[工学]理论力学-10D.ppt

1,上节内容回顾,一、惯量矩阵与平行移轴定理,二、定点运动刚体的动量矩计算,三、刚体定点运动动力学解法,2,刚体定点运动的欧拉动力学方程,3,刚体定点运动动力学的牛顿力学解法,6 个一阶微分方程,4,刚体定点运动的动能:,刚体定点运动动力学解法二：拉格朗日力学,如果 x y z 是刚体的惯量主轴,5,取欧拉角 (, , ) 为广义坐标, 引入欧拉运动学方程:,求出势能和广义力, 代入拉格朗日方程：,3 个二阶微分方程,6,专题讨论：重刚体定点运动的可积性,重刚体：刚体的主动力仅为重力,动力学方程：,或：,问题性质：已知力，求运动。,7,可积情况：,设 xyz 是过 o 点的惯量主轴，质心 C 在随体系中的坐标为,(1) 欧拉情况：,(2) 拉格朗日情况：,(3) 柯瓦列夫斯卡娅情况：,专题讨论：重刚体定点运动的可积性,8,例1：重刚体定点运动的欧拉情况,欧拉动力学方程：,两边分别点积 ，有：,9,从中解出 ，代入欧拉动力学方程的 第三个方程，,再由欧拉运动学方程，积分出欧拉角。,机械能守恒,角动量守恒,10,欧拉情况下动力学对称刚体的运动：,如果：,则称刚体动力学对称,由：,得：在定系中 是常矢,由：,取定系的 z 轴与 重合：,11,欧拉情况下动力学对称刚体的运动：,12,13,结论：在任意的初始条件下，欧拉情况下的动力学对称刚体作规则进动.,确切地说：欧拉情况下，对任意的初始条件，动力学对称刚体绕对称轴匀速自转，而对称轴绕不变的角动量矢(由初条件定)作规则进动.,14,例2：重刚体定点运动的拉格朗日情况,15,欧拉动力学方程,16,欧拉动力学方程,欧拉运动学方程,17,系统的守恒量,1. 机械能守恒,18,系统的守恒量,2. 关于 z 动量矩守恒,19,系统的守恒量,3. 关于 z 动量矩守恒,20,例2：重刚体定点运动的拉格朗日情况,21,L不显含时间 t,，故有两个循环积分和能量积分,结论：3自由度有3个首次积分，故理论上可积。 当初始条件适当，方程存在规则进动的特解：,关于 z 动量矩守恒,关于 z 动量矩守恒,22,结论(动力学对称刚体,且定点在对称轴上):,1. 如果刚体质心与定点重合, 则对任意的初始条件，刚体都作规则进动.,2. 如果刚体质心不与定点重合, 则在适当的初始条件下，刚体作规则进动.,23,10-4、陀螺近似理论,陀 螺： 满足条件 的定点运动刚体。,一、陀螺规则进动的条件,由欧拉运动学方程：,令：,问题性质：已知运动, 求力 。,24,由欧拉运动学方程：,欧拉动力学方程：,25,可视为大小为 ， 方向沿节线的矢量在 x ,y 上的投影.,而:,且: 沿节线方向.,26,即: , 方向沿节线.,陀螺规则进动的基本公式: 已知运动 力,二、莱沙尔(Henri Resal)定理,在定系中:,定理: 刚体对固定点 o 的动量矩 的端点的速度，等于作用于该刚体的所有外力对同一点的主矩.,精确结果,27,三、陀螺近似理论,如果:,则:,四、陀螺近似理论的莱沙尔解释,如果：,则也有：,28,四、陀螺近似理论的莱沙尔解释,相对于定系:,如果 的大小为常量,则当刚体作规则进动时， 的矢端划出一圆。,29,当刚体作规则进动时， 的矢端划出一圆。,由莱沙尔定理:,与精确解比较:,30,陀螺力矩：陀螺转子作用在施力体上的反作用力矩,陀螺的特性：定向性、进动性、陀螺效应,: 附加动压力,31,陀螺的特性：,1. 定向性：,对于动力学对称的欧拉情况(称为平衡陀螺):,常矢,如果初始时仅让陀螺绕对称轴作定轴转动，则陀螺将一直绕对称轴作定轴转动。,2. 进动性：,如果有外力对o点有矩，则 和对称轴将向力矩(而不是力)的方向偏转。,只要高速旋转物体的自转轴被迫在空间改变方向(