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文档简介

设对于 n 阶方阵 A，若存在 n 阶方阵 B 使得 A B = B A = E 恒成立，则称矩阵 A 可逆；B 称为 A 的逆矩阵，记为 A1 = B 。,1.若矩阵 A可逆，则 A的逆矩阵是唯一的。 证明：设 A有两个逆矩阵B1、B2，则 B1= B1E = B1(AB2) = (B1A) B2 = EB2 = B2,一、可逆矩阵的定义,二、可逆矩阵的判断,2.若| A|0，则 A可逆，且,证明：由行列式的代数余子式的性质及矩阵乘法的定义有：AA*=A*A=|A|E，又 |A| 0,3.对于n 阶方阵 A、B 若有 AB = E 则：A、B 均可逆，且它们互为可逆矩阵。 证明： AB = E | A| | B | =1 故 | A| 0且| B| 0，A、B均可逆， 且 A1=B,1.若 A 可逆，则 | A| 0 证明： A可逆 A A1 = A1 A = E 故 | A| A1 |=1， 即 | A| 0 同时还有,三、可逆矩阵的性质,奇异矩阵与非奇异矩阵： 若n方阵的行列式 | A| 0，称矩阵 A为非奇异矩阵，否则矩阵A称为奇异矩阵。,2.如果A、B均可逆，那么AT与AB都可逆，且 (AT)1(A1)T (AB)1B1A1 证明： A、B均可逆 AA1=A1AE 故 (AA1)T=(A1)TATET=E (AT)1=(A1)T 同理 (AB)(B 1 A1) (B 1 A1) (AB) E (A)1=1 A1,即Aij与Bij有相同的列数与行数，则：A与B 的和就是以Aij与Bij为元素的形式矩阵相加。,一、分块矩阵的加法：设矩阵A、B是同型矩阵，且 A 与 B 有相同的分块方法,二、分块矩阵的乘法：设矩阵 Amn、Bnp 且矩阵 A 列的分法与矩阵 B 的行的分法相同。,三、分块矩阵的转置,它的特点是不在主对角线上的子块全为零矩阵，而在主对角线上的矩阵均为不全为零的方阵，则称 A为准对角矩阵（或分块对角矩阵）。 对于准对角矩阵，有以下运算性质： 若A与B是具有相同分块的准对角矩阵，且设,四、准对角矩阵 若矩阵A的分块矩阵具有以下形式,则：,若准对角矩阵A的主对角线上的每一个方阵均可逆，则矩阵A也可逆，且,五、矩阵分块的应用,六、矩阵按行、列分块,如果把系数矩阵A按行分成m块，则线性方程组 可记作,如果把系数矩阵A按列分成 n块，则线性方程组 可记作,对于矩阵 与矩阵 的乘积 ，若把矩阵 A 按行分成 m
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