数学恒成立问题解法小结.doc

雅QQ1240008362数学恒成立问题解法小结北海七中 林秀雅函数的内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点.函数类问题的解决最终归结为对函数性质、函数思想的应用.恒成立问题，在高中数学中较为常见.这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.恒成立问题在解题过程中有以下几种策略：赋值型；一次函数型；二次函数型；变量分离型；数形结合型.题型一、赋值型利用特殊值求解等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例1由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4= (x+1)4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(x+1)+b4 定义映射f：(a1,a2,a3,a4)b1+b2+b3+b4,则f：(4,3,2,1) ( )A.10 B.7 C.-1 D.0略解：取x=0，则 a4=1+b1+b2+b3+b4,又 a4=1,所以b1+b2+b3+b4 =0 ，故选D例2如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x= 对称，那么a=（ ）.A.1 B.-1 C . D. -.略解：取x=0及x=，则f(0)=f(),即a=-1，故选B.此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.题型二、一次函数型利用单调性求解给定一次函数y=f(x)=ax+b(a0),若y=f(x)在m,n内恒有f(x)0，则根据函数的图象（线段）（如下图） 可得上述结论等价于），或 ） 可合并定成nmoxynmoxy同理，若在m,n内恒有f(x)2a+x恒成立的x的取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在-2，2内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+10在|a|2时恒成立,设f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在-2,2上恒大于0，故有：即解得：x3. 即x(,1)(3,+)此类题本质上是利用了一次函数在区间m,n上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方（或下方）即可.题型三、二次函数型利用判别式,韦达定理及根的分布求解对于二次函数f(x)=ax2+bx+c=0(a0)在实数集R上恒成立问题可利用判别式直接求解，即 f(x)0恒成立；f(x)g(a)恒成立，则g(a)f(x)min;若对于x取值范围内的任何一个数，都有f(x)f(x)max.(其中f(x)max和f(x)min分别为f(x)的最大值和最小值)例6.已知三个不等式，要使同时满足的所有x的值满足，求m的取值范围.略解：由得2x3;,构造函数，画出图象，得am(x2-1)对满足2m2的所有m都成立，求x的取值范围。 解：原不等式化为 (x21)m(2x1)0 记f(m)= (x21)m(2x1) (2m2) 根据题意有： 即：解之：得x的取值范围为2 化归二次函数法根据题目要求，构造二次函数。结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。例2：在R上定义运算：xy(1y) 若不等式(xa)(xa)1对任意实数x成立，则 ( ) (A)1a1 (B)0a2 (C) (D) 解：由题意可知 (x-a)1-(x+a) 0对xR恒成立记f(x)=x2-x-a2+a+1则应满足(-1)2-4(-a2+a+1)0化简得 4a2-4a-30对满足0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围。解：设f(x)=x2-2mx+2m+1本题等价于函数f(x)在0x1上的最小值大于0，求m的取值范围。(1)当m0时，f(x)在0,1上是增函数，因此f(0)是最小值，解 得 m1时，f(x)在0,1 上是减函数，因此f(1)是最小值解 得 m1综合(1)(2)(3) 得 注：当化归为二次函数后，自变量是实数集的子集时，应用二次函数知识解决有时较繁琐。此型题目有时也可转化为后面的法3求解。3 分离参数法在题目中分离出参数，化成af(x) （afmax(x) （aan-1恒成立，求a0的取值范围。解：依题意：3n+(-1)n-12n+(-1)n2na03n-1+(-1)n-22n-1+(-1)n-12n-1a0化简，得 (-1)n32n-1a0-3n-1+(-1)n2n-1 (1)当n=2k-1 kN*时 a0()n-1+ 设g1(n)= ()n-1+ g1(n)在nN* 时且n=2k-1,kN*时是增函数 g1(n)的最小值为g1(1) a0-()n-1+ 设g2(n)=- ()n-1+ g2(n)在nN*且n=2k,kN*时是减函数 g2(n)的最大值为g2(2)0 a00综上可知0a00。设x0(0, )，y=kx+m是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程并设函数g(x)=kx+m（）用x0，f(x0)，(x0)表示m；（）证明：当x(0, )时，g(x)f(x)（）若关于x的不等式x2+1ax+b在0, ）上恒成立，其中a、b为实数。求b的取值范围及a与b所满足的关系。 本题（）应用了此方法。（）解：0b1，a0是不等式成立的必要条件。以下讨论设此条件成立。 x2+1ax+b 即x2-ax+(1-b)0对任意x0, )成立的充要条件是a令(x)=ax+b-，于是ax+b对任意x0, )成立的充要条件是(x)0由(x)=a-=0得x= 当0x时，(x) 时，(x) 0,所以，当x时，(x)取最小值。因此，(x)0成立的充要条件是()0。即a 综上，不等式x2+1ax+b对任意x0, 成立的充要条件是 a显然，存在a、b使式成立的充要条件是：不等式有解。解不等式得 因此，式即为b的取值范围，式即为实数a与b所满足的关系。4.数型结合法例7：如果对任意实数x，不等式恒成立，则实数k的取值范围是解析：画出y1=,y2=kx的图像，由图可看出 0k1K=1例8：已知a0且a1,当x(-1，1)时，不等式x2-ax恒成立，则a的取值范围解析：不等式x2-ax x2-画出y1= ax,y2= x2-的图像。由图可看出 a1或1m(x2-1)对满足-2m2的所有m都成立，求x的取值范围。 分析：从表面上看，这是一个关于x的一元二次不等式，实质上可看作是关于m的一元一次不等式，并且已知它的解集为2，2，求参数x的取值范围，这是一种“转换主元”的思想方法。 解：原不等式化为(x2-1)m-(2x-1)0 4函数。 解： 例5(1990年上海高考题)设A=x|x-|,B=x|x-3(a+1)x+2(3a+