2019届高考数学二轮复习专题一函数第1讲函数的图象与性质学案.docx

第1讲函数的图象与性质 1. 函数的图象与性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数2. 函数的图象与性质会涉及如下题型：(1) 函数“二域三性”的考查；(2) 函数性质在解决不等式问题中的应用；(3) 函数与方程问题；(4) 函数性质在数列等问题中的应用；(5) 利用导数来刻画函数的性质1. 已知函数f(x)在区间(2，3)上是增函数，则yf(x5)的一个递增区间是_答案：(7，2)解析：令2x53，解得7x2.2. 已知二次函数f(x)满足f(2x)f(2x)，且f(x)在0，2上是增函数，若f(a)f(0)，则实数a的取值范围是_答案：0，4解析：由题意可知函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x2(如图)，若f(a)f(0)，从图象观察可知0a4.3. 若二次函数g(x)满足g(1)1，g(1)5，且图象过原点，则g(x)的解析式为_答案：g(x)3x22x解析：设g(x)ax2bxc(a0)，因为g(1)1，g(1)5，且图象过原点，所以解得所以g(x)3x22x.4. (2018南京学情调研)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(，0上为单调增函数若f(1)2，则满足f(2x3)2的x的取值范围是_答案：(，2解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，且在(，0上为单调增函数，所以f(x)在R上为单调增函数因为f(1)2，所以f(1)2，故f(2x3)2f(1)，即2x31，解得x2.,一) 研究函数的单调性,1) 已知函数f(x)a.(1) 求证：函数yf(x)在(0，)上是增函数；(2) 若f(x)2x在(1，)上恒成立，求实数a的取值范围(1) 证明：当x(0，)时，f(x)a，设0x10，x2x10，f(x2)f(x1)(a)(a)0，所以f(x)在(0，)上是增函数(2) 解：由题意得a2x在(1，)上恒成立，设h(x)2x，则ah(x)在(1，)上恒成立任取x1，x2(1，)且x1x2，h(x1)h(x2)(x1x2)(2)因为1x1x2，所以x1x21，所以20，所以h(x1)2，所以a的取值范围为(2，),二) 研究函数的最值,2) 函数f(x)4x24axa22a2在区间0，2上有最小值3，求a的值解： f(x)42a2， 当0，即a0时，函数f(x)在0，2上是增函数所以f(x)minf(0)a22a2.由a22a23，得a1.因为a0，所以a1. 当02，即0a0时，f(x)为二次函数，且满足f(2)1，f(x)在(0，)上的两个零点为1和3.(1) 求函数f(x)在R上的解析式；(2) 作出f(x)的图象，并根据图象讨论关于x的方程f(x)c0(cR)的根的个数解：(1) 由题意，当x0时，设f(x)a(x1)(x3)(a0)，因为f(2)1，所以a1，所以f(x)x24x3.当x0，因为f(x)为R上的奇函数，所以f(x)f(x)，所以f(x)f(x)(x)24(x)3x24x3，即当x0时，f(x)x24x3.因为f(x)是奇函数，所以f(0)0，所以f(x)(2) 作出f(x)的图象(如图所示)，由f(x)c0得cf(x)，在图中作yc，根据交点讨论方程的根：当c3或c3时，方程有1个根；当1c3或3c1时，方程有2个根；当c1或c1时，方程有3个根；当0c1或1c2，则实数x的取值范围是_答案：(1，3)解析：令g(x)f(x)1exex，则g(x)为奇函数，且在R上单调递增因为f(2x1)f(4x2)2，所以f(2x1)1f(4x2)10，即g(2x1)g(4x2)0，解得g(2x1)g(x24)，即2x1x24，解得x(1，3)1. (2017全国卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(，0)时，f(x)2x3x2，则f(2)_答案：12解析：因为函数f(x)为奇函数，所以f(2)f(2)2(2)3(2)212.2. (2018江苏卷)函数f(x)的定义域为_答案：2，)解析： 由解得x2，即x2，)3. (2018全国卷)已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x)若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)_答案：2解析： f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x)， f(x)是周期为4的函数，f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(0)f(1)f(0)0， f(1)f(2)f(50)f(1)f(2)f(1)f(0)2.4. (2017天津卷)已知函数f(x)设aR，若关于x的不等式f(x)在R上恒成立，则a的取值范围是_答案：2，2解析：(解法1)由题意可知，函数yf(x)的图象恒不在函数y的图象下方，画出函数yf(x)和函数y的图象，如图所示当a0时，显然f(x)；当a0时，函数y的图象由函数y的图象向右平移|2a|个单位长度得到由图可知，当函数y在x0时，函数y的图象由函数y的图象向左平移|2a|个单位长度得到，由图可知，当函数y在x2a部分的图象经过点(0，2)或与函数yf(x)在x1部分的图象相切时，a取得最大值，而经过点(0，2)时，a2，当函数y在x2a部分的图象与函数yf(x)在x1部分的图象相切时，设切点为P(x0，y0)(x01)，因为x1时，f(x)1，则1，解得x02，所以y03.又点P(2，3)在函数y在x2a部分的图象上，所以3，解得a2，因此a的最大值为2.综上所述，a的取值范围是2，2(解法2)不等式f(x)可转化为f(x)af(x)，当x1时，有|x|2a|x|2，即|x|2a|x|2.因为当x0时，|x|222，当0x1时，|x|222，|x|222，所以2a2；当x1时，有xax，即a.又2，2，所以2a2.综上，a的取值范围是2，25. (2016浙江卷)已知函数g(x)ax22axb(a0)在区间1，3上有最大值5，最小值1.设f(x).(1) 求a，b的值；(2) 若f(|lg x1|)k3k1对任意x1，10)(10，100恒成立，求k的取值范围解：(1) g(x)a(x1)2ba，因为a0，所以g(x)在区间1，3上是增函数，故解得(2) 由已知和(1)可得f(x)x2，f(|lg x1|)k3k1，即|lg x1|23k1.令t|lg x1|，则t(0，1，t3k30对任意t(0，1恒成立令h(t)t3k3，t(0，1，则 当k1时，h(t)t0成立； 当k1时，h(t)t3k3在(0，1上为增函数，t0时，h(t)，舍去； 当k1时，h(t)在(0，上为减函数，在(，)上为增函数，若1，即1k时，h(t)minh()23k30，得1k，即1k；若1，即k时，h(t)在(0，1上为减函数，h(t)minh(1)k0，即k0.综上，k的取值范围是1，0(本题模拟高考评分标准，满分16分)已知函数f(x).(1) 求函数f(x)的定义域和值域；(2) 设F(x)(f2(x)2)f(x)(a为实数)，求F(x)在a0时的最大值g(a)；(3) 对(2)中g(a)，若m22tmg(a)对a0时所有的实数a及t1，1恒成立，求实数m的取值范围解：(1) 由1x0且1x0，得1x1，所以函数f(x)的定义域为1，1(2分)又f2(x)222，4，由f(x)0得值域为，2(4分)(2) 令tf(x)，则t21，所以F(x)m(t)a(t21)tat2ta，t，2(6分)由题意知g(a)即为函数m(t)at2ta，t，2的最大值注意到直线t是抛物线m(t)at2ta的对称轴因为a0时，函数ym(t)，t，2的图象是开口向下的抛物线的一段， 若t(0，即a，则g(a)m().(7分) 若t(，2，即a，则g(a)m()a.(8分) 若t(2，)，即a0，则g(a)m(2)a2.(9分)综上，有g(a)(10分)(3) 易得g(a)min，(11分)由m22tmg(a)对a0恒成立，即要使m22tmg(a)min恒成立m22tm0，令h(t)2mtm2，对所有的t1，1，h(t)0成立，只需(14分)求出m的取值范围是(，202，)(16分)1. 设函数yf(x1)是定义在(，0)(0，)上的偶函数，在区间(，0)上是减函数，且图象过点(1，0)，则不等式(x1)f(x)0的解集为_答案：x|x0或1x2解析：函数yf(x1)的图象向右平移1个单位长度得到yf(x)的图象，由已知可得f(x)的图象的对称轴为x1，过定点(2，0)，且函数在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，则f(x)的大致图象如图所示不等式(x1)f(x)0可化为或由图可知符合条件的解集为x|x0或1x22. 已知函数f(x)2x的定义域为(0，1(a为实数)(1) 当a1时，求函数yf(x)的值域；(2) 求函数yf(x)在区间(0，1上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时x的值解：(1) 当a1时，f(x)2x，任取1x1x20，则f(x1)f(x2)2(x1x2)()(x1x2)(2) 1x1x20， x1x20，x1x20. f(x1)f(x2)， f(x)在(0，1上单调递增，无最小值，当x1时取得最大值1， f(x)的值域为(，1(2) 当a0时，yf(x)在(0，1上单调递增，无最小值，当x1时取得最大值2a；当a0时，f(x)2x，当1，即a(，2时，yf(x)在(0，1上单调递减，无最大值，当x1时取得最小值2a；当1，即a(2，0)时，yf(x)在(0，上单调递减，在，1上单调递增，无最大值，当x时取得最小值2.3. (2018扬州中学月考)设函数f(x)g(x)f(x)ax，x1，3，其中aR.记函数g(x)的最大值与最小值的差为h(a)(1) 求函数h(a)的解析式；(2) 画出函数yh(a)的图象，并指出h(a)的最小值解：(1) 由题意知g(x)当a1时，函数g(x)是1，3上的减函数，此时g(x)ming(3)23a，g(x)maxg(1)