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文档简介

1,3.5 曲线拟合的最小二乘法,3.5.1 最小二乘法及其计算,在函数的最佳平方逼近中 如果 只在一组离散点集 上给定,这就是科 学实验中经常见到的实验数据 的 曲线拟合.,2,记误差,则 的各分量分别为 个数据点上的误差.,3,设 是 上线性无关函数族,,在 中找一函数 ,,使误差平方和,(5.1),这里,(5.2),4,这个问题称为最小二乘逼近,几何上称为曲线拟合的 最小二乘法.,用最小二乘求拟合曲线时,首先要确定 的形式.,确定 的形式问题不仅是数学问题, 还与问题的 实际背景有关.,通常要用问题的运动规律及给定的数据进行数据描图,确定 的形式, 然后通过实际计算选出较好的结果.,5,为了使问题的提法更有一般性,通常在最小二乘法中 考虑加权平方和,(5.3),这里 是 上的权函数,它表示不同点 处的数据比重不同.,就是 次多项式.,若 是 次多项式,,的一般表达式为(5.2)表示的线性形式.,6,这样,最小二乘问题就转化为求多元函数,(5.4),的极小点 问题.,由求多元函数极值的必要条件,有,使(5.3)取得最小.,7,若记,(5.5),上式可改写为,(5.6),这个方程称为法方程,,可写成矩阵形式,8,其中,(5.7),要使法方程(5.6)有惟一解,就要求矩阵 非奇异,,9,显然 在任意 个点上满足哈尔条件.,函数 的最小二乘解为,定义10,方程(5.6)存在惟一的解,从而得到,于是,10,这样得到的 ,,对任何形如(5.2)的 ,,都有,故 确是所求最小二乘解.,11,一般可取 ,但这样做当 时,,通常对 的简单情形都可通过求法方程(5.6)得到,给定 的离散数据 ,,例如, ,,求解法方程(5.6)将出现系数矩阵 为病态的问题,,若两边取对数得,12,例7,这样就变成了形如(5.2)的线性模型 .,此时,若令,则,已知一组实验数据如下,求它的拟合曲线.,13,解,从图中看到各点在一条直线附近,故可选择线性函数作拟合曲线,,将所给数据在坐标纸上标出,见图3-4.,图3-4,14,令,这里,故,15,解得,由(5.6)得方程组,于是所求拟合曲线为,16,关于多项式拟合,Matlab中有现成的程序,其中输入参数 为要拟合的数据, 为拟合多项式的次数,,输出参数 为拟合多项式的系数.,利用下面的程序,可在Matlab中完成上例的多项式拟合.,17,x=1 1 2 3 3 3 4 5; f=4 4 4.5 6 6 6 8 8.5; aa=poly(x,f,1); y=polyval(aa,x); plot(x,f,r+,x,y,k) xlabel(x); ylabel(y); gtext(y=s1(x)),18,结果如下:,19,例8,设数据 由表3-1给出,,用最小二乘法确定 及 .,解,表中第4行为,通过描点可以看出数学模型为,它不是线性形式.,用给定数据描图可确定拟合曲线方程为,两边取对数得,20,若令,先将 转化为,为确定 ,,根据最小二乘法,取,则得,数据表见表3-1.,得,21,故有法方程,解得,于是得最小二乘拟合曲线为,22,利用下面的程序,可在Matlab中完成曲线拟合.,x=1.00 1.25 1.50 1.75 2.00; y=5.10 5.79 6.53 7.45 8.46; y1=log(y); aa=poly(x,y1,1); a=aa(1); b=exp(aa(2); y2=b*exp(a*x); plot(x,y,r+,x,y2,k) xlabel(x); ylabel(y); gtext(y=a*exp(bx);,23,结果如下:,24,3.5.2 用正交多项式做最小二乘拟合,如果 是关于点集,(5.8),用最小二乘法得到的法方程组(5.6),其系数矩阵 是病态的.,25,(5.9),则方程(5.6)的解为,且平方误差为,26,接下来根据给定节点 及权函数,构造带权 正交的多项式 .,注意 ,用递推公式表示 ,即,(5.10),这里 是首项系数为1的 次多项式,,27,(5.11),下面用归纳法证明这样给出的 是正交的.,28,假定 对 及,要证 对 均成立.,由(5.10)有,由(5.10)第二式及(5.11)中 的表达式,有,均成立,,(5.12),29,而 ,,于是由(5.12),当 时,,另外, 是首项系数为1的 次多项式,它可由,由归纳法假定,,当 时,的线性组合表示.,由归纳法假定又有,30,由假定有,再考虑,(5.13),利用(5.11)中 表达式及以上结果,得,31,至此已证明了由(5.10)及(5.11)确定的多项式 ,组成一个关于点集 的正交系.,用正交多项式 的线性组合作最小二乘曲线拟合,,只要根据公式(5.10)及(5.11)逐步求 的同时,,相应计算出系数,最后,由 和 的表达式(5.11)有,32,并逐步把 累加到 中去,最后就可得到所求的,用这种方法编程序不用解方程组,只用递推公式,并 且当逼近次数增加一次时,只要把程序中循环数加1,其余 不用改变.,这里 可事先给定或在计算过程中根据误差确定.,拟合曲线,33,3.6 最佳平方三角逼近与快速傅里叶变换,当 是周期函数时,显然用三角多项式逼近 比用代数多项式更合适,本节主要讨论用三角多项式做最 小平方逼近及快速傅里叶变换,简称FFT算法.,34,3.6.1 最佳平方三角逼近与三角插值,设 是以 为周期的平方可积函数,用三角多 项式,(6.1),作为最佳平方逼近函数.,由于三角函数族,在 上是正交函数族,于是 在 上的最小 平方三角逼近多项式 的系数是,35,称为傅里叶系数.,函数 按傅里叶系数展开得到的级数,(6.3),就称为傅里叶级数.,(6.2),36,只要 在 上分段连续,则级数(6.3)一致 收敛到 .,对于最佳平方逼近多项式(6.1)有,由此可以得到相应于(4.11)的贝塞尔不等式,因为右边不依赖于 ,左边单调有界,所以级数,37,当 只在给定的离散点集,上已知时,则可类似得到离散点集正交性与相应的离散傅 里叶系数.,下面只给出奇数个点的情形.,收敛,并有,38,可以证明对任何 成立,令,39,这表明函数族 在点集,上正交.,若令,其中,40,当 时,于是,(6.4),就是三角插值多项式,系数仍由(6.4)表示.,41,由于,所以函数族 在区间 上是正交的.,42,当 时, 个复向量 具有 如下正交性:,(6.5),43,事实上,令,于是,即,若,若,则有,则,从而,44,于是,若,这就证明了(6.5)成立.,即 是正交的.,则,于是,因此, 在 个点 上的 最小二乘傅里叶逼近为,45,(6.6),其中,(6.7),于是由(6.6)得,即,(6.8),46,而(6.8)是由 求 的过程,称为反变换.,47,3.6.2 快速傅氏变换(FFT),不论是按(6.7)式由 求 ,,由 求 ,,(6.9),其中 (正变换),或 (反变换),,还是由(6.4)计算傅里叶逼近系数,都可归结为计算,是已知复数序列.,或是按(6.8),48,当 较大且处理数据很多时,就是用高速的电子计算 机,很多实际问题仍然无法计算,,直到20世纪60年代中期产生了FFT算法,大大提高了 运算速度,从而使傅氏变换得以广泛应用.,FFT算法的基本思想就是尽量减少乘法次数.,49,用(6.9)计算全部 ,,表面看要做 个乘法,,特别当 时,只有 个不同的值.,因此可把同一个 对应的 相加后再乘 ,这就 能大量减少乘法次数.,50,设正整数 除以 后得商 及余数 ,,则 ,,称为 的 同余数,以 表示.,由于,因此计算 时可用 的 同余数 代替 ,从而推出 FFT算法.,以 为例. 说明FFT的计算方法.,由于 则(6.9)的和是,(6.10),故有,51,将 用二进制表示为,其中 只能取0或1.,例如,根据 表示法,有,公式(6.10)可表示为,52,(6.11),若引入记号,(6.12),53,则(6.11)变成,它说明利用 同余数可把计算 分为 步,用公式 (6.12)计算.,每计算一个 只用2次复数乘法,计算一个 用,次复数乘法,计算全部 共用 次复数乘法.,若注意 公式(6.12)还可进一步 简化为,54,将这表达式中二进制表示还原为十进制表示:,55,(6.13),同样(6.12)中的 也可简化为,即,即 得,56,把二进制表示还原为十进制表示,得,(6.14),同理(6.12)中 可简化为,即,57,表示为十进制,有,(6.15),58,根据公式(6.13),(6.14),(6.15),由,逐次计算到,见表3-2(略).,上面推导的 的计算公式可类似地推广到 的情形.,根据公式(6.13),(6.14),(6.15),一般情况的FFT 计算公式如下:,59,(6.16),其中,从 出发, 由 到 算到,一组 占用 个复数单元,计算时需给出两组单元,,括号内的数代表它的位置,在计算机中代表存放数的地址.,即为所求.,60,这个计算公式除了具有不倒地址的优点外,计算只有两 重循环,,计算过程中只要按地址号存放 则最后得到的,就是所求离散频谱的次序.,外循环 由 计算到 ,内循环 由 计算到,由 计算到,更重要的是整个计算过程省计算量.,由公式看到算一个 共做 次复数乘法,,而最后一步计算 时,由于,61,当 时比值是 它比一般FFT的 计算量( 次乘法)也快一倍.,我们称(6.16)的计算公式为改进的FFT算法 .,62,3.7 有 理 逼 近,3.7.1 有理逼近与连分式,有理函数逼近是指用形如,的函数逼近,与前面讨论一样,如果 最小就可得到 最佳有理一致逼近.,(7.1),63,如果 最小则可得到最佳有理平方逼近 函数.,本节主要讨论利用函数的泰勒展开获得有理逼近函数 的方法.,对函数 用泰勒展开得,(7.2),取部分和,64,(7.3),65,(7.4),(7.3)右端为 的无穷连分式的前5项,最后式子,若取(7.3)的前2,4,6,8项,则可分别得到 的以下有理逼近:,是它的紧凑形式.,66,若用同样多项的泰勒展开部分和 逼近,并计算 处的值 及 ,计算结果见表3-2.,的准确值为,从表3-1可以看出,,67,但它们的计算量是相当的,这说明用有理逼近比多项式逼近好得多.,由此看出 的精度比 高出近10万倍,,例9,用辗转相除法将它化为连分式并写成紧凑形式.,解,给出有理函数,用辗转相除可逐步得到,68,本例中用连分式计算 的值只需3次除法,1次乘 法和7次加法.,69,若直接用多项式计算的秦九韶算法则需6次乘法和1次 除法及7次加法.,可见将 化成连分式可节省计算乘除法次数.,对一般的有理函数,(7.1)可转化为一个连分式,它的乘除法运算只需 次.,而直接用有理函数(7.1)计算乘除法次数为 次.,70,3.7.2 帕德逼近, 利用函数 的泰勒展开可以得到它的有理逼近.,设 在 的泰勒展开为,(7.5),它的部分和记作,(7.6),71,定义11,设,其中 无公因式,且满足条件,(7.8),则称 为函数 在 处的 阶帕德逼近,,记作 ,简称 的帕德逼近.,如果有理函数,(7.7),72,根据定义,若令,则满足条件(7.8)等价于,即,由于 应用莱布尼茨求导公式得,73,这里 是由(7.6)得到的,,上式两端除 ,,并由 可得,(7.9),及,(7.10),注意当 时,故(7.10)可写成,74,(7.11),其中 时 ,,若记,(7.12),75,则方程组(7.11)的矩阵形式为,定理10,76,根据定理10, 求 的帕

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