2018_2019学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3空间向量的数量积运算学案.docx

31.3空间向量的数量积运算1.了解空间向量夹角的概念及表示方法2.掌握空间向量数量积的计算方法及运算律3能将立体几何问题转化为向量运算问题1空间向量的夹角定义已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a，b的夹角记法a，b范围通常规定，0a，b，当a，b时，ab空间向量的夹角与向量位置关系(1)a，b0时，向量a，b方向相同(2)a，b时，向量a，b方向相反(3)a，b时，向量ab.2空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作ab.运算符“”：其中ab中的圆点是数量积运算的符号，不能省略也不能用“”代替 (2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(a)b(ab)交换律abba分配律a(bc)abac(3)数量积的性质向量数量积的性质垂直若a，b是非零向量，则abab0共线同向：则ab|a|b|反向：则ab|a|b|模aa|a|a|cosa，a|a|2|a|ab|a|b|夹角为a，b的夹角，则cos 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)向量与的夹角等于向量与的夹角()(2)若ab0，则a0或b0.()(3)对于非零向量a，b，a，b与a，b相等()(4)若abbc，且b0，则ac.()(5)若a，b均为非零向量，则ab|a|b|是a与b共线的充要条件()答案：(1)(2)(3)(4)(5) 已知i，j，k是两两垂直的单位向量，a2ijk，bij3k，则ab()A2 B1C1 D.2答案：A 在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45的是()A.与 B.与C.与 D.与答案：A 已知|a|3，|b|2，ab3，则a，b_答案： 已知向量a，b满足：|b|，a，b45，且a与2ba互相垂直，则|a|_答案：2探究点1空间向量的数量积运算学生用书P55已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点求下列向量的数量积(1)；(2).【解】如图所示，设a，b，c，则|a|c|2，|b|4，abbcca0.(1)()b|b|24216.(2)()()(ac)|c|2|a|222220.变问法若本例的条件不变，计算.解：()()(abc)|a|2|b|22.空间向量数量积的计算问题的解题思路(1)在几何体中求空间向量数量积的步骤将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；代入ab|a|b|cosa，b求解(2)长方体、四面体等是研究空间向量的常见载体，要熟悉其结构特点，善于挖掘隐含的垂直或特殊角等条件 1.已知向量a和b的夹角为120，且|a|2，|b|5，则(2ab)a_解析：(2ab)a2a2ba2|a|2|a|b|cos 120242513.答案：132如图，已知正四面体OABC的棱长为1.求：(1)；(2)()()解：在正四面体OABC中，|1，60.(1)|cosAOB11cos 60.(2)()()()()()(2)22222122211cos 6012211cos 60111111.探究点2利用向量的数量积判断或证明垂直问题学生用书P56如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD.求证：PABD.【证明】由底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，知DABD，则0.由PD底面ABCD，知PDBD，则0.又，所以()0，即PABD.利用向量数量积判断或证明线线、线面垂直的思路(1)由数量积的性质abab0(a，b0)可知，要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可(2)用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BC，CD的中点，求证：A1G平面DEF.证明：设正方体的棱长为a，因为()()a2a20，所以A1GDF，同理可证A1GDE，又DFDED，所以A1G平面DEF.探究点3利用空间向量的数量积求夹角学生用书P56已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求向量与向量所成角的余弦值【解】设a，b，c，且|a|b|c|1，易知AOBBOCAOC，则abbcca.因为()(ab)，cb，|，所以(ab)acbcabb2，设与所成的角为，cos .所以向量与向量所成角的余弦值是.求两个向量的夹角的两种方法(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围(2)先求ab，再利用公式cosa，b求cosa，b，最后确定a，b 在正方体ABCDA1B1C1D1中，求向量与的夹角的大小解：法一：如图，连接AD1，CD1，因为，所以CAD1的大小就等于，因为ACD1为等边三角形，所以CAD160.所以向量与的夹角的大小为60.法二：设正方体的棱长为1，则|，|.()()()()|20|200|21.cos，所以，60.即向量与的夹角的大小为60.探究点4利用数量积求两点间的距离学生用书P56如图，在三棱锥ABCD中，底面边长与侧棱长均为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且MB2AM，CNND，求MN的长【解】因为()()，所以2222a2a2a2a2a2a2a2，所以|a.则MN的长为a.求两点间的距离或线段的长度的方法(1)将此线段用向量表示(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量(3)利用|a|，计算出|a|，即得所求距离 1.已知在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1ABAD1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60，则AC1的长为()A6 B.C3 D.解析：选B.设a，b，c，则|a|b|c|1，且a，bb，cc，a60，因此abbcca.由abc得|22a2b2c22ab2bc2ca6.所以|，故选B.2如图，在120的二面角l中，Al，Bl，AC，BD且ACAB，BDAB，垂足分别为A，B，已知ACABBD6，则线段CD的长应为_解析：因为ACAB，BDAB，所以0，0，又因为二面角l的平面角为120，所以，60，所以CD2|2()22222()362262cos 60144，所以CD12.答案：12 1已知|p|q|1，且p，q90，a3p2q，bpq，则ab()A1 B2C3 D.4答案：A2已知空间四边形OABC中，OBOC，AOBAOC，则cos，的值为()A. B.C D.0解析：选D.()|cosAOC|cosAOB|0，所以.所以cos，0.3若a，b，c为空间两两夹角都是60的三个单位向量，则|ab2c|_答案：4如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，设ADAA11，AB2，P是C1D1的中点，则与所成角的大小为_，_解析：法一：连接A1D，则PA1D就是与所成角连接PD，在PA1D中，易得PA1DA1PD，即PA1D为等边三角形，从而PA1D60，即与所成角的大小为60.因此cos 601.法二：根据向量的线性运算可得()()21.由题意可得PA1B1C，则cos，1，从而，60.答案：601 学生用书P57知识结构深化拓展1.空间向量数量积性质的应用(1)abab0，此结论用于证明空间中的垂直关系(2)|a|2a2，此结论用于求空间中线段的长度(3)cosa，b，此结论用于求有关空间角的问题(4)|b|cosa，b，此结论用于求空间中的距离问题2空间向量的数量积的三点注意(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定(2)当a0时，由ab0可得ab或b0.(3)空间向量没有除法运算：即若abk，则没有a. 学生用书P131(单独成册)A基础达标1已知e1，e2为单位向量，且e1e2，若a2e13e2，bke14e2，ab，则实数k的值为()A6 B6C3 D.3解析：选B.由题意可得ab0，e1e20，|e1|e2|1，所以(2e13e2)(ke14e2)0，所以2k120，所以k6.2已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为()Aa2 B.a2C.a2 D.a2解析：选C.()()(aaaa)a2.3已知四边形ABCD为矩形，PA平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是()A.与 B.与C.与 D.与解析：选A.可用排除法因为PA平面ABCD，所以PACD，0，排除D.又因为ADAB，所以ADPB，所以0，同理0，排除B，C，故选A.4.如图，已知PA平面ABC，ABC120，PAABBC6，则PC等于()A6 B6C12 D.144解析：选C.因为，所以2222222363636236cos 60144，所以PC12.5设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(2)()0，则ABC是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D.等边三角形解析：选B.因为2()()，所以()()|2|20，所以|，即ABC是等腰三角形6在空间四边形ABCD中，_解析：原式()()()0.答案：07如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB4，AA13，BAA160，E为棱C1D1的中点，则_解析：，243cos 6004214.答案：148.如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是_解析：不妨设棱长为2，则，cos，0，所以，90.答案：909如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1.(1)求，的余弦值；(2)求证：.解：(1)，.因为0，0，0，所以().又|，所以cos，.(2)证明：，()，所以0，所以.10如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM2A1M，C1N2B1N.设a，b，c.(1)试用a，b，c表示向量；(2)若BAC90，BAA1CAA160，ABACAA11，求MN的长解：(1)(ca)a(ba)abc.(2)因为(abc)2a2b2c22ab2bc2ac11102112115，所以|abc|，所以|abc|，即MN.B能力提升11已知空间四边形ABCD中，ACDBDC90，且AB2，CD1，则AB与CD所成的角是()A30 B45C60 D.90解析：选C.根据已知ACDBDC90，得0，所以()|2|21，所以cos，所以AB与CD所成的角为60.12在三棱锥OABC中，OAOB，OAOC，BOC60，OAOBOC2，若E为OA的中点，F为BC的中点，则EF_解析：因为()，