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课时作业15导数与函数的极值、最值 基础达标一、选择题1函数y的最大值为()Ae1BeCe2 D.解析:令y0,解得xe.当xe时,y0;当0x0,所以y极大值f(e),在定义域内只有一个极值,所以ymax.答案:A2从边长为10 cm16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,作成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为()A12 cm3 B72 cm3C144 cm3 D160 cm3解析:设盒子容积为y cm3,盒子的高为x cm,则x(0,5),则y(102x)(162x)x4x352x2160x,所以y12x2104x160.令y0,得x2或(舍去),所以ymax6122144(cm3)答案:C32019山东省,湖北省部分重点中学质量检测已知函数f(x)xlnxx2x有极值,则实数m的取值范围是()A. B.C. D.解析:通解f(x)xlnxx2x,则f(x)lnxmx.函数f(x)有极值,即f(x)lnxmx有变号零点,即函数g(x)与函数ym在(0,)上的图象有交点(除去相切的情况)因为g(x),所以g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,)上单调递减,所以g(x)maxg(e),画出函数g(x)的大致图象,如图所示,若g(x)与ym的图象有交点(除去相切的情况),则m,故选B.优解当m0时,f(x)xlnxx,f(x)lnx,当0x1时,f(x)1时,f(x)0,故f(x)xlnxx在x1处取得极值,符合题意,排除A,C;当m时,f(x)xlnxx2x,f(x)lnxx,令g(x)lnxx,则g(x),当0x0,当xe时,g(x)0,故g(x)g(e)0,即f(x)0,f(x)单调递减,无极值,排除D.故选B.答案:B42019开封测试已知函数f(x)xex,x(,2),函数g(x)ax1,x2,2,若对任意的x12,2,总存在唯一x0(,2),使得f(x0)g(x1)成立,则实数a的取值范围为()A. B.C. D.解析:由题意,得f(x)exxexex(x1),x(,2),易知当x1时,f(x)0,当1x0,所以函数f(x)在(,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增,所以当x1时,函数f(x)取得最小值.又当x1时,f(x)0,当1x2时,f(x)0时,函数g(x)在2,2上单调递增,所以函数g(x)的值域为2a1,2a1,因为对任意的x12,2,总存在唯一x0(,2),使得f(x0)g(x1),所以2a1,2a10,2e2,所以解得0a;当a0时,函数g(x)在2,2上单调递减,所以函数g(x)的值域为2a1,2a1,因为对任意的x12,2,总存在唯一x0(,2),使得f(x0)g(x1),所以2a1,2a10,2e2),所以解得a0.综上,实数a的取值范围为,故选B.答案:B52019武汉市武昌区高三调研若函数f(x)x3bx2cxd在(0,2)上既有极大值又有极小值,则c22bc4c的取值范围是()A. B.C. D(0,1)解析:依题可知,f(x)x2bxc在(0,2)上有两个不同的零点,则有即则0c22bc4cc(c2b4)(b2)242.4b0,(b2)242(0,1,即0c22bc4c1,故选D.答案:D二、填空题6已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10,则f(2)_.解析:函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10,f(1)10,且f(1)0,即解得或而当时,函数在x1处无极值,故舍去f(x)x34x211x16,f(2)18.答案:1872018全国卷已知函数f(x)2sinxsin2x,则f(x)的最小值是_解析:f(x)2cosx2cos2x2cosx2(2cos2x1)2(2cos2xcosx1)2(2cosx1)(cosx1)cosx10,当cosx时,f(x)时,f(x)0,f(x)单调递增当cosx,f(x)有最小值又f(x)2sinxsin2x2sinx(1cosx),当sinx时,f(x)有最小值,即f(x)min2.答案:82019山东淄博模拟已知函数f(x)ex,g(x)ln,对任意aR,存在b(0,),使f(a)g(b),则ba的最小值为_解析:令yea,则alny,令yln,可得b2ey,令h(y)ba,则h(y)2eylny,h(y)2ey.显然,h(y)是增函数,观察可得当y时,h(y)0,故h(y)有唯一零点故当y时,h(y)取得最小值,为2eln2ln2.答案:2ln2三、解答题92018北京卷设函数f(x)ax2(4a1)x4a3ex.(1)若曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线与x轴平行,求a;(2)若f(x)在x2处取得极小值,求a的取值范围解析:(1)因为f(x)ax2(4a1)x4a3ex,所以f(x)ax2(2a1)x2ex.所以f(1)(1a)e.由题设知f(1)0,即(1a)e0,解得a1.此时f(1)3e0.所以a的值为1.(2)由(1)得f(x)ax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)ex.若a,则当x时,f(x)0.所以f(x)在x2处取得极小值若a,则当x(0,2)时,x20,ax1x10.所以2不是f(x)的极小值点综上可知,a的取值范围是.102018全国卷已知函数f(x).(1)求曲线yf(x)在点(0,1)处的切线方程;(2)证明:当a1时,f(x)e0.解析:(1)f(x),f(0)2.因此曲线yf(x)在(0,1)处的切线方程是2xy10.(2)证明:当a1时,f(x)e(x2x1ex1)ex.令g(x)x2x1ex1,则g(x)2x1ex1.当x1时,g(x)1时,g(x)0,g(x)单调递增所以g(x)g(1)0.因此f(x)e0.能力挑战112018全国卷已知函数f(x)aexlnx1.(1)设x2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间;(2)证明:当a时,f(x)0.解析:(1)f(x)的定义域为(0,),f(x)aex.由题设知,f(2)0,所以a.从而f(x)exlnx1,f(x)ex.当0x2时,f(x)2
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