课件：孙会元固体物理基础第四章晶格振动和晶体的热性质长波近似.ppt

4.2 长波近似,二、长光学波,本节主要内容:,一、 长声学波,4.2 长波近似,前面已知声学波中,相邻原子都沿同一方向振动;光学波中,原胞内的不同原子相对地作振动.,把波长很长的声学波简称为长声学波,把波长很长的光学波简称为长光学波.下面讨论它们的特点.,当波长比原胞的线度大得多时, 声学波代表了原胞质心的振动,而在光学波中,原胞的质心保持不动.若晶体由正负两种离子组成,波长很长的光学波会使得晶格中出现宏观的极化.,一、长声学波,由前面一维双原子链的色散关系,声学波：,长声学波的波速： , 为常数.,表明长声学波的角频率与波矢存在线性关系,a是晶格常数，不是原子间距.,实际上,对于长声学波,不仅相邻原胞中原子振动的位相差趋近于零,而且振幅也近于相等.这是由于长声学波的波长比原胞线度大很多时,在半个波长内就已经包含了许多原胞,这些原胞都整体地沿同一方向运动.因此,晶格可以近似地看成连续介质,而长声学波也就可以近似地认为是弹性波.,长声学波的这些特性与晶体中的弹性波完全一致.,下面以一维连续介质为例,来说明长声学波与弹性波的一致性,对于一维连续介质,设x点的位移为u(x);(x+dx)点的位移为u(x +dx),因此,连续介质因位移而引起的形变(应变)为:,设介质的弹性模量为c, 因形变而产生的 恢复力为:,同理在(x-dx)点, 因形变而产生的 恢复力为:,考虑介质中x点与(x+dx)点间长度为dx的一段,设一维介质的线密度为,则长度为dx的一段介质的质量为 dx, 而作用在长度为dx的一段介质上有两个方向相反的 恢复力F (x)及F(x-dx),因此这段介质的运动方程为:,即：,亦即：,这是标准的波动方程,其解为:,式中 及 q 分别为介质弹性波的角频率和波矢, 把它代入波动方程, 可得:,由此可得弹性波的传播相速度：,对于简单情形,介质的弹性模量c相当于杨氏模量. 恢复力为:,把上式用于一维等间距的复式格子, 则应变为：,式中um+1及um 分别为第m + 1个和第 m 个原子的位移, a是晶格常数.,因此恢复力又可写为:,此外,因第m +1个原子的位移而引起的对第m个原子产生的恢复力可写为:,两式比较可得弹性模量 c 与恢复力常数 之间的关系：,对于一维复式格子,质量密度为：,又一维复式格子长声学波的波速：,一维复式格子弹性波的传播相速度：,所以弹性波的传播相速度与长声学波速度完全一致,对于长声学波,晶格可以看作连续介质.,二、长光学波,在离子晶体中，由于光学波中描述的是原胞内的正、负离子之间的相对运动，所以当波长很长时，在半个波长内就已经包含了许多原胞。,在两个波节之间同种电荷的离子位移方向相同，异性电荷离子位移方向相反，因此波节面就将晶体分成许多薄层，在每个薄层里由于异性电荷离子位移方向相反而形成了退极化场，这样晶体中出现宏观极化，所以，离子晶体的长光学波又称为极化波.,对于长光学波,用u+表示质量为M的正离子位移,用u-表示质量为m的负离子位移.,由正、负离子的相对位移所引起的宏观电场强度设为E.这时,作用在离子上的除了准弹性恢复力之外,还有电场的作用.,但是,必须注意,作用在某一离子上的电场不能包括该离子本身所产生的电场.,从宏观电场强度E中减去该离子本身所产生的场强,称为有效场强,用E有效表示,则按照上面的分析,可以得到质量为M的正离子和质量为m的负离子的运动方程：,式中q*代表离子电荷, u+代表正离子的位移, u- 代表负离子的位移.,采用洛伦兹有效场近似,在SI制中,则有(可参考电磁学p146例4)：,式中E代表宏观电场强度, 0 代表真空介电常数,而 P 代表极化强度.,式中N代表原胞数目,V代表晶体体积, u =u+ -u- 代表正负离子间的相对位移, 代表原胞中正负离子极化率 + 和 - 之和(即 = + + -) .,把E有效代入得：,利用折合质量：,以及：,则运动方程变为：,(1)-(2)得：,引入位移参量：,则,可变为：,其中b12 =b21, 这组方程是黄昆在1951年讨论光学波的长波近似时引进的,通称为黄昆方程.,2019/4/20,17,可编辑,黄昆方程的形式说明:,整理得：,整理得：,显然b12 =b21.,黄昆方程 的物理意义很明显.,方程 代表振动方程, 为准弹性恢复力, b11相当于离子本征振动频率平方的负值( ), 表示电场E附加了恢复力.,方程 代表极化方程, 表示离子位移引起了极化, 表示电场E 附加了极化.,设黄昆方程 的解具有如下形式：,其中q为波矢.位移W与波矢q垂直的部分,构成横波,记为WT;位移W与波矢q平行的部分,构成纵波,记为WL.横向位移是无散的,纵向位移是无旋的 .即：,在所讨论的电介质中,没有自由电荷.所以电位移D无散,即：,把 代入方程得：,如果我们讨论的电场是无旋的,则有：,上式表明极化引起的宏观场是一个纵向场,它趋于减小纵向位移,从而增加了纵向振动的恢复力,因此提高了纵光学波的频率,从而有：,-横向振动方程,-纵向振动方程,所以有：,为了把黄昆方程的系数b22、 b21(=b12)和晶体的介电常数联系起来,我们考虑两种极端情况,即：静电场和光频电场,对于静电场：,把上式代入 得：,又：,综上我们有：,为晶体的静电介电常数,对于光频电场,位移为零,即：,为晶体的光频介电常数,把 ;,代入 得：,-这是著名的LST(Lyddane-Sachs-Teller)关系.,由LST(Lyddane-Sachs-Teller)关系,可得如下结论：,(1)由于静电介电常数 恒大于光频介电常数 ,所以,长光学纵波的频率 恒大于长光学横波的频率,这是由于长光学纵波伴随着一个宏观电场, 增加了纵向振动的恢复力,因此提高了纵光学波的频率,同时，这意味着在长光学纵波的频率L0和长光学横波的频率T0之间形成一个频率禁区，在T0L0频率范围内的电磁波不能在晶体中传播，几乎全部被晶体表面反射掉，因而在反射率和波长的关系上出现反射峰。,例如，实验发现在NaCl晶体对红外光的反射率与波长关系曲线中就出现了一个平缓的峰值区.,如图所示，证明了上述分析的合理性。不过，对于实际晶体，由于总存在耗散，并且随温度升高，其耗散变大，所以一般不会出现百分之百的反射率。,(2)当 , ,而 则意味着晶体内部出现自发极化.把趋于零的 称为光学软模.由LST关系发展出来的自发极化理论,现在叫做“铁电的软模理论”.,由于长光学波是极化波,所以长光学波声子称为极化声子.此外,只有长光学纵波才伴随着一个宏观的极化电场,因此极化声子主要是指纵光学声子.,综上我们还可以看出,长光学横波并不伴随着宏观的、无旋的极化电场.,我们知道,有旋场是无散的,亦即,这种场也满足,所以长光学横波可能伴随着一个有旋的宏观电场. 这个场不会引起静电极化,但会引起有旋的磁场