2018_2019学年高中数学第二讲参数方程二圆锥曲线的参数方程1椭圆的参数方程讲义（含解析）新人教A版.docx

1椭圆的参数方程 椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x轴上的椭圆1(ab0)的参数方程是(为参数)，规定参数的取值范围是0,2)(2)中心在(h，k)的椭圆普通方程为1，则其参数方程为(为参数)椭圆的参数方程的应用：求最值例1已知曲线C：1，直线l：(t为参数)(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值思路点拨(1)由椭圆的参数方程公式，求椭圆的参数方程，由换元法求直线的普通方程(2)将椭圆上的点的坐标设成参数方程的形式，将问题转化为三角函数求最值问题解(1)曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线C上任意一点P(2cos ，3sin )到l的距离为d|4cos 3sin 6|.则|PA|5sin()6|，其中为锐角，且tan .当sin()1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为.利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大(小)值，通常是利用辅助角公式转化为三角函数求解1已知椭圆1，点A的坐标为(3,0)在椭圆上找一点P，使点P与点A的距离最大解：椭圆的参数方程为(为参数)设P(5cos ，4sin )，则|PA|3cos 5|8，当cos 1时，|PA|最大此时，sin 0，点P的坐标为(5,0).椭圆参数方程的应用：求轨迹方程例2已知A，B分别是椭圆1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求ABC的重心G的轨迹方程思路点拨由条件可知，A，B两点坐标已知，点C在椭圆上，故可设出点P坐标的椭圆参数方程形式，由三角形重心坐标公式求解解由题意知A(6,0)、B(0,3)由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为(6cos ，3sin )，点G的坐标设为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得即消去参数得ABC的重心G的轨迹方程为(y1)21.本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便2已知椭圆方程是1，点A(6,6)，P是椭圆上一动点，求线段PA中点Q的轨迹方程解：设P(4cos ，3sin )，Q(x，y)，则有即(为参数)，9(x3)216(y3)236即为所求3设F1，F2分别为椭圆C：1(ab0)的左、右两个焦点(1)若椭圆C上的点A到F1，F2的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)设点P是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程解：(1)由椭圆上点A到F1，F2的距离之和是4，得2a4，即a2.又点A在椭圆上，因此1，得b23，于是c2a2b21，所以椭圆C的方程为1，焦点坐标为F1(1,0)，F2(1,0)(2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cos ，sin )，线段F1P的中点坐标为(x，y)，则x，y，所以xcos ，sin .消去，得21即为线段F1P中点的轨迹方程.椭圆参数方程的应用：证明问题例3已知椭圆y21上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1，B2的连线分别交x轴于P，Q两点，求证：|OP|OQ|为定值思路点拨利用参数方程，设出点M的坐标，并由此得到直线MB1，MB2的方程，从而得到P，Q两点坐标，求出|OP|，|OQ|，再求|OP|OQ|的值证明设M(2cos ，sin )，为参数，因为B1(0，1)，B2(0,1)，则MB1的方程为y1x，令y0，则x，即|OP|.MB2的方程为y1x，令y0，则x.|OQ|.|OP|OQ|4.即|OP|OQ|4为定值利用参数方程证明定值(或恒成立)问题，首先是用参数把要证明的定值(或恒成立的式子)表示出来，然后利用条件消去参数，得到一个与参数无关的定值即可4求证：椭圆(ab0,02)上一点M与其左焦点F的距离的最大值为ac(其中c2a2b2)证明：M，F的坐标分别为(acos ，bsin )，(c,0)|MF|2(acos c)2(bsin )2a2cos22accos c2b2b2cos2c2cos22accos a2(accos )2.当cos 1时，|MF|2最大，|MF|最大，最大值为ac.一、选择题1椭圆(为参数)，若0,2，则椭圆上的点(a,0)对应的()AB.C2 D.解析：选A在点(a,0)中，xa，aacos ，cos 1，.2参数方程(为参数)和极坐标方程6cos 所表示的图形分别是()A圆和直线 B直线和直线C椭圆和直线 D椭圆和圆解析：选D对于参数方程(为参数)，利用同角三角函数关系消去化为普通方程为y21，表示椭圆6cos 两边同乘，得26cos ，化为普通方程为x2y26x，即(x3)2y29.表示以(3,0)为圆心，3为半径的圆3椭圆(为参数)的左焦点的坐标是()A(，0) B(0，)C(5,0) D(4,0)解析：选A根据题意，椭圆的参数方程(为参数)化成普通方程为1，其中a4，b3，则c，所以椭圆的左焦点坐标为(，0)4两条曲线的参数方程分别是(为参数)和(t为参数)，则其交点个数为()A0 B1C0或1 D2解析：选B由得xy10(1x0，1y2)，由得1.如图所示，可知两曲线交点有1个二、填空题5椭圆(为参数)的离心率为_解析：由椭圆方程为1，可知a5，b4，c3，e.答案：6已知P为曲线C：(为参数，0)上一点，O为坐标原点，若直线OP的倾斜角为，则点P的坐标为_解析：曲线C的普通方程为1(0y4)，易知直线OP的斜率为1，其方程为yx，联立消去y，得x2，故x，故y，所以点P的坐标为.答案：7已知椭圆的参数方程为(为参数)，点M在椭圆上，对应的参数，点O为原点，则直线OM的斜率为_解析：当时，故点M的坐标为(1,2)所以直线OM的斜率为2.答案：2三、解答题8已知两曲线的参数方程分别为(0)和(tR)，求它们的交点坐标解：将(0)化为普通方程得：y21(0y1，x)，将xt2，yt代入得，t4t210，解得t2，t，xt21，两曲线的交点坐标为.9已知椭圆的参数方程为(为参数)，求椭圆上一点P到直线(t为参数)的最短距离解：设点P(3cos ，2sin )，直线可化为2x3y100，点P到直线的距离d.因为sin1,1，所以d，所以点P到直线的最短距离dmin.10椭圆1(ab0)与x轴正半轴交于点A，若这个椭圆上总存在点P，使OPAP(O为原点)，求离心率e的取值范围解：设椭