《工学概率统计》PPT课件.ppt

1,第二章 随机变量的分布和数字特征,2.1随机变量及其分布 2.2随机变量函数的分布 2.3随机变量的数字特征 2.4几种重要的离散型分布 2.5几种重要的连续型分布,2,2.1 随机变量及其分布,随机变量的概念 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 随机变量的分布函数,3,随机事件数量化,我们知道：一次随机试验的所有可能出现的基本结果所构成的集合被称作样本空间，而每一个可能的基本结果称为样本点。样本点的集合A称作随机事件。只包含一个样本点的集合被称作基本事件。 某些随机事件直接与数值有关(如掷骰子的结果)；也有一些试验结果初看起来与数值无关，但仍可用数字去对应，即数量化(如抽检产品的结果，合格记1，不合格记0)。 总之，任何随机试验的基本结果，都可以用数量与之相对应。,4,试验的结果能用一个数X来表示，这个数X随着试验的结果的不同而变化，即它是样本点的一个函数，这种量以后称为随机变量。,5,为什么要引入随机变量,从理论上讲，样本空间、随机事件可以是任何集合，但这对于研究带来了许多不方便。而数学上则更喜欢研究实数集合。 可以建立从样本空间到实数集合的一个映射，即对每个给定样本点，存在着唯一的一个实数()与之对应。这样就建立了一个自变量为而函数值则为实数的一个特殊的“函数”。我们称之为随机变量。 引入随机变量可以全面考察试验的一切可能结果，从而揭示客观事物存在的统计规律性。对每一个随机事件A ，都可用随机变量的取值(范围)来表示。这样，随机事件就可以用实数的数集(或点集)来表示，试验结果就具体化、数字化了。因此，引入随机变量之后，可借助微积分等方法来解决概率问题。,6,随机变量的定义,定义：随机变量是定义在样本空间S=上的一个单值实函数，记作X=X()，简记为X。 特点：随机变量取值具有不确定性，但都具有一定的概率规律。 问题：随机变量就是微积分中的变量吗？ 答案：不是。随机变量与微积分中的变量不同。随机变量随试验结果而变，即它的定义域是试验的所有可能结果，随机变量的取值事先不能确定，具有概率确定性；微积分中的变量的定义域是实数域，它的取值是确定性的。,7,一些随机变量的例子,(1) 一个射手对目标进行射击, 击中目标记为1分, 未中目标记为0分. 如果用x表示射手在一次射击中的得分, 则它是一个随机变量, 可以取0和1两个可能的值. (2) 某段时间内候车室的旅客数目记为x, 它是一个随机变量, 可以取0及一切不大于M的自然数, M为候车室的最大容量. (3) 单位面积上某农作物的产量x是一个随机变量, 它可以取一个区间内的一切实数值, 即x0,T, T是一个常数.,8,练习1（分析X、Y、Z、W等的取值情况）,(1) 用X表示随机抽验的n件产品中不合格品的数，n个小学生中患近视眼症的人数，n个企业中亏损企业的个数，定点投篮n次命中的次数，等等 (2) 用Y表示某一段时间内全国发生火灾事故的次数，电脑城某日售出的电脑台数，一小时内通过某交通路口的汽车辆数,一小时内在萧山机场降落的飞机架次,等等 (3) 用Z表示汽车每公里的耗油量，某段时间某个地区的降水量等 解： X、Y、Z都是随机变量 (1) X可能取值是0,1,2,n (2) Y可能取值是0,1,2, (3) Z可能取值 a， b内的任何一个实数(ba 0),9,练习2,从有2个一级品，3个二级品的产品中随机取出3个产品，如果用X表示取出的产品中是一级品的数.求X的取值，并求相应的概率 解：X可能取值是0,1,2. 用A1,A2表示2个一级品,B1, B2,B3表示3个二级品,从中取出3个产品的可能情况： B1B2B3 B1B2A1 B1B2A2 B1B3A1 B1B3A2 B2B3A1 B2B3A2 B1A1A2 B2A1A2 B3A1A2 即 X=0 = B1B2B3 X=1 = B1B2A1，B1B2A2，B1B3A1， B1B3A2，B2B3A1，B1B2A2 X=2 = B1A1A2，B2A1A2，B3A1A2 概率值：P(X=0)=1/10,P(X=1)= 6/10,P(X=2)=3/10。,10,随机变量的分类,按随机变量的取值情况，可将其分为两类: (1) 离散型随机变量：只可能取有限个或无限可列个值。 (2) 非离散型随机变量：可能取任何实数，情况较复杂。 而非离散型随机变量中最常用的为连续型随机变量（它的值域是一个或若干个区间）。 今后我们主要研究离散型和连续型随机变量。,11,离散型随机变量的概率分布,定义2.1：如果随机变量X只能取有限个或可列个可能值,而且取这些不同值的概率是确定的, 则称X为离散性随机变量。 定义2.2：X为离散型随机变量,其一切可取值为x1, x2, xn ;记pn=PX =xn (n=1,2,),称为X的概率函数,又称X的概率分布。 其中 X = x1, X = x2, , X = xn, 构成一完备事件组。因此概率函数具有如下性质:,12,概率分布表,为直观起见，将随机变量的可能取值及相应概率排列成概率分布表如下：,一般所说的离散性随机变量的分布就是指它的概率函数或概率分布表. 概率函数的两个性质中的性质(2)经常在解题中构成解方程的一个条件.(请记住!),13,课堂练习,14,例题与解答,例1 一批产品的废品率为5%, 从中任意抽取一个进行检验, 用随机变量X来描述废品出现的情况. 并写出X的分布. 解 用X表示废品的个数, 则它只能取0或1两个值. “X=0”表示“产品为合格”, “ X=1 ”表示“产品为废品”, 则概率分布表如下,即PX =0=0.95, PX =1=0.05, 或可写为：PX =k=0.05k0.951-k (k=0,1),15,两点分布,两点分布: 只有两个可能取值的随机变量X所服从的分布, 称为两点分布。其概率函数为： P(X=xk)=pk (k=1,2)。亦称X服从两点分布。 概率分布表为:,概率分布图为：,16,0-1分布,0-1分布: 只取0和1两个值的随机变量所服从的分布称(参数为p的)为0-1分布. 其概率函数为： P(X =k)=pk(1-p)1-k (k=0,1) 概率分布表为:,概率分布图为：,服从0-1分布的随机变量用来描述只有2种对立结果的试验称伯努利(bernouli)。,17,例题与解答,例2 产品有一,二,三等品及废品4种, 其一,二,三等品率和废品率分别为60%, 10%, 20%, 10%, 任取一个产品检验其质量, 用随机变量X描述检验结果并写出概率分布表和画出其概率函数图. 解 令“X=k“与产品为“k等品“(k=1,2,3)相对应, “X=0“与产品为“废品“相对应. X是一个随机变量, 它可以取0,1,2,3这4个值. 依题意, P(X=0)=0.1 P(X=1)=0.6 P(X=2)=0.1 P(X=3)=0.2 则可列出概率分布表并画出概率分布图:,18,续上页(概率分布表及概率分布图),X的概率分布表：,X的概率分布图：,19,例题与解答,例3 用随机变量描述掷一颗骰子的试验情况 解 令X表示掷一颗骰子出现的点数, 它可取1到6共6个自然数, 相应的概率都是1/6, 列成概率分布表和概率分布图如下： (离散型均匀分布特例),20,离散型均匀分布,如果随机变量X有概率函数:,则称X服从离散型均匀分布.,21,例题与解答,例4 社会上定期发行某种奖券, 每券1元, 中奖率为p, 某人每次购买1张奖券, 如果没有中奖下次再继续购买1张, 直到中奖为止. 求该人购买次数X的概率分布. 解 “X =1”表示第一次购买的奖券中奖, 依题意： P(X =1)=p “X =2”表示购买两次奖券, 但第一次未中奖, 其概率为1-p, 而第二次中奖, 其概率为p. 由于各期奖券中奖与否相互独立, 所以： P(X =2)=(1-p)p; “X =i”表示购买i次, 前i-1次都未中奖, 而第i次中奖, 所以： P(X =i)=(1-p)i-1p 由此，得到X的概率函数为： P(X =i)= (1-p)i-1 p (i=1,2,),22,几何分布,上例中，随机变量X的分布为 P(X =i)=p(1-p)i-1 (i=1,2,) 这类分布称几何分布,此时也称随机变量服从几何分布。这是因为： p(1-p)i-1恰是几何级数,23,几何分布描述的典型问题,假定一个试验成功的概率概率为p(0p1)，不断重复试验(p始终不变)，直到首次成功为止，用随机变量X表示试验的次数。则X的分布就是几何分布：P(X =i)= (1-p)i-1 p (i=1,2,)。 上述问题就是几何分布的经典模式。根据实际情况，可以对试验成功做各种合理解释，如：“投篮命中”、“抽检合格”、“碰上好运”等等，只要满足模式的条件，便可套用它解决问题了。,24,例题与解答,例5 盒内装有外形与功率均相同的15个灯泡, 其中10个螺口, 5个卡口, 现在需用1个螺口灯泡, 从盒中任取一个, 如果取到卡口灯泡就不再放回去. 求在取到螺口灯泡前已取出的卡口灯泡数x的分布.(几何分布？) 解 “x=0”表示第一个就取到了螺口灯泡, “x=1” 表示第一个取到卡口而第二个才取到螺口灯泡, 因此 P(x=0)=10/15=2/3 P(x=1)=(5/15)(10/14)=5/21 P(x=2)=(5/15)(4/14)(10/13)=20/273 P(x=3)=(5/15)(4/14)(3/13)(10/12)=5/273 P(x=4)=(5/15)(4/14)(3/13)(2/12)(10/11)=10/3003 P(x=5)= (5/15)(4/14)(3/13)(2/12)(1/11)=1/3003,25,如何描述连续型随机变量？,离散型随机变量的统计特征可以用概率分布描述，非离散型的该如何描述？ 对于连续型随机变量而言,用来描述离散型随机变量的概率分布的方法不再适用了.理由有(1)连续型随机变量可以取区间上的所有实数,但这些实数不能一一列举;(2)连续型随机变量在任何一个确定值的概率为0.,26,续上页,几何中不能用点的“长度” 来度量线段的长度,对于连续型的随机变量,也不能通过它取个别值的概率,来度量与其相联系的事件“在某个域内取值”的概率 例：(打靶问题)假定靶板U上每一点被击中的可能性相同，求打中区域A内的概率和点B的概率？,区域A是有无数点组成的，能否用点的概率来度量事件A的概率？不能！,27,连续型随机变量与概率密度,定义2.3：对于随机变量X，若存在非负函数f(x)，(-x+)，使对任意实数a,b (ab)都有,则称X为连续型随机变量， f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或分布密度。简记为X f(x)，(-x+)。,对连续型随机变量而言，概率的几何意义是分布密度函数曲线下方的面积 。,28,注意,由连续型随机变量定义可知： 对任何实数c，PX=c=0.即：连续型随机变量取任何一个数值的概率都为零。 在讨论连续型随机变量X在某区间上取值情况时，因区间端点的概率值总是零，故对连续型随机变量不必区分取值区间的开与闭。 即: PaXb=PaXb=PaX b=PaXb 概率为零的事件不一定是“不可能事件”。,29,PX=c=0的说明,30,概率密度函数的两个性质,连续型的概率非负性和概率完备性表现为 （1）非负性 ：f(x) 0，(- x +)； （2）归一性：,31,例题与解答,例6 若X有概率密度,试求f(x)和PcX d,其中c,da,b。 解,32,均匀分布,则称X在a, b上服从均匀分布;记作 XU(a, b) 。,由前例可知，均匀分布随机变量的概率意义是，它在取值区间a,b上任何一个子区间取值的概率，与该子区间长度成正比，与子区间在a,b中位置无关，比例系数恰好是a,b上的概率密度值。,33,例题与解答,例7.长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率.,解：设A乘客候车时间超过10分钟 X乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60),34,例题与解答,例8：已知连续型随机变量的概率密度为,试确定常数，并计算PX2,PXa2+2|Xa2 (a任意实数)。,解：由概率密度性质2，有,35,续上页,因为事件Xa2+2事件Xa2 ， 所以PXa2+2，Xa2 = PXa2+2 。因此，,36,练习3,设连续型随机变量X的密度函数为f(x)=,(1)确定系数k,(2)求P(X1),(3)求概率P(1X2),解：利用概率密度的性质，有:,得k=1,P(X1)=,e1,P(-1X2) =,=,+,=1-e2,37,分布函数,定义 2.5：若X是任意一个随机变量(可以是离散型的, 也可以是非离散型的), 对任何实数x,称函数 F(x)=P(Xx), -x 是随机变量x的分布函数。 分布函数F(x)是在区间(- , x内的“累积概率”，(cumulative distribution function),不要与单点概率混淆。 分布函数是概率论中重要研究工具,可用于描述包括离散型和连续型在内的一切类型随机变量。 易知，对任意实数a, b (ab), PaX bPX bPX a F(b)F(a) 即已知X的分布函数F(x), 就能知道X在任何一个区间上取值的概率, 从这个意义上说, 分布函数完整地描述了随机变量的变化情况。,38,例1中的分布函数,在例1中X的概率分布如下表所示:,其分布函数为：,39,例3(掷骰子)的分布函数F(x),40,0-1分布的分布函数及图,41,均匀分布的分布函数图,均匀分布密度函数为,42,均匀分布的分布函数图(续),当xa时,43,均匀分布的分布函数图(续),当axb时,44,均匀分布的分布函数图(续),当xb时,45,均匀分布的分布函数图(续),综上所述, 最后得分布函数为,注：连续型随机变量的分布函数是连续的,图形为连续曲线；离散型随机变量分布函数一般为分段函数,图形是阶梯曲线。,46,分布函数F(x)性质,注：具有这样四个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。 故该四个性质是分布函数的充分必要性。,47,分布函数与概率函数(离散型)关系,这是因为在一般的公式中, 要考虑x1,x2,并非按从小到大的次序排列的可能性. 若分布函数为F(x),则概率函数为 pk=P(X=xk)=F(xk)-F(xk-0) (k=1,2,3,),48,分布函数与分布密度(连续型)关系,对任意实数b，若X f(x)，(-x )，则PX=b0。于是,若x是f(x)的连续点，则,若X f(x)，(-x ) ，则,可见图示,49,密度与分布的关系图示,50,进一步剖析可得：,这表明f(x)不是X取值x的概率, 而是它在x点概率分布的密集程度.,51,例题与解答,例9：设X的分布函数为 求f(x)。 解：,52,例题与解答,例10:设随机变量X的概率密度为,求1) X分布函数F(x),2)P0.5 X1.5)。 解:1),53,续上页,所以，分布函数为：,54,续上页,2) P0.5 X1.5)=P0.5X1.5 =F(1.5)-F(0.5)=7/8 1/8 =6/8=3/4,55,例题与解答,例11：设随机变量X只能取一个值c，即 PX=c=1 (此时，称X服从“退化分布”) 求X的分布函数。 解：由分布函数与概率函数的关系可知：,注：当变量X服从退化分布时，实际上它已经是确定性变量了；为了方便分析分析我们将它看成随机变量的极端特例。,56,例题与解答,例12：已知连续型随机变量X的分布函数为 F(x)=A+Barctanx 。试确定A、B及f(x)。 解：由分布函数性质3，可知 F(-)=A-(/2)B=0, F()=A+(/2)B=1 得A=1/2，B=1/ 。 所以由分布函数与分布密度的关系，得,注：具有上述分布的随机变量亦称服从“柯西分布”。,57,练习,求系数k及分布函数F(x), 并计算P(1.5X2.5),例：已知连续型随机变量X有概率密度,练习解答,58,练习解答,解：因为,59,续上页(1),则 f(x) 及其图形如下,60,续上页(2),当x0时,61,续上页(3),当0x2时,62,续上页(4),当x2时,63,续上页(5),综合前面最后得,64,续上页(6),将概率密度函数f(x)与分布函数F(x)对照,65,续上页(7),现根据概率密度函数和分布函数分别计算概率P1.5X2.5 根据分布函数计算: P1.5X2.5= P1.5X2.5 =F(2.5)-F(1.5) =1-(1.52/4)+1.5=1-0.9375=0.0625 根据概率密度函数进行计算则是,66,续上页(8),用两种方法计算P1.5X2.5的示意图,67,作业,1 11 14 20,68,2.2随机变量函数的分布,离散型随机变量函数的分布 连续型随机变量函数的分布,随机变量的函数：设X是随机变量，g(x)是x的一个函数(一般连续)，如果当随机变量X取值x时，另一个随机变量Y必取值g(x)，则称随机变量Y是X的函数，记作Y= g(X)。 显然，随机变量的函数仍为随机变量。 问题:如何由随机变量X的分布求其函数Y= g(X)的分布？(有时X分布易知，而Y的分布难求),69,离散型随机变量函数的分布,求离散型随机变量函数分布的一般思想方法,或： Yg(X)PYg(xk)pk ， k1, 2, (若其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。),70,例题与解答,例1:已知X的分布律如下表，求Y=2X-1和Z=X2的概率分布。,解:由函数关系易知 Y的可取值为:-3,-1,1;分布律为:,Z的可取值为: 0,1;分布律为:,PZ=0=PX=0=1/3 PZ=1=PX=-1+PX=1=2/3,PY=-3=PX=-1=1/3 PY=-1=PX=0=1/3 PY=1 =PX=1=1/3,71,连续型随机变量函数的分布,求连续型随机变量函数分布的“分布函数法” 若Xf(x), -x+, Y=g(X)为随机变量X的函数,则先将事件“Y在范围Yy取值”转化为“X在相应范围I(y): g(X) y内取值”,然后求Y的分布函数 FY(y) PYyPg(X) y,最后再求Y的密度函数,这种方法就是所谓的“分布函数法”,72,73,74,例题与解答,例2.设X在-1,1上服从均匀分布即X U(-1,1),求Y=X2的分布函数与概率密度。 解:,当0y1时,当y0时,当y1,(x21)时,y=x2,=PYy=PX2y=,75,例题与解答,例3.设X的概率密度为fX(x),y=g(x)是x的严格单调可导函数且导数恒不为零，求Y=g(X)的概率密度。 解：Y的分布函数为,若y=g(x)单调递减,则 FY(y)=PYy=Pg(X)y =PXg-1(y)=1-FX(g-1(y) Y的概率密度为,若y=g(x)单调递增,则 FY(y)=PYy=Pg(X)y =PX g-1(y)=FX(g-1(y) Y的概率密度为,76,“公式法”求分布(定理2.2),若XfX(x), y=g(x)是单调可导函数且导数恒不为零.记x=h(y)为yg(x)的反函数,(a,b)是yg(x)的值域,其中-ab+,则Y=g(X)是连续型随机变量,其密度为,注意： 1 只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用以上公式推求Y的密度函数。 2 注意定义域的选择,77,练习,78,79,例题与解答,例4.已知XfX(x)，Y=eX，Z=X2，分别求fY(y)和fZ(z)；其中fX(x)=1/(1+x2)。 解：y=ex是单调可导函数，并且y0,其反函数x=lny可导且(lny)=1/y 0，由定理2.2，有,(这里因“Y0”等价于“eX 0”是不可能事件,故FY(y)=0，fY(y)=0。),80,续上页(1),对Z=X2 ，由于g(x)=x2不是单调函数,故只能用“分布函数法”。 当z0时,FZ(z)=PZz=PX2z=0 。 fZ(z)=0 当z0时，FZ(z)=PZz=PX2z,81,续上页(2),因此，Z的概率密度为,82,2.3随机变量的数字特征,数学期望的概念 数学期望的简单性质 方差 切贝绍夫不等式* 矩,通常求出随机变量的分布并不是一件容易的事, 而人们更关心的是用一些数字来表示随机变量