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第7课时 数学归纳法,2014高考导航,本节目录,教材回顾夯实双基,考点探究 讲练互动,名师讲坛精彩呈现,知能演练轻松闯关,1数学归纳法的适用对象 数学归纳法是用来证明与_有关的命题的一种方法,若n0是起始值,则n0是使命题成立的_,正整数n,最小正整数,2数学归纳法的步骤 用数学归纳法证明命题时,其步骤如下: (1)当n_时,验证命题成立; (2)假设n_时命题成立,推证n_时命题也成立,从而推出命题对所有的从n0开始的正整数n命题都成立,其中第一步是归纳奠基,第二步是归纳递推,二者缺一不可,k1,n0(n0N*),k(kn0,kN*),思考探究 数学归纳法的两个步骤各有何作用? 提示:数学归纳法中两个步骤体现了递推思想,第一步是递推基础,也叫归纳奠基,第二步是递推的依据,也叫归纳递推,两者缺一不可,课前热身,答案:C,2用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xnyn能被xy整除”,第二步归纳假设应写成( ) A假设n2k1(kN*)时命题成立,再推n2k3时命题成立 B假设n2k1(kN*)时命题成立,再推n2k1时命题成立 C假设nk(kN*)时命题成立,再推nk1时命题成立 D假设nk(k1)时命题成立,再推nk2时命题成立 答案:B,3(教材习题改编)数列an中,已知a11,当n2时anan12n1,依次计算a2,a3,a4后,猜想an的表达式是( ) A3n2 Bn2 C3n1 D4n3 答案:B,答案:2k,跟踪训练,跟踪训练,【解】 当n1时,an1(a1)2n1 a2a1,能被a2a1整除,假设当nk(kN)时,ak1(a1)2k1能被a2a1整除,那么当nk1时, ak2(a1)2k1 (a1)2ak1(a1)2k1ak2ak1(a1)2 (a1)2ak1(a1)2k1ak1(a2a1)能被a2a1整除 即当nk1时,命题也成立 根据、可知,对于任意nN,an1(a1)2n1能被a2a1整除,跟踪训练 3求证:(3n1)7n1(nN*)能被9整除 证明:(1)当n1时,(3n1)7n127,能被9整除 (2)假设nk(kN*)时命题成立, 即(3k1)7k1能被9整除,那么当nk1时: 3(k1)17k11(3k1)3(16)7k1 (3k1)7k1(3k1)67k217k (3k1)7k13k67k(621)7k. 由归纳假设知,以上三项均能被9整除 则由(1)、(2)可知,命题对任意nN*都成立,1在数学归纳法中,归纳奠基和归纳递推缺一不可在较复杂的式子中,注意由nk到nk1时,式子中项数的变化,应仔细分析,观察通项同时还应注意,不用假设的证法不是数学归纳法 2对于证明等式问题,在证nk1等式也成立时,应及时把结论和推导过程对比,以减少计算时的复杂程度;对于整除性问题,关键是凑假设;证明不等式时,一般要运用放缩法;证明几何命题时,关键在于弄清由nk到nk1的图形变化,3归纳、猜想、证明属于探索性问题的一种,一般经过计算、观察、归纳,然后猜想出结论,再用数学归纳法证明由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”,务必保证猜想的正确性,同时,1,2,3,4,5,6,抓信息 破难点,1,2,3,4,5,6,【规律总结】 (1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题,其基本模式是“归纳猜想证明”,即先由合情推理发现结论,然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性,这种思维方式是推动数学研究和发展的重要方式 (2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”高中阶段与数列结合的问题是常见的问题,跟踪训练 4在数列an,bn中,a12,b14,且an,bn,an1成等差数列,
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