大学物理部分习题答案

1） ,i o R 为正常数。求 t=0, /2 时的速度和加速度。（ 2） ,2 求 t=0,1 时的速度和加速度（写出正交分解式）。 解：（ 1） i i i 当 t=0 时， 0a,2v,v, , 当 t= /2 时， 0a,a,2v,0v,Rv, ,（ 2） 当 t=0 时， , , 当 t=1 时， , , 线运动的高速列车在电子计算机控制下减速进站。列车原行驶速度为h/v 0 ，其速度变化规律如图所示。求列车行驶至 x=加速度的大小。 解， i i 当 x=， )s/m(747.0)h/ 7 553s 水平桌面上放置 A、 B 两物体，用一不可伸长的绳索按图示的装置把它们连接起来。C 点与桌面固定。已知物体 A 的加速度 ，求物体 B 的加速度。 解， 以 C 为坐标原点，建立一维坐标系 绳的总长度为 ， B 的坐标为 A 的坐标为得 BA 两端对 t 求导 ,0车在圆弧形轨道上自东转向北行驶，在我们所讨论的时间范围内，其运动学方程为2 （长度： m 时间： s）。 t=0 时，列车在图中 o 点，此圆弧形轨道的半径 r=o 点以后前进至 1200m 处的速率及加速度。 解，采用自然坐标系， o 为自然坐标系的原点。 由 2 得 ， 2 ， 当 s=1200m 时，由 2 得 , 0 0 2 ,20t ,60t （舍去）因为当 t=60 时， 4060280v 当 )s/m(4020280v,20t ，即列车驶过 o 点以后前进至 12000m/s. 过 o 点以后前进至 1200m 处的加速度： )s/m(2 )s/m(0 6 0 04022n ),s/m(2 6 222 可以算出 a 与 v 的夹角为 1520。 车在位于铅直平面内上下起伏的轨道运动。当斗车达到图中所示位置时，轨道曲率半径为 150m，斗车速率为 50km/h,切向加速度 解， ,n )s/m(22n 0 加速度与水平方向的夹角 000 机在某高度的水平面上飞行。机身的方向是自东北向西南，与正西夹 150 角，风以100km/h 的速率自西南向东北 方向吹来，与正南夹 450 角，结果飞机向正西方向运动。求飞机相对于风的速度及相对地面的速度。 解，基本参照系：地面 运动参照系：风 研究对象：飞机 绝对速度：机地v，相对速度：机风v，牵连速度：风地v机地v=机风v+风地v（ 1） ,15s ）（风地机风 s/ 3 5s 0 （ 2） ,15s ）（风地机地 s/0s 0 弧公路与沿半径方向的东西向公路相交如图。某瞬时汽车甲向东以 20km/h 的速率行驶；汽车乙在 030 的位置向东北方向以速率 20km/此瞬时甲车相对乙车的速度。 解，基本参照系：地面 运动参照系：乙车 研究对象：甲车。 甲乙乙地甲地 )s/m(甲乙 030 (东偏南 060 ) 图，绳 竖直方向成 30角， O 为一定滑轮，物体 A 与 B 用跨过定滑轮的细绳相连，处于平衡状态已知 B 的质量为 10 面对 B 的支持力为 80 N若不考虑滑轮的大小求： (1) 物体 A 的质量 (2) 物体 B 与地面的摩擦力 (3) 绳 拉力 (取 g=10 m/ 答：解：各物体示力图如图 (a)、 (b)、 (c)所示 （ 2 分） 对 B 有： 0 0c 对 O 有： 030s 1 0c 12 对 A 有： 01 由及 m10 N = 80 N 解出 60 4Am f = 机降落时的着地速度大小 km/v，方向与地面平行，飞机与地面间的摩擦系数 ，迎面空气阻力为 2力为 2v 是飞机在跑道上的滑行速度，已知飞机的升阻比 k=yC/，求飞机从着地到停止这段时间所滑行的距离。（设飞机刚着地时对地面无压力） 解： 以飞机着地处为坐标原点，飞机滑行方向为 x 轴，竖直向上为 y 轴，建立直角坐标系。飞机在任一时刻（滑行过程中）受力如图所示，其中 为摩擦力， 2x阻 为空气阻力， 2y升 为升力。由牛顿运动定律列方程： xx （ 1） 02 （ 2） 由以上两式可得 xy 分离变量积分： vv 20 2得飞机坐标 x 与速度 v 的关系 2 20mx yx 令 v=0，得飞机从着地到静止滑行距离为 mg mx 20m a x 根据题设条件，飞机刚着地时对地面无压力，即 T0 T( b)( a)1T( c)阻F 5,020 得 2020 55, 所以有 5 1 20m a x g 6 0 0/1090523 示一斜面，倾角为 ，底边 长为 ，质量为 的物体从斜面顶端由静止开始向下滑动，斜面的摩擦 因数为 。试问，当 为何值时，物体在斜面上下滑的时间最短？其数值为多少？ 解： 取沿斜面为坐标轴 点位于 O 位于斜面顶点，则 由牛顿第二 定律有 (1) 又物体在斜面上作匀变速直线运动，故有 则 (2) 为使下滑的时间最短。可令 dt/d = 0，由式 (2)有 则可得 此时 如图（ a）所示，已知两物体 A、 m= 物 体 A 以 加 速 度 运动，求 物体 滑轮与连接绳的质量不计） 力分析 F1aFF2TFa 光滑水平面上，放一质量为 m 的三棱柱 A ，它的倾角为 。现把一质量为 m 的滑块 B 放在三棱柱的光滑斜面上。试求：（ 1）三棱柱相对于地面的加速度；（ 2）滑块相对地面的加速度；（ 3）滑块与三棱柱之间的正压力。 解 ：取地面为参考系，以滑块 B 和三棱柱 A 为研究对象，分别作出力图，如图所示。 B 受重力 A 的支持力 A 受重力 B 的压力 F 面支持力 A 的运动方向为的正向， 的正向垂直地面向上。设 对地的加速度， 对地的加速度。由牛顿定律 得 F （ 1） F （ 2） F （ 3） 11 F （ 4） 1 02 1 A F 11 F f 4( F1aFF2TFa 图 3 B 相对 A 的加速度为 由题意 者的矢量关系如图所示。据此可得 （ 5） （ 6） 解上述方程组可得三棱柱对地面的加速度为 2A 滑块相对地面地加速度 x、 y 轴上的分量分别为 2Bx 2 2By 则滑块相对地面的加速度 22222s i ns i i n mm 其方向与 y 轴负向的夹角为 c o ta r c t ga r c t g A 与 B 之间的正压力 21 枚质量为 103的火箭，在与地面成 角的发射架上，点火后发动机以恒力 用与火箭，火箭的姿态始终与地面成 角。经 关闭发动机，计算此时火箭的高度和距发射点的距离。（忽略燃料质量和空气阻力） 知识点窍 动力学方程矢量式： F x= y=速直线有动位移公式： S=2辑推理 火箭所受的推力和重力都是恒力，所以火箭竖 直平面内作匀加速直线运动。利用力的分析，可列出的水平、竖直两方向的动力学方程，结合匀加速直线运动位移公式即可求解。 解题过程 建立坐标系 标系如图。 q mg=m x， ，物体作匀加速直线运动。 221 c o s 1 . 2 322P a t tm q= = = 104m 221 s i m gP a t = = =103m 火箭距发射总距离： 22104m 型飞机连同驾驶员总质量为 。飞机以 速率在水平跑到上着陆，驾驶员开始制动，若阻力与时间成正比，比例系数 ，求（ 1）10s 后飞机的速率；（ 2）飞机着陆后 10s 内滑行的距离。 解：（ 1）按题意 考虑牛顿第二定律得 对上式分离变量积分得 00 得： 20 2 ，代入初始条件可知 211 ) 当 0 时 ， 130 （ 2）由 00 00 311020 ) 0 时，飞机滑行的距离为 67 梯相对地面以加速度 a 竖直向上运动。电梯中有一滑轮固定在电梯的顶部，滑轮两侧用轻 绳子悬挂着质量分别为 1m 和 2m 的物体 A 和 B。设滑轮质量和滑轮与绳子之间的摩擦力忽略不计。已知 21 ，如以加速运动的电梯为参考系，求物体相对地面的加速度和绳子的张力。 解：以电梯为参考系，物体 A、 B 受力情况如图（ b）所示。 图中 2211 , 为惯性力。设 a 为物体相对电梯的加速度，根据牛顿定律有： m1 m2 a A B 图 2y O m1 m2 a F1 F2 T1 a (b) (a) ( 1 ) 1111 ( 2 ) 2222 （考虑 21 F ），联立（ 1）（ 2）式可得： 2121所以 21 21212 由加速度的矢量合成可得物体 A、 B 相对地面上加速度分别为 2121121221)(22)( A、 B 两船在平 静的湖面上平行逆向航行，当两船擦肩相遇时，两船各自向对方平稳地传递 50重物，结果是 A 船停了下来，而 B 船以 s 的速度继续向前驶去 。 A、B 两船原有质量分别为 03 03在传递重物前两船的速度 。 （忽略水对船的阻力） 解答及评分标准： （ 1）对于 A 船及抛出的重物和 B 船抛来的重物 组成的系统， 因无外力（水对船的阻力已忽略），系统动量守恒 （ 2 分 ） 设 A 船抛出重物前的速度 大小为 B 船抛出重物前的速度大小为 两船抛出的重物的质量均为 m则动量守恒式为， 0 （ 1） （ 2 分 ） （ 2）对于 B 船及抛出的重物和 A 船抛来的重物 组成的系统， 因无外力（水对船的阻力已忽略），系统动量守恒 （ 2 分 ） 设 B 船抛出重物后的速度大小为 动量守恒式为， （ 2） （ 2 分 ） 联立（ 1）、（ 2）式并代入 A m 、 B m 、 m 、m/s V 可得 m / s ( 2 m / s ()(2 B F N1 N2 mg 对地 图 2人从 10m 深的井中提水，起始时桶中装有 10水，桶的质量为 1于水桶漏水，每升高 1m 要漏去 水。求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功。 解： 如图所示，以井中水面为坐标原点，以竖直向上为 y 轴正方向。因为匀速提水，所以人的拉力大小等于水桶和水的重量，它随升高的位置变化而变化，在高为 y 处，拉力为 式中 10( m ， k 。人作功为 )J(98 0d)d)( g 两个粒子之间的相互作用力是排斥力，并随它们之间的距离 r 按 3/ 的规律而变化，其中 k 为常量，试求两粒子相距为 r 时的势能。（设力为零的地方势能为零） 解 ： 由力函数3知，当 r 时， 0F ，势能亦为零。在此力场中两粒子相距 r 时的势能为 rr PP 2P 2空作业时系安全带是非常必要的 人，在操作时不慎从高空竖直跌落下来，由于安全带的保护，最终他被悬挂起来 全带弹性缓冲作用时间为 解：从整个过程来讨论， 根据动量定理有 F=t 2h/g +103N 初处于静止的质点受到外力的作用，该力的冲量为 。在同一时间间隔内，该力所作的功为 问该质点的质量为多少？ 解 ： 由于质点最初处于静止，因此，初动量 0，初动能 0，根据动量定理和动能定理分别有 0 而2122k 铁锤把钉子敲入墙面木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比。若第一次敲击，能把钉子钉入木板 ，第二次敲击时，保持第一次敲击钉子的速度，那么第二次能把钉子钉入多深？ 解 ： 因阻力与深度成正比，则有 F = k 为阻力系数）。现令 0 2 m，第二次钉入的深度为 x ，由于钉子两次所作功相等，可得 00 x 图所示，质量为 m 、速度为 v 的钢球，射向质量为 m 的靶，靶中心有一小孔，内有劲度系数为 k 的弹簧，此靶最初处于静止状态，但可在水平面上作无摩擦滑动，求子弹射入靶内弹簧后，弹簧的最大压缩距离。 解 ： 以小球与靶组成系统，设弹簧的最大压缩量为 球与靶共同运动的速率为 动量守恒定律，有 1 （ 1） 又由机械能守恒定律，有 20212 212121 （ 2） 由式（ 1）、（ 2）可得 图所示，质量分别为 m和 和 B ，用质量可略去不计的刚性细杆连接，开始时它们静止在 面上，在图示的外力 和 的作用下运动。试求：（ 1）它们质心的坐标与时间的函数关系；（ 2）系统总动量与时间的函数关系。 解 ： （ 1）选如图所示坐标，则 t = 0 时，系统质心的坐标为 对小球与杆整体应用质心运动定 律，得 dd （ 1） dd （ 2） 根据初始条件 t = 0 时， v = 0，分别对式（ 1）、式（ 2）积分可得质心速度的分量与时间的函数关系式，有 ,3） 212 ,4） 根据初始条件 t = 0 时， x = y = 式（ 3）、式（ 4）再一次积分可得质心坐标与时间的函数关系式，有 x 0 21 1 22221 10CC 及 y 0 21 2