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳 石生明）石生明）石生明）石生明） 习题解答习题解答习题解答习题解答首都师范大学首都师范大学首都师范大学首都师范大学 数学科学学院数学科学学院数学科学学院数学科学学院1100500070110050007011005000701100500070 第 15 页 共 26 页15 于是 结论成立 3、 （2） 4、 于是，所以故 c=0，a=d，b 任意，从而所有与 A 可交换的矩阵为其中，a，b 为任意常数。 （2）同理记 高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳 石生明）石生明）石生明）石生明） 习题解答习题解答习题解答习题解答首都师范大学首都师范大学首都师范大学首都师范大学 数学科学学院数学科学学院数学科学学院数学科学学院1100500070110050007011005000701100500070 第 16 页 共 26 页16 并设 于是 所以 比较对应的（i，j）元，可得 ， 于是所有与 A 可交换的矩阵为 于是 故得 其中 a，b，c 为任意常数。 5、 高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳 石生明）石生明）石生明）石生明） 习题解答习题解答习题解答习题解答首都师范大学首都师范大学首都师范大学首都师范大学 数学科学学院数学科学学院数学科学学院数学科学学院1100500070110050007011005000701100500070 第 17 页 共 26 页17 有 于是与 A 可交换的矩阵 B 只能是对角矩阵。 6、证 设 于是与 A 可交换的矩阵 B 只能是准对角矩阵。 7、 所以， 得 因此 A 时数量矩阵。 高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳 石生明）石生明）石生明）石生明） 习题解答习题解答习题解答习题解答首都师范大学首都师范大学首都师范大学首都师范大学 数学科学学院数学科学学院数学科学学院数学科学学院1100500070110050007011005000701100500070 第 18 页 共 26 页18 8、 9、 ， 即， 10、证设 则 因而必有，即证 A=0。 11、证AB=BA 时有，所以 AB 是对称矩阵。反之当时有 12、 13、 高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳 石生明）石生明）石生明）石生明） 习题解答习题解答习题解答习题解答首都师范大学首都师范大学首都师范大学首都师范大学 数学科学学院数学科学学院数学科学学院数学科学学院1100500070110050007011005000701100500070 第 19 页 共 26 页19 14、只要取 即可。 。 15、有题设知 n 维向量空间中的所有向量都是其次线性方程组 AX=0 的解，故方程组的基础解析含有 n 个线 性无关的解向量，所以 r（A）=0，即证 A=0。 16、 ，由 BC=0 得 因为其次线性方程组的系数行列式不为零，故他只有唯一零解，即 因而 B=0 （2）若 BC=C，则 BC-EC=(B-E)C=0,由（1）知 B-E=0，因此 B=E。 17、 于是 高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳 石生明）石生明）石生明）石生明） 习题解答习题解答习题解答习题解答首都师范大学首都师范大学首都师范大学首都师范大学 数学科学学院数学科学学院数学科学学院数学科学学院1100500070110050007011005000701100500070 第 20 页 共 26 页20 18、 故有， 19、证 ，即证 20、 所以。 高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳 石生明）石生明）石生明）石生明） 习题解答习题解答习题解答习题解答首都师范大学首都师范大学首都师范大学首都师范