[理学]气体动理论.ppt

1,气体动理论,第二章,（Kinetic Theory of Gases）,2,上节内容回顾,一. 热平衡态：,二 热平衡定律（热力学第零定律）,“分别与第三个系统处于同一热平衡态的两,个系统必然也处于热平衡。”,三 温度：,处于同一热平衡态下的热力学系统,所具有的共同的宏观性质。,四 . 温标（temperature scales）,五. 理想气体的物态方程的另一种形式,3,一 . 理想气体的微观假设,1.关于每个分子的力学性质,2.关于大量分子的统计假设（对平衡态）,二. 理想气体压强公式的推导, 气体压强公式,4,T是大量分子热运动平均平动动能的量度。,温度的统计意义：,2.3 能量均分定理,一. 气体分子自由度（degree of freedom）,i = t =3,1.单原子分子（monatomic molecule）,2. 双原子分子 （biatomic molecule）,i = t + r + v = 6,3. 多原子分子 （multi-atomic molecule）,i = t + r + v = 3N,5,一个平动自由度对应的平均动能为,即：, 能量均分定理,由于分子碰撞频繁，平均地说，能量分配,没有任何自由度占优势。,即：,在温度为T 的平衡态下，,分子热运动的每一,个自由度所对应的平均动能都等于,二 . 能量均分定理（ equipartition theorem）,6,能量均分定理的更普遍的说法是：,的平均能量。,能量均分定理不仅适用于气体，也适用于液体,和固体，,甚至适用于任何具有统计规律的系统。,振动势能也是平方项，,7,根据量子理论，能量是分立的，,的能级间距不同。,振动能级间隔大,转动能级间隔小,平动能级连续,一般情况下（T 10 3 K），,对能量交换不起作用,分子可视为刚性。,且 t， r， v, 振动自由度 v “冻结”，,振动能级极少跃迁，,分子平均能量,8,对刚性分子（rigid molecule）：,当温度极低时，转动自由度 r 也被“冻结”，,任何分子都可视为只有平动自由度。,9,不同分子平均动能情况,3,3,3,0,2,3,0,10,三. 理想气体内能（internal energy of ideal gases）,内能：,分子自身：,分子之间：,( i j ),对理想气体：,（不包括系统整体质心运动的能量）,相互作用势能 pij,系统内部各种形式能量的总和。,11,刚性分子理想气体内能：, ：气体系统的摩尔（mol）数,12,结论：一定质量的某种理想气体的内能，只取 决于分子的自由度和气体的温度，与气 体的体积、压强无关。,即：内能是温度的单值函数！,13,14,讨论 当盛有理想气体的密封容器相对某惯性系运动时，有人说：“容器内的气体分子相对该惯性系的速度也增大了，从而气体的温度就升高了”。对否？为什么？若容器突然停止运动，容器内气体的状态将如何变化？,15,2.1 理想气体的压强,2.3 能量均分定理,2.4 麦克斯韦速率分布律,2.5 麦克斯韦速率分布的实验验证,*2.6 玻耳兹曼分布,2.7 真实气体等温线,*2.8 范德瓦耳斯方程,2.9 气体分子的平均自由程,*2.10 输运过程,2.2 温度的统计意义,本章目录,16,一 . 速率分布函数,要深入研究气体的性质，,一步弄清分子按速率和按,能量等的分布情况。,不能光是研究一些平均值，,还应该进,整体上看，气体的速率分布是有统计规律性的。,麦克斯韦,2.4 麦克斯韦速率分布律,17,一种是像前面那样用分立数据描写： v1， v2 vi N1，N2 Ni ,描写分子的速率分布可以有两种方式：,这种描写既繁琐，又不能很好地体现统计,的规律性。,18,另一种是用连续的分布函数来描述：,设：dNv 为速率v v +dv 区间内的分子数，,N 为总分子数，,则：,即,由于dNv / N 是速率v 附近dv 区间的分子数与,写成：,总分子数之比，,所以它应与v 的大小有关，,可以,即,（function of distribution of speeds）,称速率分布函数,19,占总分子数的比例。”,由定义式,可看出 f (v)的意义是：,因为,所以,这称为速率分布函数 的归一化条件。,即,“ 在速率v 附近，,单位速率区间内的分子数,对于速率分布函数我们还可以用概率的概念来理解：,20,率v 附近单位速率区间的概率，也可以叫做分子速率分布的概率密度。,对于一个分子来说，,f (v) 就是分子处于速,各个分子的速率不同，可以看成是一个分子具有不同速率的概率不同；,dNv /N就是一个分子的速率在v附近dv区间内的概率；,那么归一化条件的概率意义就是一个分子具有无论什么速率的概率，这个确定发生的事件，概率当然等于1了。,21,二 . 麦克斯韦速率分布函数,1859年麦克斯韦（Maxwell）导出了理气在,无外场的平衡态（T）下，,分子速率分布函数为：,m 气体分子的质量,曲线下面的总面积等于1。,在左图上的几何意义为：,归一化条件,22,麦克斯韦速率分布是大量分子的统计规律性。,碰撞使得个别分子的速率变化是随机的，,概率,的原则使得大量分子通过频繁碰撞达到 v 很小,和v 很大的概率都必然很小。,23,三. 三种统计速率,1.最概然（可几）速率（most probable speed）,相应于速率分布函数 f(v)的极大值,的速率v p 称为最概然速率。,处在最概然速率 v p 附近,就单位速率区间来比较，,的分子数占总分子数的百分比最大。,如图示，,24, 当分子质量 m 一定时，,速率大的分子数比例越大，,气体分子的热运动越激烈。,左图表明：,温度越高，,25,分立：,连续：,vi v，,对麦氏速率分布经计算得：,Ni dNv=N f (v)dv，,2.平均速率（average speed）,平均速率,任意函数(v)对全体分子按速率分布的平均值：,26,例,设某气体的速率分布函数,求：,解：,（1）常量 a 和 v0 的关系,（2）平均速率,（1）归一化条件,为,27,（2）设总分子数为N，,（3）,则,对否？,不对！,上式分母上的N应为,28,（与前同）, 讨论分子平均平动动能时用, 讨论分子碰撞问题时用, 讨论分子的速率分布时用,3. 方均根速率（root-mean-square speed）,（麦）,29, 整个速率范围（全体分子）的某一物理量 的平均值,4. 利用麦克斯韦速率分布函数计 算微观量的平均值,30,速率范围内（部分分子）的某一物理量 平均值,31,（1）最可几速率和平均速率的物理意义各 是什么？有人认为最可几速率就是速 率分布中的最大速率值，对吗？,如果把整个速率范围分成 许多相等的小区间的话,则最可几速率 所在的区间内的分子数占总分子数的百 分比最大。,物理意义, 最可几速率：,32, 认为最可几速率就是速率分布中的最大 速率值，对吗？,不对, 平均速率：所有分子速率的平均值,33,（2）一个分子具有最可几速率的几率是多 少？,等于零,一个分子具有任何定值速率的几率等于零,34,（3）麦克斯韦速率分布曲线如图所示，图中 A、B两部分面积相等，这说明什么？,35,说明：,或：,36,（4）说明下列各式的物理意义,37,清楚 、 、 代表什么，并且将表达式用（物理）语言描述出来。,说明某一个含有麦克斯韦速率分布函数 的物理意义：,首先：,其次：,化简表达式,最后：,38, 物理意义：,39, 物理意义：,一个分子的平均平动动能,40, 物理意义：,练习：,41, 物理意义：,42,多次观察某一分子的速率，发现速率 大于 的几率,分布在 速率区间内的分子的 平均速率, 速率大于 的那些分子的平均速率, 速率大于 的分子数,（5）用总分子数 ，气体分子速率 和速 率分布函数 表示下列各量,43, 速率大于 的分子数, 速率大于 的那些分子的平均速率,44,分布在 速率区间内的分子 的平均速率,45,多次观察某一分子的速率，发现速率 大于 的几率,速率大于 的几率,46,例1 有N个分子，其速率分布函数为 （ 已知） 求：（1）画出速率分布曲线； （2）常数C； （3）分子的平均速率,47,（1）画出速率分布曲线,（2）常数C,（归一化条件）,48,（3）分子的平均速率,49,练习已知速率分布函数为 ，且 是最 可几速率，写出 速率的分子平 均速率公式。,例2 一个分子的平均动能和平均平动动能 有何不同？,平均动能,+平均转动动能,=平均平动动能,50,51,2.9 气体分子的平均自由程,碰撞在分子运动中是个最活跃的因素，,它在气体动理论中占有重要地位：,非平衡,平衡,一. 平均碰撞频率与平均自由程的定义,平均次数。,平均碰撞频率(mean collision frequency),单位时间内一个气体分子与其它分子碰撞的, 自由程,52,平均自由程（mean free path）,相邻两次碰撞间飞行的平均路程 ,二. 平均碰撞频率与平均速率的关系,理想气体，在平衡态下，并假定： （1）只有一种分子； （2）分子可视作直径为 d 的刚球；,（3）被考虑的分子以平均相对速率 运动，,其余的分子静止。,气体分子在,53, 碰撞截面 （collision cross-section）,碰撞夹角 有各种可能（0 180）,54,三 . 平均自由程与压强、温度的关系,1 710-8 10-7 0.7（灯泡内） 10-11 7103（几百公里高空）,T = 273K：,55,求：,解：,T = 273K、 p = 1atm,例,O2，d 3.610-10m，,已知：,56,为何多原子分子在碰撞中能看成球形？,说明：,在 T = 300K 时：, 分子在碰撞中可视为球形,H2,O2,CO2,N2,0.0407,1.94,1.39,1.45,3.19 1013,4.62 1012,5.45 1012,5.34 1012,气体,J(10-46 kg m2),57,例1.一定量理想气体先经等容过程使温度升高为原来的4倍，再经等温过程使体积膨胀为原来的 2倍。根据 和 ，则 增至原来的2倍。 再根据 ,可知 增至原来的4倍。 问：上面的说法有没有错误？如果有，请改正。,58,解：, 对平均碰撞次数,状态未变时：,经等容过程后：,59,经等温过程后：,60, 对平均自由程,状态未变时：,经等容过程后：,61,经等温过程后：,62,例2（4466）今测得温度为t1=15，压强为 P1=0.76m汞柱高时，氩分子和氖分子的 平均自由程分别为: 和 。 求： （1）氖分子和氩分子有效直径之比=? （2） t2=20，压强为P2=0.15m汞柱高 时， 氩分子的平均自由程,氩,氩,63,解：,（1）氖分子和氩分子有效直径之比=?,64,（2） t2=20，压强为P2=0.15m汞柱高时， 氩分子的平均自由程,65,练习（4055）氨气在标准状态下的分子平均 碰撞次数为5.42108s-1, 分子平均自由 程为610-6m, 若温度不变，气