妙用高中数学16个二级结论高效解题

二级结论1奇函数的最值性质

已知函数/(X)是定义在区间D上的奇函数,则对任意的XED,都有/(x)+f(-x)=o.特别地,若

奇函数/(X)在。上有最值,则且若oer>,则/(0)=0.

例题1设函数/W=空薯咛的最大值为M,最小值为m,则M+,片.

【解析】显然函数/G)的定义域为凡

\(x+1)2+sinx.,2x+sinx

设g(x)车等，则g(-x)=-g(x),Agto为奇函数，

由奇函数图象的对称性知g(X)小ax+g(x)wiM~0,

***M+加=[g(X)+1]max+[g(X)+1]加，尸2+g(X)〃g+g(X)加〃=2.

巩固1.已知函数/(x)=/〃(>/l+9%2-3x)+1,则/(/g2)+/^/50~()

A.-l5.0a1D.2

l解析】；/6)=bi(Vl+9%2-3x)+1,①

•V(-x)=/n(J1+9(-X)2+3X)+1,②

①+②得/(x)=/〃(V14-9x2-3x)+/〃(V1+9x2+3x)+2

-In[(V14-9x2-3x)•(V14-9x2+3x)]+2

=/n(l+9x2-9x2)+2=2.

•v(/g2)V(^j)=/Vg2)y(-/g2)=2.选。

巩固2.对于函数/U)=asinx+bx+c(其中a,beR,cGZ),选取a,b,c的一组值计算/(l)和

/(T),所得出的正确结果一定不可能是()

44和68.3和1C.2和4D1和2

【解析】令g(x)=/(x)-c=asi"x+bx,则g(x)是奇函数.

Xg(-l)+g(l)^(-D-c+fd)-c^(-l)4/(1)-2c,

而g(T)+g(D=0,c为整数，.WD+AlAZc为偶数.1+2=3是奇数,故不可能，选D

巩固3.己知函数/(X)和g(x)均为奇函数，〃(x)=4f(x)+Z?g(x)+2在区间(0,+oo)上

有最大值5,那么〃(%)在(-oo,0)上的最小值为()

A.—5B.—3C.-1D.5

【解析】令尸(％)=〃3-2=4(%)+恒(力，所以析(x)为奇函数,

;x€(0,+oo)时，/?(x)<5,F(x)=/z(x)-2<3,又xe(-oo,0)时，一xe(0,+oo),

口(一之一3,h(^xj>—3+2=—1,故选C.

【小结】本题主要考查函数的奇偶性的应用，由于函数，(X)和g(x)g(x)均为奇函数，则

7z(x)=，矿(x)+Z?g(x)也为奇函数，构造函数F(x)=〃(x)—2,则F(x)为奇函数，借助h(x)

在(0,+8)上的最大值得出F(x)的最大值，由于奇函数的图象关于原点对称，所以在关于原

点对称的单调区间上的最大值与最小值之和为零，得出尸(x)在(-8,0)上的最小值，进而得

出力(x)在(—8,0)上的最小值.

巩固4.已知/(x)=o?+法9+2在区间(0,内)上有最大值5,那么/(x)在(-0)上

的最小值为()

A.-5B.-1C.-3D.5

【解析】因为“X)=加+灰9+2中ax3+bx9为奇函数关于(0,0)对称，

故/(X)=加+芯+2关于(0,2)对称，又/(X)在区间(0,+力)上有最大值5,

故/(x)在(F,0)上的最小值为2x2—5=—1故选：B

巩固5.已知函数/(无)和g(x)均为奇函数,/z(x)=a・/3(x)-力g(x)-2在区间

(0,+8)上有最大值5,那么万(力在(一8,0)上的最小值为()

A.—5B.—9C.-7D.—1

【解析】•••/。)和8。)均为奇函数，，〃(幻+%-工)=-4,，〃。)在(-?,0)上的最小

值是-4-5=-9,故选民

巩固6.已知函数/(x)和g(x)均为奇函数，Mx)=a.(〃x))3—b-g(x)—2：在区间

(0,+。)上有最大值5,那么力⑴在(e,0)上的最小值为

【解析】由〃(x)=a(/(x)y-Ag(x)-2得〃(x)+2=tz(/(x)y-Ag(x),

☆(p(x)=〃(x)+2=a(/(x))'-Ag(x),

贝ij(p(-x)=a(/(_x)y_bg(-x)=_。(/⑴了一版⑴=-(p(x),(p(尤)为奇函数.

•••〃(x)=a-(/(x))3-b-g(x)-2在区间(0,+8)上有最大值5,

••・〃(x),,“,=G/3(x)*g(x)-2=5,/.h(x)ma+2=7,即0(初*=7.

(p(x)=/z(x)+2是奇函数，=〃(x)加〃+2=—7,〃(x)“加=-9.故选B

巩固7.函数/(x)=尸+产T3+1(xeR)最大值为M,最小值为m,则M+m=____

厂+COSX+1

sinxsinx

【解析】f(x)=l-，又y为奇函数

x2+cosx4-1x2+cosx+1

的图象关于点(0,1)对称，.•.最大值对应的点与最小值对应点也关于点(0,1)对称

铝J,即M+m=2

22017

巩固已知函数/X+sinx+2017

8.X+-U,则Z

\2)人+2017

/1]X1+sinx+2017,sinx

【解析】f\x+-=------------------=1+—----------.―—设

(2)^s+20171+2017^+2017'版

g(x)=《x+；)—l=£^万，g(x)为奇函数，g(-x)+g(x)=0,则

1

22

x=g_t,》+；=]_/,/(/)+/(IT)=2,

1、'201620172x”。⑶

〃0)+〃1)=21=2,....,则〉;

2017,.20172017

二级结论2函数周期性问题

已知定义在火上的函数/(X),若对任意XG尺总存在非零常数*使得加+cy(x),则称/W是周期

函数,7为其一个周期.除周期函数的定义外，还有一些常见的与周期函数有关的结论如下：

(1)如果/(x+«)=y(x)(fl#O)JP^/(x)是周期函数，其中的一个周期T=2a.

(2)如果加+小为(D),那么是周期函数淇中的一个周期T=2a.

⑶如果,/(工+4)4小)二°(g0),那么/(x)是周期函数，其中的一个周期T=2a.

⑷如果/(止於+小/(工-4)(g0),那么/(x)是周期函数，其中的一个周期T=6a.

这个结论通过周期函数的定义得到，用x+a代换等式中的x构造出来/(x)=/(x+T)的形

式，然后利用周期函数的定义即可得到结论.

例题2已知定义在R上的函数/(x)满足/(x+|)=寸6)，且f(-2)=A-l)=-l,/(0)=2,则

/(l)+f(2)+f(3)+-+/'(2017)+f(2018)=

【解析】因为J(x+|)=y(x),所以/(x+3)=^x+|)=Ax)，所以/(X)的周期为3.

则有/(1)^(-2)=T,/(2)^(-1)=-1,/(3)=/'(。)=2,所以/(1)^(2)/'(3)=0,

所以/(D+AZH/'MH…4/(2017)+/(2018)=672X［/(I)+/(2)1t/U)W=-l-l=-2

巩固1.奇函数/(x)的定义域为7?.若/(x+2)为偶函数，且则/(8)%9)=()

A.-2B.-1C.0D.1

【解析】由/(x+2)是偶函数可得/(-x+2)=f(x+2),又由/(x)是奇函数得/(-x+2)=-/(x-2),所以

/(x+2)=3(厂2),/(x+4)=^(x),/(x+8)=f(x),故/(%)是以8为周期的周期函数，所以

./Wyg+DyOl,又/(x)是定义在R上的奇函数，所以/(0)=0,所以/(8)y'(0)=0,故

/(8)59)=1,故选D.

巩固2.定义在R上的函数/(x)满足/W={/(x-nV(^^°x>0则/(100)=

【解析】当x>0时,/(x)于•(xT)7Ar-2),①则/(x+l)y'(x)7/•(厂D,②

①+②得/(x+l)=V(x+2),即/(x+3)=7,(x).所以/(X+6)=TAX+3)=AX),=6.

故/(100)歹(4)=7U)^(T)二八0)=/。侬2=1,故选C.

巩固3.已知定义在及上奇函数上力满足了("-4)=-f(x),且在区间［0,2］是增函数，则

A./(-25)</(ll)</(80)B./(80)</(ll)</(-25)

c,/(ll)</(80)</(-25)D/(-25)</(80)</(ll)

【解析】因为满足“x-4)=一〃力,所以析(x_8)="x)

所以/(x)是以8为周期的周期函数，则/(一25)=/(—1),/(80)=/(0),/(11)=/(3)

由〃x)在R上奇函数，且满足/(x_4)=_/(x),得/(11)=〃3)=—=

因为“X)在区间［0,2］上是增函数,且在R上的奇函数,所以/(x)在［—2,2］上是增函数，

所以/(一1)<"0)</(I)，BP/(-25)</(80)</(11).

【小结】本题考查了的函数性质，通过函数的奇偶性和周期性求函数的值。在比较/(百),

/(/)，…，/(X,)的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将/(%),

/(x2),•••,/(%)通过等值变形将自变量置于同一单调区间，然后根据单调性比较大小.

巩固4.定义在R上的偶函数f(x)满足/(x)=/(x+2)当xe[3,4]时，/(x)=x-2,则

()

A./(sin1)</(cos^)B./(sinl)</(cosl)

TTTT33

c./(siny)>/(cosy)D./(sin-)>/(cos-)

【解析】因为/(x)=/(x+2),所以析(尤)周期为2,

因为当xe[3,4]时，/(x)=x-2单调递增，所以xw[T,0]时〃x)单调递增，

因为偶函数/'(%),所以xe[0,l]时,.f(x)单调递减，

11万乃33

因为0csin—<cos—<1,1>sinl>cosl>0,1>sin—>cos—>0,1>sin—>cos->0

223322

,/(sinl)</(cosl),/[si吟)<小吗，

所以asiri]>4吟

3

/Isin-\<fcos-\^B.

2f

巩固5.已知函数/。)是定义在火上的偶函数,并且满足/(*+2)=:二，当24X43时,

/(x)

f(x)=x,贝厅(105.5)=()

【解析】/("+2)=y^)^/("+4)=7(7^)=/W

故函数周期7=4,

4105.5)="4x26+1.5)=/(1.5),

又：/㈤为偶函数，.•./(L5)=/(—L5)=/(—L5+4)=〃2.5)=g,故选：D.

巩固6.已知/(x)是在R上的奇函数，满足/(x)=/(2—x),且xe[0,l]时，函数

/(x)=2'-1,函数g(x)=—log”x(a>1)恰有3个零点，则a的取值范围是()

个零点，即/(X)和/z(x)的图像在定义域内有3个交点，

Ax)=/(2-x)=—/(%—2)=-/[2-(x-2)]=-/(4-x)=/(x-4),故函数f(x)的一

个周期是4,又xe[0,l]时，函数/(x)=2、-1,且图像关于轴x=l对称，由此可做出函数

log”5<1

/(幻,〃(幻图像如图，若两个函数有3个交点，则有《:，解得5<。<9,则。的取

[log“9>l

值范围是(5,9).故选:D

巩固7.已知函数y=/(x)是定义在R上的奇函数，且/(2)=0，对任意xeR都有

/(x+4)=/(x)+〃4)成立，则“2010)的值为()

A.0B.2010C.2008D.4012

【解析】由于“X)为R上的奇函数，所以/⑼=0,/(—2)=-42)=0.由

/(x+4)=/(x)+/(4),令x=—2得/⑵=/(—2)+/(4),所以44)=0,所以

/(x+4)=/(X),所以/(x)是周期为4的周期函数，所以

42()10)=/(502x4+2)=42)=0.故选：A

2

巩固8.已知函数/(x)是定义在R上的函数，且满足/(x+l)=一二:一^二，/(1)<2且

/U-1)

/⑴。0,则/(2019)的取值范围为()

A.(田，-1)B.(-1,+8)C.D.U(0，+°°)

222

“2019)=--------=----------=/(2015)=/,(4x503+3)=/(3)=-----

【解析】/(2017)2八)J''~/⑴，

/(2015)

•.•/(1)<2且〃1)。0,

111c111c2,2c

—>一或—<0,-----<—或------>0,-----<-1或------>0,

/(I)2/(I)/(I)2乂/(I)/⑴x/(I)

.•./(2019)的取值范围为(F,-1)U(0,小)，故选：D.

二级结论3函数的对称性

已知函数＜x)是定义在R上的函数.

⑴若/(a+x)=/(6-x)恒成立，则方/⑺的图象关于直线丫=等对称,特别地若/(a+x月(a-x)恒成立，则

y=/(x)的图象关于直线x=a对称；

⑵若/(a+x)4/(6-x)=c，则产波)的图象关于点(等,9对称.特别地若加+x)t/(4-力=26恒成立，则

y-J{x}的图象关于点(。力)对称.

有对称的定义可以说明这两个结论的成立。例如：如果函数方/'(x)满足/'(a+x)寸'(b-x),

则yy(x)图象关于x=@”对称，由于/(a+x)=f(6-x),两式中的变量到直线x=2”的距离

相等并且函数值也相等，所以方f(x)图象关于4手对称。

例题3已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+l)=Al-x),且在[1,+8)上是增函数,不等式

/(ax+2)W/(xT)对任意蚱原”恒成立，则实数。的取值范围是()

4[-3,-1]B.[_2,0]C.[_5,_1]D.[_2,1]

【解析】由定义在R上的函数/(x)满足/(x+l)=Al-x),且在口，+8)上是增函数,可得函数图

象关于直线卡1对称,且函数/(x)在(-8,1)上递减，由此得出自变量离1越近,函数值越小.

观察四个选项,发现0,1不存在于4c两个选项的集合中,B中集合是。中集合的子集,故可

通过验证。的值(取0与1时两种情况)得出正确选项.当。=0时，不等式/Qx+2)守(x-1)变

为/(2)W/(x-D,由函数/(x)的图象特征可得12-11解得x23或xW1,满足不等式

/(ax+2)(f(x-l)对任意代畛，1]恒成立，由此排除A,C两个选项.当a=l时，不等式

/(ax+2)g(xT)变为/(x+2)W/(xT),由函数/'(x)的图象特征可得|x+2T|W|x-l-lI,得

不满足不等式“以+2)勺G-1)对任意xG[1,1]恒成立,排除D.综上,选B.

巩固L若偶函数y?(x)的图象关于直线x=2对称J(3)=3,则/(-1)=

【解析】因为/(x)的图象关于直线x=2对称，

所以/W=y(4-x)=f(4+x),又/(-x)=Ax),所以/W=A4+x),则/(-I)可X4T)y(3)=3.

巩固2.函数月G)对任意xWR都有/(x+2)=y(-x)成立,且函数月GT)的图象关于点(1,0)

对称,/(1)=4,则/(2016)+/(2017)+/(2018)的值为.

【解析】因为函数y=f(x-l)的图象关于点(1,0)对称,所以/(x)是R上的奇函数，

/(x+2)=-/(%),所以/(x+4)=寸G+2)=/(x),故/(%)的周期为4.

所以/(2017)=/'(504X4+l)^(l)=4,

所以/(2016)4/(2018)=7X2014)4/(2014+4)=52014)+f(2014)=0,

所以/(2016)4/(2017)+<(2018)=4.

巩固3.已知函数/(x)满足对任意的xeR都有++=2成立，则

所以㈱=|［真如嗡|即吟出噂］出…训号=M,

・覆:负点科制卓普…”也馥手=7

巩固4.设函数/(x)对xeR都满足了(3+x)=/(3-x),方程f(x)=0恰有6个不同的实

数根，则这6个实根的和为.

【解析】函数/W对xeR都满足了(3+x)=/(3-幻，即函数关于x=3对称.

方程/(x)=0恰有6个不同的实数根，根据对称性知实数根两两相加为6

这6个实根的和为18

巩固5.已知定义在区间0,—上的函数y=/(x)满足/［彳-x=/彳+x,当

壮丁时，/(X)=8SX,如果关于X的方程个)=。有解，记所有解的和为S,则S不

可能为()

当直线y=。与函数y=/(X)的图象有交点时，则可得一1<a<0,

①当一』2<。<0，/(x)=a有2个解，此时S=3g；

22

/Q-97r

②当a=_卫时，/(x)=a有3个解，此时S=——；

24

③当一l<a<-注时，/(x)=a有4个交点，此时S=3);

2

3乃

④。=一1时，/(幻=。有2个交点，此时5=亏.

5冗

故S不可能为一，故选：A.

4

巩固6.已知函数/(x)(xeR)满足/(-x)=2-/(x),若函数g(x)=sin2x+l与

y=/(x)图像的交点为(X],y),(x2,y2),(xm,yin),则Z(x,+y)=()

i=\

A.mB,2mC.3mD.4m

【解析】函数/(x)(xWR)满足/(-x)=2-f(x),即为/G)+f(-x)=2,

可得/(X)关于点(0,1)对称，函数g(x)=sin2x+l图象关于点(0,1)对称，

即有(西，y)为交点，即有(-石，2-y)也为交点，

(%，%)为交点，即有(-%,2-%)也为交点，…

m

则有ZG+%)=(罚+y)+(%+%)+•••+(无，”+)

i=\

=(玉+w+...+x“J+(x+%+•••+y,”)=0+£x2=m.故选4

巩固7.已知函数/(x)(xe&满足〃-x)+〃x+4)=2,若函数y=f与>=〃x)

x—2

图象的交点为(玉，x),(马,必)，…，(X"，%)，则Z(x，+v)=()

i=l

A.0B.nC.2nD.3n

【解析】•.•函数〃X)(XGR)满足〃-x)+f(x+4)=2,

，/(x)的图像关于点(2,1)对称，而函数y=—的图像也关于(2,1)对称，

x—2

设%>々>%3>…>当，&+玉=各+X.I="=2x2=4X+%=%+%T=•••=2x1=2

令Z%=%+%+…X“，则Z%=xn+X"T+•••司，

i=\i=]

22七=(苦+X”)+(电+当-1)+…(x“+X)=4〃，；.Zw=2n

i=\i=l

令Z%=y+%+..•%，则Z%=x,+y,i+…x，

i=\i=l

2

Ex=(x+%)+(丫2+)+…(％+x)=2〃，，Zy="

/=1i=l

・'•Z(Xi+X)=3〃，故选：D

i=\

巩固&定义域为R的函数/(x)满足〃力+〃2-力=-1,函数g(x)=,j]]).若

〉=/(%)与＞=g(x)的图象有4个交点，且每个交点的横坐标之和与纵坐标之和分别为

M,N,则M+N=()

A.-2B.0C.2D.4

【解析】因为〃x)+〃2—x)=T,所以/(x)的图象关于点(1,一；]对称，

\2J

z、2-x11(n

又g3=2(r-l)=2(r-l)一5'故8⑴的图象也关于点心一J对称-

则M=4,N=-2,故M+N=2,故选：c

【小结】本题考查了函数的对称性及其应用以及数形结合的思想。由,f(x)+/(2—%)=一1

可得〃无)的图象关于点[1，一斜对称，由g3=2(I)=2(l)—5,所以g(x)的

图象也关于点对称，再由对称性求解.

二级结论4反函数的图象与性质

若函数y=/G)是定义在非空数集D上的单调函数,则存在反函数y=f特别地/=/与

y，og„r(a>0且互为反函数，两函数图象在同一直角坐标系内关于直线产x对称,即(x°,

/(xo))与(Axo),xo)分别在函数y=f(x)与反函数'(x)的图象上.

x

例题4若Xi满足2x+2=5,加满足2x+2/og2(x-l)=5,则为+&二

【解析】因为2x+2'=5,所以x+2''=|,同理,x+logAx-l)=|,

令尸xT,则x=t+l,即t\是什2，=|的解,玄是f+/og声!的解，且fi=xi-l,；2=x2-l.

如图所示,A为函数y=Z与y=1-t的图象交点P的横坐标，&为函数y=log：t与产的图象交点

Q的横坐标，所以PS,2口)，0(&,logG,所以P,Q关于直线y=t对称，且

ZI+t2=tl+2tl-t\+(|-)=|>所以Xl+X2=fl+l+f2+l弓+2=g.

巩固1.设点P在曲线产|炉上，点。在曲线尸/〃(2x)上,则|P0|的最小值为()

A.1-ln25.V2(l-/«2)C.1+ln2£>，V2(l+/»2)

【解析】函数产色和函数产历(2x)互为反函数,它们的图象关于7=x对称,则只有直线PQ

与直线产x垂直时，|尸。|才能取得最小值.设P(x,|ex),则点尸到直线产x的距离为加，4

令g(x)苫/-X(x>0),则g'仪)=戈-1,令g'(x)=*T>0,得x>/〃2;令g'(x)=色-1〈0,得0〈x〈加

2,则g(x)在(0,历2)上单调递减，在(/〃2,+8)上单调递增,所以当》=/〃2时g(x)取得极小

值，即最小值,g(x)加*2-/〃2=1-/〃2>0,所以““=谭.则|PQ|加.=24„M=鱼(1-加2).故B

正确.

二级结论5两个经典不等式

(1)对数形式:上W/〃(x+l)Wx(x>T),当且仅当x=0时，等号成立.

X+1

(2)指数形式:中》x+l(xGR),当且仅当产0时,等号成立.

对于这两个不等式的得到都是源于高等数学中的泰勒展开，他们的变形式还有：

ln|—+1—,lnx>l--,In—<--1,-~-<Inx<x-1^,这都高考命题的题点。

IxJxxxxx

例题5设函数/(x)=l-ex.证明：当x>-l时，/(x)

【证明】x>T时，

/(x)2^-0X〉一1,1一《*2^-01--^-2«"(工〉一1)<=>^—22(%>-1)=工+1或/(%>一1).

Jx+lx+1x+1x+1ex

当x>-l时,《2工+1恒成立,所以当x>T时,,fix)^―V4-1.

巩固1.已知函数y(x)=e*,XGR证明：曲线y=/(x)与曲线y=^x'+x+\有唯一公共点.

【证明】令g(x)=f(x)-Qx2+x+l^=ev-^x"-x-1,xe/?,则g'(x)=y-x-1,

由经典不等式恒成立可知,g'(x)20恒成立，所以g(x)在R上为单调递增函数，且

g(0)=0,所以函数gG)有唯一零点，即两曲线有唯一公共点.

巩固2.函数y=x_]n(x+i)的图象大致为()

【解析】由题意，函数/(x)=g—ln(x+l),可得/(l)=l-ln2>0,可排除C、D,

又由/(e2-l)=，一一lne=」一一1<0,排除8,故选4

、7e-Ie-1

巩固3.已知函数/(x)=alnx—2x,若不等式+在上恒成立,

则实数a的取值范围是

【解析】设g(x)=e'-xT,则g'(x)=e*-l,当x>0时g'(x)=e、—l>e°-1=。，

所以g(x)=e*-在(0,+8)上递增，得g(x)>g(O)=eO-O-l=O,

所以当x>0时，l<x+l<e*恒成立.

若不等式/(x+l)>/(")在xe(l,+8)上恒成立，得函数/")在(1,内)上递减，

即当x>l时，/(x)WO恒成立，所以/'(x)=4-240

X

即@42,可得aW2x(x>l)恒成立，因为2x>2,所以

x

【小结】本题考查了构造新函数，也考查了导数的应用以及由单调性求参数的问题.本题需

要先证明1<X+1</恒成立，得函数“X)在。,内)上递减，即当x〉l时，/'(x)wo恒

成立，问题转化为a42x(x>l)恒成立，即可求出。的范围.

1_A+1

巩固4.己知函数/(X)=三厂(x<0)与g(x)="In(x+1)—ae'.的图象上存在关于y轴

对称的点，则实数a的取值范围是

1_x+\

【解析】函数/口)=二^「(*<0)与g(x)=e*ln(x+l)—ae'的图象上存在关于》轴对

e

称的点，可得〃—x)=g(x)在(0,+8)有零点，即/ln(x+l)-ae*=」^-=J-l,

eA+e

即a=ln(x+1)----F—有零点，即y=〃和h(x)=ln(x+1)-----1—-有交点，

eeee

因为〃'(x)=—-----Y~->所以令〃z(x)=e*-x-l,则加(x)=e*-l,

x+lee(1+1)

又因为x〉0,所以加(x)>0即m(x)单增，

因为加(0)>0,所以词力>0,即〃(x)>0,所以%(x)在(0,T3)单调递增，

所以〃(幻>1-1，可得0〉1一1

ee

巩固5.设函数/(x)=e'-l.

(1)若曲线y=/(x)与x轴的交点为4求曲线y=在点/处的切线方程；

(2)证明：/(x)>x.

【解析】⑴令/(x)=e'-l=O,得x=0,所以n的坐标为(0,0).

因为/'(%)=e"，所以/'(0)=1,故曲线y=/(x)在点力处的切线方程为>=已

(2)证明：设函数g(x)=,f(x)-x=e*-g'(x)=e*-l,

令g'(x)<0,得x<0；令g'(x)>0,得x>0.

所以g(x)min=g(°)=°，从而g(x)之。，即

巩固6.已知函数/(x)=e2『—("+1).",且f(x)..O.

(1)求a；

3

(2)证明：f(x)存在唯一极大值点x。，且

16

【解析】(1)因为/(x)=e'(e'一奴—1"0,且e、>0,所以e、—ac—120,

构造函数M%)=e*-办-1,则“'(x)=e'-a,又“(0)=0,

若a40,则〃'(x)>0,则“(X)在R上单调递增，则当x<0时，M(X)<0矛盾,舍去；

若0<a<1,则In”0,则当Ina<x<0时，a'(x)〉0,则“(x)在(ln«,0)上单调递增,则

〃(lna)<a(O)=O矛盾,舍去；

若。>1,则Ina>0,则当0vx<Ina时，u'(x)<0,

则”(X)在(O,lna)上单调递减,则“(Ina)<"(0)=0矛盾,舍去；

若“=1,则当x<0时，"'(x)<0,当x〉0时，a'(x)>0,

则“(X)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

故M(X)2〃(O)=O,则/(1)=0'—"(力20,满足题意；

综上所述，a=L

(2)证明：由⑴可知/(x)=e2'—(x+l>e",则/'(x)=e，(2e，—x—2),

构造函数g(x)=2ex-x-2,则g'(x)=2e'-l,

又g'(x)在R上单调递增，且g'(—ln2)=0,

故当x<-In2时，g'(x)<0,当x>-In2时，g'(x)>0,

则g(x)在(-8,-ln2)上单调递减，在(-ln2,+o>)上单调递增，

3

又g(O)=O,g(_2)q>0,又==1尸<0,

3

'I2J/22ei8e5+2e

结合零点存在性定理知,在区间(-2,-T)存在唯一实数x。，使得g(%)=0,

当为</时,/'(x)>0,当x0cx<0时，/(x)<0,当x>0时,/'(x)>0,

故/(X)在(F,%)单调递增,在(毛,0)单调递减,在(0,+。)单调递增，

故/(X)存在唯一极大值点X。，因为g(%)=2e*。-%—2=0,所以e%=5+1,

故f(x0)=e2(x()+l)e%=住+1+e+l)=；-；(xo+l)2,

因为一2<x。(一/所以/(/)<(—+

巩固7.已知函数/(x)=ln(x+l)--,xe(-l,0).

(1)若加=1,判断函数/(%)的单调性并说明理由：

(2)若加4一2,求证：关x的不等式(“卡叫/(")<2(1-e-、)在(T0)上恒成立.

【解析】⑴函数y=/(x)在(一1,0)上单调递减，理由如下:

1x+1—xX

依题意〃x）=ln（x+l）—七，xe（-l,0）,则（（力=

X+1（X+1）2（X+1）2'

当xe(—1,0)时，r(x)<0,故函数y=/(x)在(一1,0)上单调递减;

(2)要证("'")/°)<20-ef,即证(x+，〃”n(x+l)•-皿>2x(1-e-*),

即证xln(l+x)+相[ln(l+x)-x]>2x[\-e~x\

1V-

设g(x)=ln(l+x)—x,则/(%)=——1=—一.

当1,0)时,g'(x)>0,所以y=g(x)在(一1,0)上单调递增，

所以g(x)<g(O)=O,即ln(l+x)-x<0.

故当机<一2时，xln(l+x)+〃7[ln(l+x)-x]>xln(l+x)-2[ln(l+x)-x],

故即证(x-2)ln(l+x)>-2怎?

令p(x)=(x+2)ln(l+x)-2x,xe(-l,0).

v-_l_QY

由(1)可知，p'(x)=ln(l+x)+--------2=ln(l+x)------—>0,

XI1XI1

故p(x)=(x+2)ln(l+x)-2x在(-1,0)上单调递增.

x✓x2丫

所以，当工£(一1,0)时，(x+2)ln(l+x)-2x<p(0)=0,即ln(l+x)<-~-<0,

所以，当xe(—l,0)时，(一)111(]+力>2，(三2),

X—2x—2

所以只需证明-即证明--e"<-1.

x+2x+2

2x

设〃(乂)=土:"，则、(尤)=7'鼻>°・

''x+2(x+2)

所以y=/z(x)在(-1,0)上单调递增，所以〃(x)<〃(O)=T,所以原不等式成立.

二级结论6三点共线的充要条件

⑴设平面上三点。，A,8不共线，则平面上任意一点P与48共线的充要条件是存在实

数人与U，使得而=人靠+日而，且入+口=1.特别地,当P为线段48的中点时，而W嬴+之丽.

三点共线充要条件的这种表示法的得到可以看成是：瓦=29的一个变形式，即

----*/**\-»J-1—•1

OB-OA=A\OP-OA]=>OP=——OA+-OB（O为平面内任意一点）。

例题6已知48,C是直线/上不同的三个点，点。不在直线/上，则使等式x/+x而+就=0

成立的实数x的取值集合为（）

A.{-1}B.0C.{0}D.{0,-1}

【解析】"：BC=OC-OB,：.x-OA+xOB+OC-OB=0,^OC=~xOA+（1-x）OB,；.-?+（1-x）=1,

解得x=0或x=-l（x=0舍去）,/.x=-l.选A

巩固1.在梯形ABCD中，已知AB〃CD、AB=2CD,M、N分别为CD、BC的中点.若

AB=}JM+I^AN,贝I]/+〃=.

A

而/

+-++

解法一：由荏=2前+〃而，得而=2•^(AD+AC)+n•^(AC+AB),则2AL

\2

§m=0,得仁-1）而（而+：后20,得（，+%T>AB^+0^0=0.

_,_,（-A+-^-1—0,fl=-7>4

又4B,40不共线，由平面向量基本定理得kJ解得15所以

b+好。，5

解法二:如图,连接MN并延长交AB的延长线于T.

由已知易得/8三/7,.《萧=荏=疝0+〃前，，乔彳2宿+：〃丽,

,:T、M、N三点共线，.Y2+1=l,二不〃，.

445

巩固2.在任意平面四边形”88中，点、E,尸分别在线段/D,8c上，

EF=AAB+^DC(AG/?,//G/?),给出下列四组等式

___13___19,

®AE=-AD,BF=-BC®AE=-AD,BF=-BC

4423

___i_____2_____.2_______?__►

@AE=-AD,BF=-BC®AE=-AD,BF=-BC

3333

其中，能使2,〃为常数的组数是()

A.1B.2C.3D.4

【解析】由题意，设AE=xAB，BF=yBC>则

^F=EA+AB+BF=AB+yBC-xAD=AB+y(BA+AD+DC)-xAD=(l-?)

AB+(y-x)AD+yDC,又丽=入醺+口阮(入eR,)ieR),入，H为常数，

则x-y=O,即*=丫，满足题意的只有④，故选4

【小结】本题主要考查了平面向量的基本定理利向量共线条件的应用，其中解答中熟记平面

向量的基本定理准确运算，再根据向量的共线条件是解答的关键.首先要设在=x仄D,

加=yBc,结合平面向量的线性运算有x=y,逐一检验即可.

巩固3.已知S”为数列｛%｝的前〃项和，4=2,%=4,平面内三个不共线的向量函，

0B，元满足阮=(1一％)9+(/_1+。.)丽(〃N2,"eN*),若点A,B,。在同

一直线上，则52019=.

【解析】因为反=(1-a„)0A+(a„.i+a„+i)OB(应2,〃CN*),A,B,C在同一直

线上，则Un-l+On+1+l-tZn=1,••<2n-1+fln+l=dn,

：S,为数列｛a〃｝的前〃项和，ai=2,02=4,

，数列｛。,｝为：2,4,2,-2,-4,-2,2,4,2,-2,-4,-2,...

即数列｛",｝是以6为周期的周期数列，前6项为2,4,2,-2,-4,-2,

:2019=6x336+3,

；.S2oi9=336x(2+4+2-2-4-2)+2+4+2=8.故答案为：8

巩固4.已知AABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P，若用+而+前=丽，则

点P与A48C的位置关系是()

A.P在AC边上B.P在AB边上或其延长线上

C.P在A4BC外部D.P在A4BC内部

【解析】•.•p5+而+无=希

-,-PA+PB+PC-AB=O

；•2E4+PC=0

PC=-2PA

•••尸在ZC的三等分点上，故选4

巩固5.己知点4民是直角坐标系中不同的四点，若而=/而(/IwH),

而=〃丽且<+』=2,则下列说法正确的是()，

Au

A.C可能是线段Z8的中点B.。可能是线段48的中点

C.C,。可能同时在线段N8上D.C、。不可能同时在线段N8的延长线上

【解析】由/=2而(/leR),而=〃丽可得：A,B,C,O四点共线，

—1—1

对于选项4若C是线段ZB的中点，则AC=万A3,则;1=万,〃=(),

不满足1+工=2,即选项N错误；

AU

—1—1

对于选项瓦若。是线段的中点，则则2=0,〃=一，

22

不满足1+^=2,即选8错误；

AU

对于选项C,若C、。同时在线段N8上，则0<2<1,0<〃<1,则1+，>2,

Au

不满足1+^=2,即选项C错误；

Xu

对于选项。，假设C、。同时在线段的延长线上，则力>1,〃>1,则1+,<2,

XU

则不满足!+'=2,即假设不成立，即C、Q不可能同时在线段N8的延长线上，即选项

Au

。正确；故选：D.

巩固6.在口43。中，点。在边8C的延长线上，且配=30.若而=%在+(1—x)密,

--<x<0,则点。在()

3

A.线段BC上B.线段CO上

C.线段AC上