2018_2019学年高中数学第一章计数原理1.2.2第2课时组合的综合应用（习题课）学案.docx

第2课时组合的综合应用(习题课)1.进一步理解组合的定义，熟练掌握组合数公式的应用2.能解决含有限制条件的组合问题，掌握常见的类型及解决策略3.能解决简单的排列、组合的综合问题探究点1有限制条件的组合问题课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)至少有一名队长当选(2)至多有两名女生当选(3)既要有队长，又要有女生当选【解】(1)至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有CCCC825种或采用排除法有CC825种(2)至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有CCCCC966种(3)分两种情况：第一类：女队长当选，有C种；第二类：女队长不当选，有CCCCCCC种故共有CCCCCCCC790种变问法在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？解：分两类情况：第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的11名学生中选取5人有C462种选法第二类：一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，不同的选法有：CC660种选法所以至多1名队长被选上的方法有4626601 122 种有限制条件的组合问题分类有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏 1.若从1，2，3，9这9个整数中取4个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有()A60种B63种C65种 D66种解析：选A.若四个数之和为奇数，则有1个奇数3个偶数或者3个奇数1个偶数若是1个奇数3个偶数，则有CC20种，若是3个奇数1个偶数，则有CC40种，共有204060种不同的取法2(2018江苏盐城大丰新中学高二下学期期中)现从8名学生中选出4人去参加一项活动，若甲、乙两名同学不能同时入选，则共有_种不同的选派方案(用数字作答)解析：根据题意，分两种情况讨论：甲、乙两位同学只有一人入选，只需从剩余的6人中再选出3人，有CC40(种)选派方案；甲、乙两位同学都没有入选，只需从剩余的6人中选出4人，有C15(种)选派方案则共有401555种选派方案答案：55探究点2组合中的分组、分配问题按以下要求分配6本不同的书，各有几种方法？(1)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(2)分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；(3)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本【解】(1)3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书中任取2本的方法有C种，甲不论用哪种方法，取得2本书后，乙再从余下的4本书中任取2本有C种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本书中取两本书，有C种方法，所以一共有CCC90(种)方法(2)先在6本书中任取1本，作为一堆，有C种取法，再从余下的5本书中任取2本，作为一堆，有C种取法，最后余下3本书作为一堆，有C种取法，共有方法CCC60(种)(3)分成三堆共有CCC种，但每一种分组方法又有A种不同的分配方案，故一人得1本，一人得2本，一人得3本的分法有CCCA360(种) 在本例条件下，若甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两个人每个人得1本，有多少种分法？解：先分成三堆，为部分均匀分组问题，共有种，然后分给三个人共有A90(种)分组、分配问题的求解策略(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种完全均匀分组，每组的元素个数均相等；部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！；完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象(2)分配问题属于“排列”问题分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配 将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中(1)有多少种放法？(2)每盒至多一球，有多少种放法？(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？(4)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？解：(1)每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有444444256种放法(2)这是全排列问题，共有A24种放法(3)法一：先将4个小球分为三组，有种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，有A种投放方法，故共有A144种放法法二：先取4个球中的两个“捆”在一起，有C种选法，把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有A种投放方法，所以共有CA144种放法(4)先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有CC12种放法探究点3与几何图形有关的组合问题如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个为顶点，可作出多少个四边形？【解】(1)法一：可作出三角形CCCCC116(个)法二：可作三角形CC116(个)，其中以C1为顶点的三角形有CCCC36(个)(2)可作出四边形CCCCC360(个)解答几何图形类组合问题的策略(1)几何组合问题，主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强(2)解答几何组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可(3)计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数 (1)四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？(2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法？解：(1)(直接法)如图，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面共有3C种取法；含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法根据分类加法计数原理，与顶点A共面的三点的取法有3C333种(2)(间接法)如图，从10个点中取4个点的取法有C种，除去4点共面的取法种数可以得到结果从四面体同一个面上的6个点取出的4点必定共面有4C60种，四面体的每一棱上3点与相对棱中点共面，共有6种共面情况，从6条棱的中点中取4个点时有3种共面情形(对棱中点连线两两相交且互相平分)，故4点不共面的取法为：C(6063)141种探究点4排列、组合的综合应用从1到9的九个数字中取3个偶数、4个奇数，问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？【解】(1)分步完成：第一步，在4个偶数中取3个，可有C种取法；第二步，在5个奇数中取4个，可有C种取法；第三步，3个偶数、4个奇数进行排列，可有A种排法所以符合题意的七位数有CCA100 800(个)(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有CCAA14 400(个)解答排列、组合综合问题的思路及注意点(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列 (2)解排列、组合综合问题时要注意以下两点：元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合的综合问题的一般方法(2018重庆高二检测)将编号为1，2，3，4的四个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子里至少放1个，则恰有1个盒子放有2个连号小球的所有不同放法有_种(用数字作答)解析：先把4个小球分为(2，1，1)一组，其中2个连号小球的种类有(1，2)，(2，3)，(3，4)为一组，分组后分配到三个不同的盒子里，共有CA18种答案：181某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同的选法共有()A26种B84种C35种D21种解析：选C.从7名队员中选出3人有C35种选法2从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两同学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为()A9 B14 C12 D15解析：选A.法一(直接法)分两类：第1类，张、王两同学都不参加，有C1种选法；第2类，张、王两同学中只有1人参加，有CC8种选法故共有189种选法法二(间接法)：共有CC9种不同选法3(2017高考浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有_种不同的选法(用数字作答)解析：分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有CC55种不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各1人，有A12种不同的选法根据分步乘法计数原理知共有5512660种不同的选法答案：6604现有10名学生，其中男生6名(1)从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？(2)从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？(3)从中选4人，若男生中的甲与女生中的乙必须在内，有多少种选法？解：(1)法一(直接法)：必须有女生可分两类：第一类只有一名女生，共有CC24种；第二类有2名女生，共有C6种，根据分类加法计数原理，必须有女生的不同选法有CCC30种法二(间接法)：CC451530(种)(2)CC90(种)(3)C28(种)知识结构深化拓展1.相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法隔板法专门解决相同元素的分配问题(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(nm)，有C种方法可描述为n1个空中插入m1块板2解决先选后排问题时，应遵循三大原则(1)先特殊后一般；(2)先组合后排列；(3)先分类后分步.A基础达标1有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A60种 B70种C75种 D150种解析：选C.根据题意，知从6名男医生中选2名、从5名女医生中选1名组成一个医疗小组，不同的选法共有CC75(种)2某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为()A14种 B24种C28种 D48种解析：选A.法一：分两类完成：第1类，选派1名女生、3名男生，有CC种选派方案；第2类，选派2名女生、2名男生，有CC种选派方案故共有CCCC14种不同的选派方案法二：6人中选派4人的组合数为C，其中都选男生的组合数为C，所以至少有1名女生的选派方案有CC14种3将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有()A12种 B18种C36种 D54种解析：选B.先将1，2捆绑后放入信封中，有C种放法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有CC(种)放法，所以共有CCC18(种)放法4(2018广东肇庆统测)平面内有4个红点，6个蓝点，其中只有一个红点和两个蓝点共线，其余任意三点不共线，过这十个点中的任意两点所确定的直线中，至少过一个红点的直线的条数是()A30 B29C28 D27解析：选B.过一个红点有CC123(条)直线；过两个红点有C6(条)直线，所以共有23629条直线，故选B.5某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有()AAA种 BA54种CCA种 DC54种解析：选D.因为有且只有两个年级选择甲博物馆，所以参观甲博物馆的年级有C种情况，其余年级均有5种选择，所以共有54种情况，根据分步乘法计数原理可得共有C54种情况故选D.6从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有_种解析：男生和女生共7人，从7人中选出4人，有C种选法若选出的4人都是男生，有C种选法，故选出的4人中既有男生又有女生，共有CC34种不同的选法答案：347(2018郑州高二检测)从0，1，2，3，4，5这6个数中每次取3个不同的数，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有_个解析：先选取3个不同的数，有C种选法；然后把其中最大的数放在百位上，另2个不同的数放在十位和个位上，有A种放法，故共有CA40个三位数答案：408艺术节期间，秘书处派甲、乙、丙、丁四名工作人员分别到A、B、C三个不同的演出场馆工作，每个演出场馆至少派一人若要求甲、乙两人不能到同一演出场馆工作，则不同的分派方案有_种解析：(间接法)四个人分别到三个不同的演出场馆工作，每个演出场馆至少派一人的方法种数为CA36，甲、乙两人在同一演出场馆工作的方法数为A6，故不同的分派方案有36630(种)答案：309某志愿者小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长现从中选5人去参加志愿活动，下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选解：(1)一名女生，四名男生，故共有CC350(种)(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有CC165(种)10有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其他5人既会划左舷又会划右舷，现要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，有多少种不同的选法？解：设集合A只会划左舷的3人，B只会划右舷的4人，C既会划左舷又会划右舷的5人先分类，以集合A为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：A中有3人；A中有2人，C中有1人；A中有1人，C中有2人；C中有3人第类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在集合B，C中选3人，有C种选法，同理可得的选法种数故共CCCCCCCCCCC2 174种不同的选法B能力提升11(2018蚌埠高二检测)如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个点作为一组其中可以构成三角形的组数为()A208 B204C200 D196解析：选C.任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种：一是3条横线上的4个点，其组数为3C；二是4条竖线上的3个点，其组数为4C；三是4条对角线上的3个点，其组数为4C，所以可以构成三角形的组数为：C3C8C200，故选C.12在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种(用数字作答)解析：定向分配问题，先分组后分配将8张奖券分四组，再分配给4个人分四组有两种方法：一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4个人有A种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C种分法，再分给4个人有CA种分法所以不同的获奖情况有ACA243660种答案：6013(2018武汉高二检测)有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解：法一：(直接法)从0与1两个特殊值着眼，可分三类：(1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C种方法；0可在后两位，有C种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有CCC22个(2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数有C22A个(3)0和1都不取，有不同的三位数C23A个综上所述，共有不同的三位数：CCC22C22AC23A432个法二：(间接法)任取三张卡片可以组成不同的三位数C23A个，其中0在百位的有C22A个，这是不合题意的，故共有不同的三位数：C23AC22A432个14(选做题)已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？解：(1)先排前4次测试，只能取正品，有A种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有CAA种测法，再排余下4件的测试位置，有A种测法所以共有不同测试方法AAA103 680种(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法A(CC)A576种两个计数原理与排列、组合(强化练)一、选择题1现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为()A7种B12种C64种 D81种解析：选B.要完成配套，分两步：第一步，选上衣，从4件中任选一件，有4种不同的选法；第二步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同的选法故共有4312种不同的配法2从n个人中选出两人，分别从事两项不同的工作，若选派方案的种数为72，则n的值为()A6 B9C12 D15解析：选B.因为A72，所以n9.3将4名大学生分配到A，B，C三个不同的学校实习，每个学校至少分配一人，若甲要求不到A学校，则不同的分配方案共有()A36种 B30种C24种 D20种解析：选C.根据题意，首先分配甲，有2种方法，再分配其余的三人：分两种情况，其中有一个人与甲在同一个学校，有A6种情况，没有人与甲在同一个学校，则有CA6种情况；则若甲要求不到A学校，则不同的分配方案有2(66)24种，故选C.4有三对师徒共6个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有()A72种 B54种C48种 D8种解析：选C.用分步乘法计数原理：第一步：先排每对师徒有AAA，第二步：将每对师徒当作一个整体进行排列有A种，由分步乘法计数原理共有A(A)348种5从0，2，4中取一个数字，从1，3，5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是()A36 B42C48 D54解析：选C.若从0，2，4中取一个数字是“0”，则“0”不放百位，有C种放法，再从1，3，5中取两个数字放在其他两位，有A种放法，共组成CA12个三位数；若从0，2，4中取的一个数字不是“0”，则有C种取法，再从1，3，5中取两个数字有C种取法，共组成CCA36个三位数所以所有不同的三位数有123648(个)6将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为()A80 B120C140 D50解析：选A.首先选2个人放到甲组，共有C10种结果，再把剩下的3个人放到乙和丙两个小组，每组至少一人，共有CA6种结果，所以根据分步乘法计数原理知有10660种结果；当甲组中有三个人时，有CA20种结果所以共有602080种结果故选A.7安排甲、乙、丙、丁四位教师参加星期一至星期六的值日工作，每天安排一人，甲、乙、丙每人安排一天，丁安排三天，并且丁至少要有两天连续安排，则不同的安排方法种数为()A72种 B96种C120种 D156种解析：选B.甲、乙、丙三位教师安排星期一至星期六的任意三天，其余三天丁值日，故有A120种，其中丁没有连续的安排，安排甲、乙、丙三位教师后形成了4个间隔，任选3个安排丁，故有AC24种，故丁至少要有两天连续安排1202496种，故选B.8某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教(每地至少1人)，其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有()A27种 B30种C33种 D36种解析：选B.因为甲和丙同地，甲和乙不同地，所以有2，2，1和3，1，1两种分配方案，2，2，1方案：甲，丙为一组，从余下3人选出2人组成一组，然后排列，共有：CA18种；3，1，1方案：在丁、戊中选出1人，与甲丙组成一组，然后排列，共有CA12种；所以不同的选派方案共有181230种故选B.9用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有()A324个 B216个C180个 D384个解析：选A.个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有CACAC90(个)；个位、十位和百位上的数字为1个偶数、2个奇数的有CACCCAC234(个)根据分类加法计数原理得到共有90234324(个)故选A.10在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一条信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息条数为()A10 B11C12 D15解析：选B.由题意可分为3类第一类，任两个对应位置上的数字都不相同，有C种方法第二类，有1个对应位置上的数字相同，有C种方法第三类，有2个对应位置上的数字相同，有C种方法故共有CCC11(条)，故选B.二、填空题11若89，则n_解析：(n5)(n6)189，即n211n600，解得n15或n4(舍去)答案：1512有5名男生和2名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，则不同的选法共有_种解析：由题意知，从7人中选出5人担任5个学科科代表，共有A2 520(种)不同的选法答案：2 52013(2018江西临川一中高二下学期月考)如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色的方法有_种解析：若1，3不同色，则1，2，3，4必不同色，有3A72(种) 涂色方法；若1，3同色，有CA24(种)涂色方法根据分类加法计数原理可知，共有722496(种)涂色方法答案：9614从7，5，2，1，1，2，5，7中任取3个不同的数作为椭圆ax2by2c0的系数，则能确定的椭圆的个数为_解析：椭圆方程化为标准形式为1.由0，0，得a，b，c同号当a，b，c同为正数时，取三个不同的数有A种取法，可得A24个椭圆当a，b，c同为负数时，取三个不同的数有A种取法，可得A24个椭圆，但此时每个椭圆均与a，b，c同为正数时重复，如a7，b5，c2与a7，b5，c2对应的椭圆重复所以能确定的椭圆有24个答案：24三、解答题15现有10件产品，其中有2件次品，任意取出3件检查(1)若正品A被取到，则有多少种不同的取法？(2)恰有一件是次品的取法有多少种？(3)至少有一件是次品的取法有多少种？解：(1)C36(种)(2)从2件次品中任取1件，有C种取法，从8件正品中任取2件，有C种取法，由分步乘法计数原理得，不同的取法共有CC256种(3)法一：含1件次品的取法有CC种，含2件次品的取法有