陈文登考研数学辅导书(详细答案,.doc

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薃膃芅荿羁膂莈蚅袇膁蒀蒈螃膀膀蚃虿螇节蒆薅螆莄蚂袄袅肄蒄螀袄膆蚀蚆袃荿蒃蚂袂蒁莅羀袂膁薁袆袁芃莄螂袀莅蕿蚈衿肅莂薄羈膇薈袃羇艿莀蝿羆蒂薆螅羆膁葿蚁羅芄蚄薇羄莆蒇袆羃肆蚂螂羂膈蒅蚈肁芀蚁薄肁莃蒃袂肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇莅蚀肇肇薀薆肆腿莃袅肅芁薈螁膅莃莁蚇膄肃薇薃膃芅荿羁膂莈蚅袇膁蒀蒈螃膀膀蚃虿螇节蒆薅螆莄蚂袄袅肄蒄螀袄膆蚀蚆袃荿蒃蚂袂蒁莅羀袂膁薁袆袁芃莄螂袀莅蕿蚈衿肅莂薄羈膇薈袃羇艿莀蝿羆蒂薆螅羆膁葿蚁羅芄蚄薇羄莆蒇袆羃肆蚂螂羂膈蒅蚈肁芀蚁薄肁莃蒃袂肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇莅蚀肇肇薀薆肆腿莃袅肅芁薈螁膅莃莁蚇膄肃薇薃膃芅荿羁膂莈蚅袇膁蒀蒈螃膀膀蚃虿螇节蒆薅螆莄蚂袄袅肄蒄螀袄膆蚀蚆袃荿蒃蚂袂蒁莅羀袂膁薁袆袁芃莄螂袀莅蕿蚈衿肅莂薄羈膇薈袃羇艿莀蝿羆蒂薆螅羆膁葿蚁羅芄蚄薇羄莆蒇袆羃肆蚂螂羂膈蒅蚈肁芀蚁薄肁莃蒃袂肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇莅蚀肇肇薀薆肆腿莃袅肅芁薈螁膅莃莁蚇膄肃薇薃膃芅荿羁膂莈蚅袇膁蒀蒈螃膀膀蚃虿螇节蒆薅螆莄蚂袄袅肄蒄螀袄膆蚀蚆袃荿蒃蚂袂蒁莅羀袂膁薁袆袁芃莄螂袀莅蕿蚈衿肅莂薄羈膇薈袃羇艿莀蝿羆蒂薆螅羆膁葿蚁羅芄蚄薇羄莆蒇袆羃肆蚂螂羂膈蒅蚈肁芀蚁薄肁莃蒃袂肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇莅蚀肇肇薀薆肆腿莃袅肅芁薈螁膅莃莁蚇膄肃薇薃膃芅荿羁膂莈蚅袇膁蒀蒈螃膀膀蚃虿螇节蒆薅螆莄蚂袄袅肄蒄螀袄膆蚀蚆袃荿蒃蚂袂蒁莅羀袂膁薁袆袁芃莄螂袀莅蕿蚈衿肅莂薄羈膇薈袃羇艿莀蝿羆蒂薆螅羆膁葿蚁羅芄蚄薇羄莆蒇袆羃肆蚂螂羂膈蒅蚈肁芀蚁薄肁莃蒃袂肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇莅蚀肇肇薀薆肆腿莃袅肅芁薈螁膅莃莁蚇膄肃薇薃膃芅荿羁膂莈蚅袇膁蒀蒈螃膀膀蚃虿螇节蒆薅螆莄蚂袄袅肄蒄螀袄膆蚀蚆袃荿蒃蚂袂蒁莅羀袂膁薁袆袁芃莄螂袀莅蕿蚈衿肅莂薄羈膇薈袃羇艿莀蝿羆蒂薆螅羆膁葿蚁羅芄蚄薇羄莆蒇袆羃肆蚂螂羂膈蒅蚈肁芀蚁薄肁莃蒃袂肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇莅蚀肇肇薀薆肆腿莃袅肅芁薈螁膅莃莁蚇膄肃薇薃膃芅荿羁膂莈蚅袇膁蒀蒈螃膀膀蚃虿螇节蒆薅螆莄蚂袄袅肄蒄螀袄膆蚀蚆袃荿蒃蚂袂蒁莅羀袂膁薁袆袁芃莄螂袀莅蕿蚈衿肅莂薄羈膇薈袃羇艿莀蝿羆蒂薆螅羆膁葿蚁羅芄蚄薇羄莆蒇袆羃肆蚂螂羂膈蒅蚈肁芀蚁薄肁莃蒃袂肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇莅蚀肇肇薀薆肆腿莃袅肅芁薈螁膅莃莁蚇膄肃薇薃膃芅荿羁膂莈蚅袇膁蒀蒈螃膀膀蚃虿螇节蒆薅螆莄蚂袄袅肄蒄螀袄膆蚀蚆袃荿蒃蚂袂蒁莅羀袂膁薁袆袁芃莄螂袀莅蕿蚈衿肅莂薄羈膇薈袃羇艿莀蝿羆蒂薆螅羆膁葿蚁羅芄蚄薇羄莆蒇袆羃肆蚂螂羂膈蒅蚈肁芀蚁薄肁莃蒃袂肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇莅蚀肇肇薀薆肆腿莃袅肅芁薈螁膅莃莁蚇膄肃薇薃膃芅荿羁膂莈蚅袇膁蒀蒈螃膀膀蚃虿螇节蒆薅螆莄蚂袄袅肄蒄螀袄膆蚀蚆袃荿蒃蚂袂蒁莅羀袂膁薁袆袁芃莄螂袀莅蕿蚈衿肅莂薄羈膇薈袃羇艿莀蝿羆蒂薆螅羆膁葿蚁羅芄蚄薇羄莆蒇袆羃肆蚂螂羂膈蒅蚈肁芀蚁薄肁莃蒃袂肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇莅蚀肇肇薀薆肆腿莃袅肅芁薈螁膅莃莁蚇膄肃薇薃膃芅荿羁膂莈蚅袇膁蒀蒈螃膀膀蚃虿螇节蒆薅螆莄蚂袄袅肄蒄螀袄膆蚀蚆袃荿蒃蚂袂蒁莅羀袂膁薁袆袁芃莄螂袀莅蕿蚈衿肅莂薄羈膇薈袃羇艿莀蝿羆蒂薆螅羆膁葿蚁羅芄蚄薇羄莆蒇袆羃肆蚂螂羂膈蒅蚈肁芀蚁薄肁莃蒃袂肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇莅蚀肇肇薀薆肆腿莃袅肅芁薈螁膅莃莁蚇膄肃薇薃膃芅荿羁膂莈蚅袇膁蒀蒈螃膀膀蚃虿螇节蒆薅螆莄蚂袄袅肄蒄螀袄膆蚀蚆袃荿蒃蚂袂蒁莅羀袂膁薁袆袁芃莄螂袀莅蕿蚈衿肅莂薄羈膇薈袃羇艿莀蝿羆蒂薆螅羆膁葿蚁羅芄蚄薇羄莆蒇袆羃肆蚂螂羂膈蒅蚈肁芀蚁薄肁莃蒃袂肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇莅蚀肇肇薀薆肆腿莃袅肅芁薈螁膅莃莁蚇膄肃薇薃膃芅荿羁膂莈蚅袇膁蒀蒈螃膀膀蚃虿螇节蒆薅螆莄蚂袄袅肄蒄螀袄膆蚀蚆袃荿蒃蚂袂蒁莅羀袂膁薁袆袁芃莄螂袀莅蕿蚈衿肅莂薄羈膇薈袃羇艿莀蝿羆蒂薆螅羆膁葿蚁羅芄蚄薇羄莆蒇袆羃肆蚂螂羂膈蒅蚈肁芀蚁薄肁莃蒃袂肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇莅蚀肇肇薀薆肆腿莃袅肅芁薈螁膅莃莁蚇膄肃薇薃膃芅荿羁膂莈蚅袇膁蒀蒈螃膀膀蚃虿螇节蒆薅螆莄蚂袄袅肄蒄螀袄膆蚀蚆袃荿蒃蚂袂蒁莅羀袂膁薁袆袁芃莄螂袀莅蕿蚈衿肅莂薄羈膇薈袃羇艿莀蝿羆蒂薆螅羆膁葿蚁羅芄蚄薇羄莆蒇袆羃肆蚂螂羂膈蒅蚈肁芀蚁薄肁莃蒃袂肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇莅蚀肇肇薀薆肆腿莃袅肅芁薈螁膅莃莁蚇膄肃薇薃膃芅荿羁膂莈蚅袇膁蒀蒈螃膀膀蚃虿螇节蒆薅螆莄蚂袄袅肄蒄螀袄膆蚀蚆袃荿蒃蚂袂蒁莅羀袂膁薁袆袁芃莄螂袀莅蕿蚈衿肅莂薄羈膇薈袃羇艿莀蝿羆蒂薆螅羆膁葿蚁羅芄蚄薇羄莆蒇袆羃肆蚂螂羂膈蒅蚈肁芀蚁薄肁莃蒃袂肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇莅蚀肇肇薀薆肆腿莃袅肅芁薈螁膅莃莁蚇膄肃薇薃膃芅荿羁膂莈蚅袇膁蒀蒈螃膀膀蚃虿螇节蒆薅螆莄蚂袄袅肄蒄螀袄膆蚀蚆袃荿蒃蚂袂蒁莅羀袂膁薁袆袁芃莄螂袀莅蕿蚈衿肅莂薄羈膇薈袃羇艿莀蝿羆蒂薆螅羆膁葿蚁羅芄蚄薇羄莆蒇袆羃肆蚂螂羂膈蒅蚈肁芀蚁薄肁莃蒃袂肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇莅蚀肇肇薀薆肆腿莃袅肅芁薈螁膅莃莁蚇膄肃薇薃膃芅荿羁膂莈蚅袇膁蒀蒈螃膀膀蚃虿螇节蒆薅螆莄蚂袄袅肄蒄螀袄膆蚀蚆袃荿蒃蚂袂蒁莅羀袂膁薁袆袁芃莄螂袀莅蕿蚈衿肅莂薄羈膇薈袃羇艿莀蝿羆 函数 极限 连续一. 填空题1设 , 则a = _.解. 可得 = , 所以 a = 2.2. =_.解. 所以 0, b 0解. = 4. 求下列函数的间断点并判别类型(1) 解. , 所以x = 0为第一类间断点.(2) 解. 显然 , 所以x = 1为第一类间断点;, 所以x = 1为第一类间断点.(3) 解. f(+0) =sin1, f(0) = 0. 所以x = 0为第一类跳跃间断点; 不存在. 所以x = 1为第二类间断点; 不存在, 而 ,所以x = 0为第一类可去间断点; , (k = 1, 2, ) 所以x = 为第二类无穷间断点.5. 设 , 且x = 0 是f(x)的可去间断点. 求a, b.解. x = 0 是f(x)的可去间断点, 要求 存在. 所以 . 所以 0 = = 所以a = 1. = 上式极限存在, 必须 . 6. 设 , b 0, 求a, b的值.解. 上式极限存在, 必须a = (否则极限一定为无穷). 所以 = . 所以 .7. 讨论函数 在x = 0处的连续性.解. 当 时不存在, 所以x = 0为第二类间断点;当 时, 所以 时,在 x = 0连续, 时, x = 0为第一类跳跃间断点.8. 设f(x)在a, b上连续, 且a x1 x2 xn b, ci (i = 1, 2, 3, , n)为任意正数, 则在(a, b)内至少存在一个x, 使 .证明: 令M = , m = . 不妨假定 所以 m M所以存在x( a x1 x xn b), 使得 9. 设f(x)在a, b上连续, 且f(a) b, 试证在(a, b)内至少存在一个x, 使f(x) = x.证明: 假设F(x) = f(x)x, 则F(a) = f(a)a 0于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个x, 使f(x) = x.10. 设f(x)在0, 1上连续, 且0 f(x) 1, 试证在0, 1内至少存在一个x, 使f(x) = x.证明: (反证法) 反设 . 所以 恒大于0或恒小于0. 不妨设 . 令 , 则 . 因此 . 于是 , 矛盾. 所以在0, 1内至少存在一个x, 使f(x) = x.11. 设f(x), g(x)在a, b上连续, 且f(a) g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个x, 使f(x) = g(x).证明: 假设F(x) = f(x)g(x), 则F(a) = f(a)g(a) 0于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个x, 使f(x) = x.12. 证明方程x53x2 = 0在(1, 2)内至少有一个实根.证明: 令F(x) = x53x2, 则F(1) =4 0所以 在(1, 2)内至少有一个x, 满足F(x) = 0.13. 设f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 且 , 求 及 .解. . 所以 . f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 所以 在x = 0连续. 所以f(0) = 3. 因为 , 所以 , 所以 = 由 , 将f(x)泰勒展开, 得 , 所以 , 于是.(本题为2005年教材中的习题, 2006年教材中没有选入. 笔者认为该题很好, 故在题解中加入此题)倒数与微分一. 填空题(理工类)1. , 则 = _.解. , 假设 , 则 , 所以 2. 设 , 则 _.解. , 3. 设函数y = y(x)由方程 确定, 则 _.解. , 所以 4. 已知f(x) =f(x), 且 , 则 _.解. 由f(x) =f(x)得 , 所以 所以 5. 设f(x)可导, 则 _.解. = + = 6. 设 , 则k = _.解. , 所以 所以 7. 已知 , 则 _.解. , 所以 . 令x2 = 2, 所以 8. 设f为可导函数, , 则 _.解. 9. 设y = f(x)由方程 所确定, 则曲线y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程为_.解. 上式二边求导 . 所以切线斜率 . 法线斜率为 , 法线方程为 , 即 x2y + 2 = 0.二. 单项选择题(理工类)1. 设f(x)可导, F(x) = f(x)(1+|sin x|), 则f(0) = 0是F(x)在x = 0处可导的(a) 充分必要条件 (b) 充分但非必要条件 (c) 必要但非充分条件(d) 既非充分又非必要条件解. 必要性:存在, 所以 = , 于是= = = = = = 所以 , 2f(0) = 0, f(0) = 0充分性:已知f(0) = 0, 所以= = = = = = = = 所以 存在. (a)是答案.2. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且 , 则当n为大于2的正整数时, f(x)的n阶导数是(a) (b) (c) (d) 解. , 假设 = , 所以 = , 按数学归纳法 = 对一切正整数成立. (a)是答案.3. 设函数对任意x均满足f(1 + x) = af(x), 且 b, 其中a, b为非零常数, 则(a) f(x)在x = 1处不可导 (b) f(x)在x = 1处可导, 且 a(c) f(x)在x = 1处可导, 且 b (d) f(x)在x = 1处可导, 且 ab解. 在f(1 + x) = af(x)中代入 = , 所以. (d)是答案注: 因为没有假设 可导, 不能对于 二边求导.4. 设 , 则使 存在的最高阶导数n为(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3解. . 所以n = 2, (c)是答案.5. 设函数y = f(x)在点x0处可导, 当自变量x由x0增加到x0 + Dx时, 记Dy为f(x)的增量, dy为f(x)的微分, 等于(a) 1 (b) 0 (c) 1 (d) 解. 由微分定义Dy = dy + o(Dx), 所以 . (b)是答案.6. 设 在x = 0处可导, 则(a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b为任意常数 (c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b为任意常数解. 在x = 0处可导一定在x = 0处连续, 所以 , 所以b = 0. , , 所以 0 = a. (c)是答案.7. 设f(0) = 0, 则f(x)在x = 0处可导的充要条件为(a) h)存在. (b) 存在.(c) h)存在. (d) 存在.解. 由 存在可推出(a)中的极限值为 , (b)中的极限值为 - , (d)中的极限值为 , 而(c)中的极限为: ;反之(a) 及(c)中的极限值存在, 不一定 存在, 举反例如下: y = |x|, 不存在, (a)、(c)二表达式的极限都存在 排除(a)及(c). (d)中的极限存在, 不一定 存在, 举反例如下: , 排除(d). 所以(b)是答案. 由(b)推出 存在证明如下: = = 所以 存在.8. 设函数f(x)在(, +)上可导, 则(a) 当 时, 必有 (b) 当 时, 必有 (c) 当 时, 必有 (d) 当 时, 必有 解. (a)不正确. 反例如下: y = x; (b)不正确. 反例如下: ; (c)不正确. 反例如下: ; (d)是答案. 证明如下: 因为 , 所以对于充分大的x, 单增. 如果 , 则证明结束, 否则 单增有上界, 则 存在(k为有限数). 任取x, 在区间x, x + 1上用拉格朗日定理 (x x 0且 . (d) f(a) 0, , |f(x)| = f(x), 在x = 0可导. 排除(c); (d) 反例: , 取a = 0. 排除(d); 所以(b)是答案. 对于(b)证明如下: 在(b)的条件下证明 不存在. 不妨假设 . . 所以存在d, 当x (ad, a + d)时 . 所以当x a时, f(x) 0. 于是 . 当x a时f(x) 0. 于是 . 所以 不存在.三. 计算题(理工类)1. 解. 2. 已知f(u)可导, 解. = 3. 设y为x的函数是由方程 确定的, 求 .解. , 所以 4. 已知 , 求 .解. , 5. 设 , 求 解. , 6. 设函数f(x)二阶可导, , 且 , 求 , .解. , 所以 =3. 所以 7. 设曲线x = x(t), y = y(t)由方程组 确定. 求该曲线在t = 1处的曲率.解. . 所以 所以 . 所以 . 在t = 1的曲率为 四. 已知 , 其中g(x)有二阶连续导数, 且g(0) = 1(1) 确定a 的值, 使f(x)在x = 0点连续; (2) 求 .解. (1) f(x)在x = 0点连续, 所以 , 所以 , 所以g(0) = cos 0 = 1(这说明条件g(0) = 1是多余的). 所以 = (2) 方法1: = = = (0 x 0)解. 令 = 5. 解. 令 = = = = 6. 解. 令 = 三. 求下列不定积分:1. 解. 2. 解. 令 , = 四. 求下列不定积分:1. 解. = = 2. 解. 五. 求下列不定积分:1. 解. 2. 解. = 3. 解. 4. 解. 六. 求下列不定积分:1. 解. = = = = = 2. 解. = 3. 解. 七. 设 , 求 .解. 考虑连续性, 所以 c =1+ c1, c1 = 1 + c 八. 设 , (a, b为不同时为零的常数), 求f(x).解. 令 , , 所以 = 九. 设当x 0时, 连续, 求 .解. = = + = +c.十. 设 , 求f(x).解.令 , 所以 所以 十一. 求下列不定积分:1. 解. 令 = 2. 解. 令 = 3. 解. + = = 4. (a 0)解. = = = = = = 十二. 求下列不定积分:1. 解. = 2. 解. = = = 一若f(x)在a，b上连续, 证明: 对于任意选定的连续函数F(x), 均有 , 则f(x) 0.证明: 假设f(x) 0, a x 0. 因为f(x)在a，b上连续, 所以存在d 0, 使得在xd, x + d上f(x) 0. 令m = . 按以下方法定义a，b上F(x): 在xd, x + d上F(x) = , 其它地方F(x) = 0. 所以 .和 矛盾. 所以f(x) 0.二. 设l为任意实数, 证明: = .证明: 先证: = 令 t = , 所以 = 于是= 所以 = .所以 同理 .三已知f(x)在0，1上连续, 对任意x, y都有|f(x)f(y)| 0, (0 t 0, 证明: 对于满足0 a b 1的任何 a, b, 有 证明: 令 (x a), ., (这是因为t a, x a, 且f(x)单减).所以 , 立即得到 六. 设f(x)在a, b上二阶可导, 且 0, 证明: 证明: x, ta, b, 令 , 所以 二边积分 = .七. 设f(x)在0, 1上连续, 且单调不增, 证明: 任给a (0, 1), 有 证明: 方法一: 令 (或令 ) , 所以F(x)单增; 又因为F(0) = 0, 所以F(1) F(0) = 0. 即 , 即 方法二: 由积分中值定理, 存在x0, a, 使 ;由积分中值定理, 存在ha, 1, 使 因为 .所以 八. 设f(x)在a, b上具有二阶连续导数, 且 , 证明: 在(a, b)内存在一点x, 使 证明: 对于函数 ，用泰勒公式展开： t, x a, b = (1)(1)中令x = a, t = b, 得到 (2)(1)中令x = b, t = a, 得到 (3)(3)(2)得到 于是 = 注: 因为需要证明的等式中包含 , 其中二阶导数相应于(ba)的三次幂, 所以将 泰勒展开; 若导数的阶数和幂指数相同, 一般直接将f(x)泰勒展开.九. 设f连续, 证明: 证明: = 所以 2 即 十. 设f(x)在a, b上连续, 在a, b内存在而且可积, f(a) = f(b) = 0, 试证: , (a x b)证明: , 所以 , 即 ;即 所以 即 , (a x 0因为f(0) = f(1) = 0$x0 (0,1)使 f(x0) = (f(x)所以 （1）在（0，x0）上用拉格朗日定理 在（x0, 1）上用拉格朗日定理 所以（因为 ）所以 由（1）得十二设f(x)在a, b上连续, 且f(x) 0,则 证明: 将lnx在x0用台劳公式展开 （1）令 x = f（t） 代入（1）将上式两边取 ，最后一项为0，得十三. 设f(x)在0, 1上有一阶连续导数, 且f(1)f(0) = 1, 试证: 证明: 十四. 设函数f(x)在0, 2上连续, 且 = 0, = a 0. 证明: $ x 0, 2, 使|f(x)| a.解. 因为f(x)在0, 2上连续, 所以|f(x)|在0, 2上连续, 所以$ x 0, 2, 取x使|f(x)| = max |f(x)| (0 x 2)使|f(x)| |f(x)|. 所以 一. 计算下列广义积分:(1) (2) (3) (4) (5) (6) 解. (1) (2) (3) 因为 , 所以 积分收敛.所以=2 (4) (5) (6) 微分中值定理与泰勒公式一. 设函数f(x)在闭区间0, 1上可微, 对于0, 1上每一个x, 函数f(x)的值都在开区间(0, 1)内, 且 , 证明: 在(0, 1)内有且仅有一个x, 使f(x) = x.证明: 由条件知0 f(x) 0, F(1) 0, 所以存在x (0, 1), 使F(x) = 0. 假设存在x1, x2 (0, 1), 不妨假设x2 x1, 满足f(x1) = x1, f(x2) = x2. 于是 x1x2 = f(x1)f(x2) = . (x2 h x1). 所以 , 矛盾.二. 设函数f(x)在0, 1上连续, (0, 1)内可导, 且 . 证明: 在(0, 1)内存在一个x, 使 .证明: , 其中x1满足 .由罗尔定理, 存在x, 满足0 x x1, 且 .三设函数f(x)在1, 2上有二阶导数, 且f(1) = f(2) = 0, 又F(x) =(x1)2f(x), 证明: 在(1, 2)内至少存在一个x, 使 .证明: 由于F(1) = F(2) = 0, 所以存在x1, 1 x1 2, 满足 . 所以 .所以存在x, 满足1 x 0)上连续, 在(0, x)内可导, 且f(0) = 0, 试证: 在(0, x)内存在一个x, 使 .证明: 令F(t) = f(t), G(t) = ln(1+t), 在0, x上使用柯西定理 , x (0, x)所以 , 即 五.