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1.2 一元多项式的定义和运算,一、多项式的概念,中学多项式的定义:n个单项式(不含加法或减法运算的整式)的代数和叫多项式。,例:,4a+3b,,在多项式中,每个单项式叫做多项式的项。这是形式表达式。,后来又把多项式定义为R上的函数:,但对这两种定义之间有什么联系在中学代数中,并没有交代。,问题:,1、高等代数中采用什么观点定义多项式?,定义1:,设x是一个文字(或符号),n是一个非负整数,其中,,称为数域F上的一元多项式。,常数项或 零次项,首项 首项系数,称为i次项系数。,高等代数中采用形式观点定义多项式,它在两方面推广了中学的多项式定义:,这里x不再局限为实数而是任意的文字或符号。,系数可以是任意数域。,例1.2.1:,是Q上多项式;,是R上多项式;,是C上多项式。,都不是多项式。,定义2:,是两个多项式,,除系数为0的项之外,同次项的系数都相等。,多项式的表法唯一。,定义3:,设,最高次项,亦称为首项。,例1.2.2:,零次多项式:次数为0的多项式即非零常数。,零多项式:系数全为0的多项式。对零多项式不,个多项式不是零多项式。,首一多项式:首项系数为1的多项式。,二、多项式的运算,定义4:,设,是数域F上次数分别,定义次数,因此,在谈论多项式的次数时,意味着这,。当mn时,取 。,例1.2.3:设,其中,相乘积的和作为,的系数。得:,把 中两个系数下标之和为k的对应项,多项式的运算(加、减、乘)满足以下运算规律:,加法交换律:,加法结合律:,乘法交换律:,乘法结合律:,乘法对加法的分配律:,下面证明多项式乘法满足结合律。,证:设,现证,这只要比较两边同次项(比如t次项系数)相等即可。,左、右两边同次项的系数相等,,乘法满足结合律。,三、多项式的次数定理,定理2.1.1:设,证:设,多项式乘法没有零因子。,推论1:若,证:若f=0或g=0,则必有fg=0。,反之,若,,矛盾。,乘法消去律成立。,则,证:,定义5:,对多项
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