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学业分层测评(三) 球坐标系与柱坐标系(建议用时:45分钟)学业达标1把下列各点的球坐标化为直角坐标:(1)M;(2)N;(3)P.【解】(1)设点M的直角坐标为(x,y,z),M在xOy平面内的射影为M,则OM2 sin2.于是x2cos1,y2sin,z2cos0.故点M的直角坐标为(1,0)(2)x5sincos0,y5sinsin,z5cos,点N的直角坐标为.(3)x9sincos,y9sinsin,z9cos.点P的直角坐标为.2把下列各点的柱坐标化为直角坐标:(1)Q;(2)R;(3)S.【解】(1)x0,y5,故点Q的直角坐标为Q(0,5,2)(2)x6cos3,y6sin3,故点R的直角坐标为R(3,3,4)(3)x8cos4,y8sin4,故点S的直角坐标为S(4,4,3)3已知长方体ABCDA1B1C1D1的边长为AB14,AD6,AA110,以这个长方体的顶点A为坐标原点,以射线AB、AD、AA1分别为x、y、z轴的正半轴,建立空间直角坐标系,求长方体顶点C1的空间直角坐标、柱坐标、球坐标【导学号:98990008】【解】如图,C1点的直角坐标(x,y,z)分别对应着CD、BC、CC1;C1点的柱坐标(,z)分别对应着CA、BAC、CC1;C1点的球坐标(r,)分别对应着AC1、BAC、A1AC1.C1点的空间直角坐标为(14,6,10),C1点的柱坐标为(其中tan ),C1点的球坐标为(2,)(其中cos ,tan )4在球坐标面内,方程r1表示空间中的什么曲面?方程表示空间中的什么曲面?【解】方程r1表示球心在原点的单位球面;方程表示顶点在原点,半顶角为的圆锥面,中心轴为z轴5在球坐标系中,求两点P,Q的距离【解】将P,Q两点球坐标转化为直角坐标:P:x3sincos,y3sinsin,z3cos,P点的直角坐标为.Q:x3sincos,y3sinsin,z3cos,Q点的直角坐标为.|PQ| ,即PQ的距离为.6建立适当的柱坐标系,表示棱长为3的正四面体各个顶点坐标【解】以正四面体的一个顶点B为极点O,选取以O为端点且与BD垂直的射线Ox为极轴,在面BCD上建立极坐标系过O点与面BCD垂直的线为z轴过A作AA垂直于平面BCD,垂足为A,则BA,AA,ABx,则A(,),B(0,0,0),C(3,0),D(3,0)7一个圆形体育馆,自正东方向起,按逆时针方向等分为十六个扇形区域,顺次记为一区,二区,十六区,我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200 m,每相邻两排的间距为1 m,每层看台的高度为0.7 m,现在需要确定第九区第四排正中的位置A,请建立适当的坐标系,把点A的坐标求出来【解】以圆形体育馆中心O为极点,选取以O为端点且过正东入口的射线Ox为极轴,在地面上建立极坐标系,则点A与体育场中轴线Oz的距离为203 m,极轴Ox按逆时针方向旋转,就是OA在地平面上的射影,A距地面的高度为2.8 m,因此点A的柱坐标为(203,2.8)能力提升8如图4110建立球坐标系,正四面体ABCD的边长为1,求A、B、C
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