2019版高考数学第6章数列5阅读与欣赏五教案.docx

5 阅读与欣赏（五）解决数列问题的七大常用技巧巧用性质减少运算等差数列、等比数列的通项公式与求和公式中均涉及多个量，解题中可以不必求出每个量，从整体上使用公式 设等差数列an的前n项和为Sn，若S6S7S5，则满足SkSk10，a7S7S60，则S1111a60，S120，S1313a70，所以S12S130，即满足SkSk10的正整数k12.【答案】12巧用升降角标法实现转化在含有an，Sn对任意正整数n恒成立的等式中，可以通过升降角标的方法再得出一个等式，通过两式相减得出数列递推式，再根据递推式求得数列的通项公式和解决其他问题 设Sn是数列an的前n项和，已知a13，an12Sn3(nN*)求数列an的通项公式【解】当n2时，由an12Sn3，得an2Sn13，两式相减，得an1an2Sn2Sn12an，所以an13an，所以3.当n1时，a13，a22S132a139，则3.所以数列an是以3为首项，3为公比的等比数列所以an33n13n.巧用不完全归纳找规律解数列问题时要注意归纳推理的应用，通过数列前面若干项满足的规律推出其一般性规律 在数列an中，已知a11，an1(1)nancos(n1)，记Sn为数列an的前n项和，则S2 018_思路点拨根据递推式计算数列的前面若干项，发现规律，然后求S2 018的值【解析】由a11，an1(1)nancos (n1)，得a2a1cos 2112，a3a2cos 3213，a4a3cos 4312，a5a4cos 5211，由此可知，数列an是以4为周期的周期数列，且a1a2a3a42，所以S2 018504(a1a2a3a4)a2 017a2 018504(2)a1a21 005.【答案】1 005巧用辅助数列求通项已知数列的递推式求数列的通项公式时，基本思想就是通过变换递推式把其转化为等差数列、等比数列(辅助数列)，求出辅助数列的通项，再通过变换求出原数列的通项公式(1)当出现anan1m(n2)时，构造等差数列；(2)当出现anxan1y(n2)时，构造等比数列 (1)设数列an满足a12，an14an32n1，求数列an的通项公式(2)已知数列an中，a11，an1(nN*)，求数列an的通项公式【解】(1)由an14an32n1得，3，设bn，则bn12bn3，设bn1t2(bnt)，所以2tt3，解得t3，所以bn132(bn3)，所以2，又b133134，所以数列bn3是以4为首项，2为公比的等比数列，所以bn342n12n1，所以bn2n13，所以anbn2n(2n13)2n22n132n.(2)因为an1(nN*)，所以1，设t3，所以3tt1，解得t，所以3，又1，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以3n1，所以an.巧用裂项求和裂项相消法是数列求和的基本方法之一，在通项为分式的情况下，注意尝试裂项，裂项的基本原则是anf(n)f(n1) 已知数列an的前n项和为Sn，a13，若数列Sn1是公比为4的等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，nN*，求数列bn的前n项和Tn.思路点拨(1)先求Sn，再利用anSnSn1(n2)求an；(2)把通项分解为两项的差，再消项求和【解】(1)由题意知Sn1(S11)4n14n，所以Sn4n1，当n2时，anSnSn134n1，且a13满足上式，所以数列an的通项公式为an34n1.(2)bn，所以Tnb1b2bn.巧用分组妙求和分组求和方法是分类与整合思想在数列求和问题中的具体体现，其基本特点是把求和目标分成若干部分，先求出部分和，再整合部分和的结果得出整体和 (1)已知数列an满足a11，an1an2n(nN*)，则S2 018_(2)若数列an的通项公式为an22n1，令bn(1)n1，则数列bn的前n项和Tn_【解析】(1)由an1an2n，得an1an22n1，则2，即2，所以数列a1，a3，a5，a2k1，是以a11为首项，2为公比的等比数列；数列a2，a4，a6，a2k，是以a22为首项，2为公比的等比数列，则S2 018(a1a3a5a2 017)(a2a4a6a2 018)321 0093.(2)由题意得bn(1)n1(1)n1(1)n1，当n为偶数时，Tn，当n为奇数时，Tn，所以Tn(1)n.【答案】(1)321 0093(2)(1)n巧用特值验算保准确使用“错位相减法”求和的方法学生都能够掌握，但求解的结果容易出现错误，应该在求出结果后使用a1S1进行检验