[工学]工程力学教案.doc

绪 论一、工程力学的研究对象及主要内容工程力学是一门研究物体机械运动和构件承载能力的科学。所谓机械运动是指物体在空间的位置随时间的变化，而构件承载能力则指机械零件和结构部件在工作时安全可靠地承担外载荷的能力。例如，工程中常见的起重机，设计时，要对各构件在静力平衡状态下进行受力分析，确定构件的受力情况，研究作用力必须满足的条件。当起重机工作时，各构件处于运动状态，对构件进行运动和动力分析，这些问题均属于研究物体机械运动所涉及的内容。为保证起重机安全正常工作，要求各构件不发生断裂或产生过大变形，则必须根据构件的受力情况，为构件选择适当的材料、设计合理的截面形状和尺寸，这些问题则是属于研究构件承载能力方面的内容。工程力学有其自身的科学系统，本课程包括静力学、材料力学和运动力学三部分。(我们这里只为你介绍静力学和材料力学)静力学主要研究力系的简化及物体在力系作用下的平衡规律。材料力学主要研究构件在外力作用下的强度、刚度和稳定性等的基本理论和计算方法。运动力学是从几何角度来研究物体运动的规律，以及物体的运动与其所受力之间的关系。二、工程力学在工程技术中的地位和作用工程力学是工科各类专业中一门必不可少的技术基础课，在基础课和专业课中起着承前启后的作用，是基础科学与工程技术的综合。掌握工程力学知识，不仅为了学习后继课程，具备设计或验算构件承载能力的初步能力，而且还有助于从事设备安装、运行和检修等方面的实际工作。因此，工程力学在专业技术教育中有极其重要的地位。力学理论的建立来源于实践，它是以对自然现象的观察和生产实践经验为主要依据，揭示了唯物辩证法的基本规律。因此，工程力学对于今后研究问题、分析问题、解决问题有很大帮助，促进我们学会用辩证的观点考察问题，用唯物主义的认识观去理解世界。三、学习工程力学的要求和方法工程力学来源于实践又服务于实践。在研究工程力学时，现场观察和实验是认识力学规律的重要的实践环节。在学习本课程时，观察实际生活中的力学现象，学会用力学的基本知识去解释这些现象；通过实验验证理论的正确性，并提供测试数据资料作为理论分析、简化计算的依据。工程实际问题，往往比较复杂，为了使研究的问题简单化，通常抓住问题的本质，忽略次要因素，将所研究的对象抽象化为力学模型。如研究物体平衡时，用抽象化的刚体这一理想模型取代实际物体；研究物体的受力与变形规律时，用变形固体模型取代实际物体；对构件进行计算时，将实际问题抽象化为计算简图等等。所以，根据不同的研究目的，将实际物体抽象化为不同的力学模型是工程力学研究中的一种重要方法。工程力学有较强的系统性，各部分内容之间联系较紧密，学习中要循序渐进，要认真理解基本概念、基本理论和基本方法。要注意所学概念的来源、含义、力学意义及其应用；要注意有关公式的根据、适用条件；要注意分析问题的思路，解决问题的方法。在学习中，一定要认真研究，独立完成一定数量的思考题和习题，以巩固和加深对所学概念、理论、公式的理解、记忆和应用。第一讲 1、静力学基本概念目的要求：掌握静力学公理和力的投影的计算。教学重点：二力平衡公理和力在坐标轴上的投影。教学难点：三力汇交定理。教学内容：第一章 静力学基本概念1-1 力的概念一、力的定义：1、力是物体间相互的机械作用。2、力的两种作用效应：外效应运动效应；内效应变形效应。（1）力的外效应（运动效应）：力使物体的机械运动状态发生变化的效应称为力的外效应，（2）力的内效应（变形效应）：力使物体的形状发生和尺寸改变的效应称为力的内效应。二、力的三要素：力的大小、方向、作用点。力的三要素决定了力对物体的作用效应。三、力的单位：在我国的法定计量单位中，力的单位用牛顿（N）和千牛顿（kN）。 1kN=1000N。四、力的表示方法：1、力是矢量:力是矢量，在图示力时，常用一带箭头的线段来表示力（参看右图）在书写力时，力矢量用加黑的字母表示，如F、P、G、F1等等。2、力在坐标轴上的投影：力的投影有正负，力的箭头指向与坐标的正向一致为正；反之为负。若力与正向夹角为，则：Fx=FcosFy=-Fcos五、力的性质（静力学公理）：1、二力平衡条件：物体受两力且平衡的充要条件是：这两力必须等值、反向、共线。满足以上条件的构件，称为二力构件。若为杆件，则称为二力杆。2、力的可传性原理：力可以沿其作用线滑移至刚体的任意点，不改变原力对该刚体的作用效应。3、力的平行四边形定则：作用于物体上同一点的两个力的合力也作用在该点，合力的大小和方向可用这两力为邻边作平行四边形的对角线来确定。合力投影定理：合力在某一坐标轴上的投影等于各分力在同一座表轴上投影的代数和。推论：三力汇交定理：刚体受同一平面不平行三力作用而使物体平衡时，三力必汇交于一点。4、作用力反作用力定理：（牛顿第三定理）两物体间相互作用的力总是同时存在，且两力等值、反向、共线，分别作用于两个不同的物体上。这两个力分别称为作用力反作用力。第一讲 2、力对点之矩 力偶 力的平移定理目的要求：掌握力对点的计算方法。教学重点：力和力偶对点之矩的概念和合力矩定理。教学难点：合力矩定理的应用。教学内容：1-2 力对点之矩一、力矩的概念：1、力矩的定义：力矩是力对物体绕某一点转动其转动效果大小的度量。它等于力的大小乘以力到该点的距离。并规定，力使物体绕该点顺转为负，逆转为正。2、力矩的计算公式：式中：Mo(F)：表示力F对力矩中心O点的力矩；F：表示力的大下小； d：表示力臂，即为力矩中心到力的作用线之间的垂直距离。 3、力矩的正负号规则：在平面问题中，规定逆时针转向的力矩取正号（），顺时针转向的力矩取负号（）。、力矩的单位为牛顿米（Nm）或者千牛米(KNm)1KNM=1000Nm二、力矩的性质1、力F对o点之矩不仅取决于力F的大小，同时还与矩心的位置即力臂d 有关。2、力F对于任意一点之矩，不会因该力的作用点沿其作用线移动而改变。3、力F的大小等于零或者力的作用线通过矩心时，力矩等于零。三、合力矩定理：合力对某一点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和。Mo(FR)=Mo(F1)+Mo(F2)+.Mo(Fn)=Mo(F)四、力矩的计算举例例1、如图所示，数值相同的三个力按照不同的方式施加在同一扳手的A端。若F200N,试求图示三种情况下力F对o点的力矩。解：图示三种情况下，虽然力的大小、作用点和矩心均相同，但是力的作用线各异，致使力臂均不相同，因而在三种情况下，力对o点之矩不同。直接根据力矩的公式可求出力对点0之矩分别为：在图a中Mo（F）=-Fd200N0.2mcos3034.64 N.m 在图b中Mo（F）=Fd200N0.2msin3020 N.m 在图c中Mo（F）=Fd200N0.2m40 N.m 1-3 力偶一、力偶的概念：1、力偶的实际例子如右图司机用双手转动方向盘的作用力F和F2、力偶的定义力偶是等值、反向、相互平行的一对特殊的力。力偶对物体只起转动效果。3、力偶的表示方法图示方法：见右图4、力偶对刚体转动效应的度量力偶矩M(F,F)用力偶中的任意力的大小F与力偶中两力作用线之间的垂直距离d（称为力偶臂）的乘积在冠以相应的正负号，作为力偶在其作用面内使物体产生转动效应的度量，称为力偶矩，记作M(F,F)或M,即5、力偶矩的正负号规则在平面问题中，规定逆时针转向的力偶其力偶矩取正（）， 顺时针转向的力偶其力偶矩取负号（）。6、力偶矩的单位力偶矩的单位同力矩的单位相同，用牛顿米（Nm ）或者千牛米(KNm)7、力偶的三要素力偶矩的大小、力偶的转向、力偶的作用面。二、力偶的基本性质1、力偶无合力，力偶在任一坐标轴上的投影等于零。2、力偶对其作用面内任一点之矩等于力偶矩。与矩心位置无关。Mo(F) Mo(F)F(x+d)Fx=FdM3、力偶的等效性：只要保证力偶的三要素相同，两力偶的作用效果相同。三、平面力偶系的合成平面力偶系合成的结果为一合力偶，合力偶的力偶矩等于各分力偶矩的代数和。M=M1+M2+M3+.+Mn=M1-4 力的平移定理力的平移定理力可以等效的平移到刚体上的任一点，但必须附加一个力偶，其力偶矩的大小等于原力对该点之矩。1、球拍击球 参看下图2、转轴的齿轮上作用圆周力F参看右上图三、力的平移定理的逆定理刚体的某平面上作用的一力F和一力偶M可以进一步合成得到一个合力。如图所示第二讲 1、约束与约束力目的要求：掌握常见约束力的绘制。教学重点：常见约束力的方向。教学难点：铰链约束力的理解。教学内容：1-5 约束与约束力一、自由体与非自由体1、自由体：能在空间任意运动不受任何限制的物体。2、非自由体：在空间的运动受到某些限制的物体。二、约束与约束反力1、约束的概念：一个物体的运动受到周围其它物体的限制，这种限制条件称为约束。2、约束力（约束反力）：约束作用于被约束物体上的限制其运动的力，称为约束力。约束力的方向总是与约束所能限制的运动方向相反。约束力的作用点，在约束与被约束物体的接处3、主动力：作用于被约束物体上的除约束力以外的其它力三、工程中常见的约束类型及其约束反力的表示方法（一）、柔性约束1、约束在工程应用的实例：如绳索、链条、胶带等。2、约束的特点：只能限制物体原柔索伸长方向的运动。3、约束反力的特点：约束反力沿柔索的中心线作用，离开被约束物体， 只能承受拉力，不能承受压力。4、约束与约束反力的画法实例参看下图（皮带、起吊用的钢丝绳等）（二） 光滑接触面1、约束在工程应用的实例：物体放置在光滑的地面或搁置在光滑的槽体内 。参看图2、约束的特点：两物体的接触表面上的摩擦力忽略不计，视为光滑接触面约束。被约束的物体可以沿接触面滑动，但不能沿接触面的公法线方向压入接触面。3、约束反力的特点：光滑接触面的约束反力沿接触面的公法线，通过接触点，指向被约束物体，是压力。如果是点与平面接触，则约束反力垂直于平面。如果是与圆弧接触则约束反力指向圆心。约束反力用FN表示。4、约束与约束反力的画法实例 参看右图（三）、圆柱型铰链约束 1、铰链约束的构造特点：两个带有圆孔的物体，用光滑的圆柱型销钉相连接。如下图中间铰：、把两个带有圆孔的物体，用光滑的圆柱型销钉穿入物体相连接而成。连接构造情况(如上图a)、连接实物如上图b和图例(如下图a)2、约束反力的表示方法:中间铰的约束反力是方向未定的一个力，一般用一对正交的力来表示。见图（b）3、中间铰的工程实例固定铰支座：1、约束的构造特点 把中间铰约束中的某一个构件换成支座，并与基础固定在一起，则构成了固定铰支座约束。2、约束的实例 如图3、约束的力学符号 如图（b）固定铰支座的约束反力同中间铰的一样，也是方向未定的一个力，用一对正交的力来表示。画法见上图(c)可动铰支座1、约束的构造特点 把固定铰支座的底部安放若干滚子，并与支撑连接则构成活动铰链支座约束，又称锟轴支座。2、约束的实例 如下图（a）及（b）3、约束的力学符号 如图（a）4、约束的约束特性 限制了物体沿支承面法线方向上的移动，但不能限制物体绕支座的转动和沿支承面方向移动。5、约束反力情况：反力1个，约束反力的 画法上图(b)（四）、二力杆约束1、约束的构造特点 杆件的自重不计，杆件上不受其它任何外力作 用，杆件的两端均用铰链与周围的其它物体相连接。杆件可以是直杆，也可以是曲杆。二力杆约束又称链杆约束，约束中的杆件又称之为二力杆。2、约束的实例 图(a)、(b)3、约束的力学符号见右图中的AC杆和下图中的DC杆。4、约束的约束特性限制了物体沿杆件两端铰链连线方向的运动。但不能阻止物体沿铰链的转动。5、约束反力情况：反力1个，根据二力平衡原理，二力杆约束 的约束反力的方向必沿杆件两端铰链中心的连线，指向不定。二力杆约束的约束反力的画法见上图。（五）、固定端约束：1、约束的构造特点 把杆件的端部与周围物体进行刚性连接。两连接物体不能绕连接点有任何的相对转动。2、约束的实例 如图(a)3、约束的力学符号 如图(b)4、约束的约束特性 限制了物体沿约束接作处任何方向的移动和转动。5、约束反力情况与图示方法约束反力3个，用一对正交的力和一个力偶(用M表示)来表达，约束反力的画法见图(c)第二讲 2、受力图目的要求：掌握正确绘制受力图的方法。教学重点：绘制受力图的三个步骤。教学难点：约束反力的正确绘制。教学内容：1-6 受力图一、画受力图的步骤：1、确定研究对象，取脱离体。2、画主动力。3、画约束反力。二、例题：例1：试画出下图中AB的受力图。（见教材19页图1.27）例2：试画出下图中AB杆、AC杆的受力图。（见教材17页图1.24）例3：试画出图示多跨静定梁中AB、BC及整体的受力图（见教材22页图1.30）第三讲 平面任意力系平衡方程的应用（一）目的要求：掌握利用平面任意力系平衡方程基本形式求解平衡问题。教学重点：平衡方程的正确运用。教学难点：对平衡方程的理解。教学内容：第二章 平面力系一、平面力系的概念：1、平面力系：如果作用在物体上的所有力(包括力偶)均作用于同一平面内,这样的力系称为平面力系。如图(a)、(b)、(c)、(d)等2、平面汇交力系：若所有力的作用线都汇交于一点，这类力系称为平面汇交力系。（如图(a)）3、平面平行力系：若所有的力的作用线均相互平行，这类力系称为平面平行力系。(如图(c)4、平面任意力系：若力系中的力既不一定平行，又不汇交于一点，这类力系称为平面任意力系。(如图(b)、(d)5、平面力偶系：平面力系仅由力偶组成。(a)(b)(c)(d)二、本章要研究的主要问题1、刚体上平面力系的简化；2、刚体的平衡方程；3、平面力系平衡问题的解法；4、超静定问题的概念； 5、摩擦和摩擦平衡问题。2-1平面任意力系的简化一、平面任意力系向任一点（简化中心）平移。1、力系的简化依据力的平移定理 2、力系的简化过程：如图(a)所示平面任意力系根据力的平移定理，力平移后要附加一个力偶，其力偶的大小等于该力对简化中心之矩。这样，平移到简化中心的力组成一个平面汇交力系，所有附加的力偶组成一个平面力偶系。 2、平面汇交力系组成一个合力主矢。根据平面汇交力系求合力的公式可得主矢的大小和方向为 3、平面力偶组成一个合力偶主矩。根据平面力偶系合成的公式可得主矩的大小为： Mo=M1+M2+.+Mn=Mo(F)=M二、平面力系简化结果的讨论1、主矢FR0；主矩Mo0，简化结果为一合力，合力作用线通过简化中心O点。2、主矢FR0，主矩Mo 0，简化结果为一合力偶，合力偶于简化中心的位置无关。3、主矢FR0，主矩Mo 0，简化结果为一合力，合力的作用线用简化中心的距离为FR=F=F 矢量和三、平面力系向任意一点o简化举例例2.1 一端固定于墙内的管线上受力情况如图(a)所示，已知F1=600N, F2=100N,F3=400N。试将力系向A点简化，并求出该力系的合力。解 以固定端A点为简化中心，求得力系在A点的主矢与主矩分别为：FRx=Fx=-F2+F3cos45=-100-400cos45=-382.8NFRY=Fy=-F1+F3sin45=-600-400sin45=-882.8NMA=MA(F)=MA(F1)+MA(F2)+MA(F3)=-F10.4+0+(-F3sin450.8-F3cos450.3)=-6000.4-400sin450.8-400cos450.3=-551.1N.m计算结果为图（b）所示：本力系可以进一步简化为作用在另一点B的一个合力，其合力的作用线与A点的垂直距离为2-2 平面任意力系平衡方程的应用(一)一、平面任意力系的平衡方程：当平面任意力系作用于物体上，并处于平衡时，平面任意力系向任一点简化所得的主矢和主矩都应该等于零，得到下列平衡方程的基本形式：二、解题步骤和方法：（1）确定研究对象，画受力图。（2）选择坐标轴和矩心，列平衡方程。（3）解平衡方程，求出未知约束反力。三、例题：例1:如图所示悬臂梁，已知L2m，F=100N,求固定端A处的约束反力。解 （1）、取梁AB为研究对象。 （2）、画出AB梁的受力图。 （3）、建立直角坐标系Axy。 （4）、列出平衡方程：Fx=0 FAX-Fcos30o0 Fy=0 FAy-Fsin30o0 MA(F)=0 MA-FLsin30o0 (5)、解平衡方程，求出未知量。联立求解平衡方程得FAx=86.6 N FAy=50 N MA=100 N.m说明：计算结果为正，说明各未知力的实际方向均与假设方向相同。若计算结果为负，则未知力的实际方向与假设方向相反。第四讲 平面任意力系平蘅方程的应用(二)目的要求：掌握利用二矩式、三矩式求解平面任意力系的平衡问题。教学重点：平衡方程的基本形式、二矩式、三矩式的灵活运用。教学难点：对平衡问题求解时，平衡方程形式的选择。教学内容：2-2 平面任意力系平衡方程的应用(二)前面介绍的平面任意力系平衡方程称为基本形式,又叫一般式。它有三个独立的平衡方程，可以求解三个未知量。其实，只要平衡，各力在任意轴上的投影都等于零；对任一点之矩的代数和也等于零。即可以列若干个方程。但是，独立的平衡方程只有三个。平面一般力系独立的平衡方程还有其它两种形式：二矩式和三矩式。1、平面任意力系的其他形式：(1) 二矩式：（取矩的两点的连线不能与投影轴平行）Fx=0 （或Fy=0） MA(F)=0 MB(F)=0(2)三矩式：（取矩的三点不能在一条直线上）MA(F)=0 MB(F)=0 MC(F)=02、例题：例1:悬臂吊车(a)所示，横梁AB长L2.5m。自重G1=1.2kN;拉杆CD倾斜角度 30，自重不计，电动葫芦连同重物共重G2=7.5kN。当电动葫芦在图示位置平衡，b2m，试求拉杆的拉力和铰链A的约束反力。解 （1）、选取横梁AB为研究对象。 （2）、画出横梁AB梁的受力图(b)。 （3）、建立直角坐标系Axy。 （4）、列出平衡方程： Fx=0 FAX-Fcos 0 Fy=0 FAy-G1-G2+FCDsin0 MA(F)=0 FCDLsinG1L/2-G2.b0 （5）、解平衡方程，求出未知量并讨论结果。 联立求解平衡方程得， FCD=13.2kN（拉力）FAX=11.43kN FAy=2.1kN(a)(b)分析讨论： 1、若取B为力矩中心，列出力矩方程： MB(F)=0 -FAyL-G1L/2-G2 b 0 同样可以求得FAy=2.1kN 此时，平面一般力系的平衡方程变为二矩式。（满足AB两点连线不与投影轴x垂直的条件）。2、若再取C为矩心，列出力矩方程：MC(F)=0 -FAyLan-G1L/2-G2b0 同样可以求得FAx=11.43kN。此时，平面任意力系的平衡方程变为三力矩式。（满足A、B、C三点不在一条直线上的条件）。 从以上分析可知，只要便于解题，可以采用平面任意力系三种平衡方程形式的任意一种。例2:如图(a)所示，已知定滑轮一端悬挂一物重G500N,另一端施加一倾斜角为30的拉力FT,使物体A匀速上升。求定滑轮支座O处的约束力。(a)(b)解 （1）、取滑轮O为研究对象。 （2）、画出滑轮O的受力图(b)。 （3）、建立直角坐标系Oxy。 （4）、列出平衡方程： Fx=0 FRcos-FTcos300 Fy=0 FRsin-FTsin30-G0 其中 FT=G=500N （5）、解平衡方程，求出未知量。 联立求解平衡方程得因为FT为正值，所以FR的假设方向与实际方向一致，指向第一象限，与x轴的夹角为60例3 图（a）为某石油厂的卧式密闭容器结构简图。设容器总重量（包括 自重、物料重）等沿筒体轴向均匀分布，集度q20kN/m，容器两端端部折算重力为G=10kN,力矩为M=800kNm,容器鞍座结构可简化为一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座，容器力学计算简图如图b所示，试求支座A、B的约束反力。解（1）、取容器整体为研究对象。 （2）、画出容器整体的受力图(c)。 （3）、建立直角坐标系Axy。（4）、列出平衡方程 Fy=0 GFG+FA+FB=0 MA(F)=0G1.5MF9FB18MG19.50 式中 G10kN,M800kNm，Fq20m20103N/m20m400103N400kN （5）、解平衡方程，求出未知量。 联立求解平衡方程，并代入已知量得 FA=FB=210kN 由于容器是个对称结构，所以A、B支座的反力相等。第五讲 平面特殊力系的平衡方程目的要求：掌握平面汇交力系、平面平行力系、平面力偶系平衡问题的计算。教学重点：掌握不同力系平衡方程的形式，并能正确应用。教学难点：平衡方程式的选择。教学内容：2-2 平面任意力系平衡方程的应用(三)平面特殊力系的平衡方程、平面汇交力系：Fx=0Fy=0由于各力的作用线都汇交于一点，显然，如果矩心选取在汇交点时力矩式是恒等式。因此，独立的平衡方程只有投影式。即(1)、平衡方程：(2)、例题：例：如图所示为一夹具中的连杆增力机构，主动力F作用于A点，夹紧工件时连杆AB与水平线的夹角15。试求夹紧力FN与主动力F的比值（摩擦不计）。解 分别取滑快A、B为研究对象，受力图如图所示。两物体均受平面汇交力系作用，若求FN与F的比值，可设F为已知，求出FN,即可得到二者关系。对滑快A 由Fy=0， F+FABsin0 解得 FR=F/sin 对滑快B 由Fx=0 ，FABcosFN=0 因为FAB=FAB 解得 FN=FABcos=FABcos=Fcot 于是 FN/F=cot=cot153.73分析：从FN/F=cot的关系式可以看出， 当愈小时，夹紧力与主动力的比值愈大。2、平面力偶系：由于力偶在任一轴上的投影都等于零，显然，投影式是恒等式。因此，独立的平衡方程只有力矩式。即(1)、平衡方程： M0 (2)、例题：例2：用多孔钻床在以水平放置的工件上同时钻4个直径相同的孔（图a），设每个钻头作用在工件上的切削力偶矩的大小为M1=M2=M3=M4=M=15N.m。问此时工件受到的总切削力偶矩为多大？若不计摩擦，加工时用两个螺钉A、B固定工件，试求螺钉受力。解 （1）求总切削力偶矩 根据平面力偶系的合成求得工件所受总的切削力偶矩为 MMM1M2M3M4 4M41560N.m (a) (b)负号表示合力偶矩的方向为顺时针。 （2）求螺钉A和B受的力 取工件为研究对象，画出受力图（b）。 因工件在平面力偶系作用下处于平衡状态， 由M0，可得 M总+M(FA,FB)=0 60+FA2001030 FA=FB=300N(FA,FB方向如图所示) 螺钉A、B受力分别与工件点A、B受力FA、FB成反作用力例3：电动机的功率是通过连轴器传递给工作轴的，连轴器是电动机转轴与工作机械转动轴的连接部件，它由两个法兰盘和连接两者的螺栓组成。如图2.9所示，四根螺栓A，B，C，D均匀分布在同一圆周上，圆周直径D=200mm。已知电动机轴传给连轴器的力偶矩M=2.5kN.m，设每根螺栓所受的力大小相等，即F1=F2=F3=F4=F。试求螺栓受的力。解: 取法兰盘为研究对象，其上作用有主动力偶M以及4根螺栓的约束力F1，F2，F3，F4等，其受力图如图所示。 法兰盘在平面力偶系的作用下处于平衡， 由平面力偶系的平衡方程得： M0， M+2M(F1,F3)=0 M-2F1D=0 F=6.25kN所以4个螺栓受力均为F=6.25kN,与法兰盘上四点受力成反作用力本题也可认为法兰盘受平面任意力系作用，列出平衡方程求解。3、平面平行力系： 由于力系平行，在与平行力系相垂直的轴上的投影都等于零，显然，这个投影式是恒等式。因此，独立的平衡方程只有一个投影式和一个力矩式。也可以用二力矩式。即(1)、平衡方程： MA(F)=0 MB(F)=0 （A、B两点的连线不能与力系平行）(2)、例题：例4：图示为起重机简图。已知:G700kN，最大起重量G1=200kN,试求保证起重机满载和空载时不翻倒的平衡块重。若平衡块重为750kN，试分别求出满载和空载时，轨道对机轮的法向约束力。 (a) (b)解:首先，取起重机为研究对象，画出起重机的受力图如下图(b)所示。 1、求平衡块重。 （1）、满载时（G1=200kN） 若平衡块过轻，则会使机身绕点B向右翻到， 因此须配一定重量的平衡块。临界状态下，点B悬空，FA=0,平衡块重应为G2min。 由 MB(F)=0，得G2min（6+2）G2G1（12-2）0解得 G2min425kN （2）、空载时（G1=0） 此时与满载情况不同，在平衡块作用下，机身可能绕点A向左翻到，临界状态下，点B悬空， FB=0,平衡块重应为G2max。由MA(F)=0得 G2max（62）G(4+2)0 解得 G2max1050 kN。 由以上计算可知，为保证起重机安全，平衡块必须满足下列条件：425kNG2f，这说明推动物体从静止开始滑动比较费力，一旦物体滑动起来后，要维持物体继续滑动就省力了。精度要求不高时，可视为fsf。二、摩檫角与自锁(1)、摩檫角：正压力和摩檫力的合力称为全反力，在临界状态时全反力与法线方向的夹角称为摩檫角。用f如图c表示。如图(a)所示，一重为G的物体置于平面上，受到重力G与法向约束反力FN作用而平衡，无滑动趋势。此时物体与水平面之间不产生摩擦。当在物体上施加一水平推力Fx时(图b)，物体与水平面间有相对运动的趋势，便产生摩擦力，摩擦力的大小随物体的状态而变化。此时物体受到接触面的总约束力为法向约束力FN与切向约束力Ff（摩擦力）的合力称为全约束反力。当物体处于临界状态时，摩擦力为Ffm，全 约束力为： FR=FNFfm 全约束力FR与接触面公法线的夹角称为摩擦角(2)、自锁：当主动力的合力作用于摩檫角的范围之内时，物体一定处于平衡状态，与主动力的大小无关。这种现象称为自锁。物体的自锁条件为： f自锁被广泛的应用在工程上，如图所示的螺旋千斤顶就是利用自锁原理提升货物的。自卸汽车也是利用自锁原理卸下货物的三、考虑摩檫时的平衡问题：考虑摩檫时的平衡问题首先还是平衡问题。任然是画出受力图，针对受力图列平衡方程，然后求解。只不过注意以下几点：(1)、受力图中要正确绘出摩檫力。(2)、一般情况下，按临界状态下求解，所以要补充方程（库仑定律）。四、例题例1：一重量为G的物体放在角为的斜面上，如图a所示。若静摩擦因数为fs，摩擦角为f，且（f），试求使物体保持静止的水平推力F的大小。解：因为斜面群角f，物体处于非自锁状态。欲使物体静止，力F的大小需在某一范围内，即 FminFFmax1、求FminFmin 是为使物体不致下滑时所需的力F之最小值，此时物体处于下滑临界状态，受力情况如图b所示。列平衡方程：Fx=0 FmincosGsinFfm0 Fy=0 FNFminsinGcos0 列补充方程：Ffmfs.FNFNtanf 解得2、求Fmax Fmax为使物体不致于上滑时所需的力F之最大值，此时物体处于上滑临界状态，受力情况如图c所示。列平衡方程： Fx=0 FmaxcosGsinFfm0 Fy=0 FNFmaxsinGcos0 列补充方程： Ffmfs.FNFNtanf 解得 综合以上结果可知，使得物体保持静止的水平推力F的大下应该满足下列条件：Gtan(-f)FGtan(+f)例2 图a所示为一凸轮滑道机构，在推杆上端C点有货载F作用。凸轮上 有主动力偶矩M作用。设推杆与滑道间的摩擦因数为fs；凸轮与推杆间有 良好的润滑作用，摩擦不计；尺寸a、d为已知，推杆截面尺寸不计。为 使推杆在图示位置不被卡住，试写出滑道宽度b的计算式。解 设在图示位置凸轮机构处于向上推动时平衡的 临界状态。临界状态时，推杆只有A、B两点与 滑道接触，且受到最大摩擦力Ffm作用。 分别取推杆和凸轮为研究对象，画出受力图，如图b、c所示。 列平衡方程如下：Fx=0 FNAFNB0 Fy=0 FFfmAFfmBFR0 MA(F)=0 FNB.bFR.a0 Mo(F)=0 MFR.d0 列出补充方程如下：FR=FRFfmA=fs.FNA FfmB=fs.FNB结果说明，该机构不发生自锁的条件为五、滚动摩擦简介 当搬运重物时，若在重物底下垫上辊轴，则比直接将重物放在地面上 推或拉要省力得多，这说明用辊轴的滚动来代替箱底的滑动，所受到的阻 力要小。车辆用轮子“行走”，机器重用滚动轴承，都是为了减少摩擦阻力。 如下图：1、滚动摩擦的实例和受力分析 图（a）、（b）、（c）、（d）2、滚动摩擦定律 Mf，maxemaxFN=FN 式中： Mf，max称为最大滚动摩擦力偶矩； 称为滚动摩擦系数； FN称为两个相互接触物体间的法向约束力； emax称为滚动摩阻力偶的最大力偶臂。 3、滚动摩擦举例 自行车轮胎气足骑车省力。火车轨道用钢轨。(增加硬度，减小滚动阻力偶)第八讲 重心和形心目的要求：掌握平面组合图形形心的计算。教学重点：分割法和负面积法计算形心。教学难点：对计算形心公式的理解。教学内容：3-4 重心和形心一、重心的概念：1、重心的有关知识，在工程实践中是很有用的，必须要加以掌握。 2、重力的概念：重力就是地球对物体的吸引力。 3、物体的重心：物体的重力的合力作用点称为物体的重心。 无论物体怎样放置，重心总是一个确定点，重心的位置保持不变。二、 重心坐标的公式：(1)、重心坐标的公式三、物体质心的坐标公式 在重心坐标公式中，若将G=mg，Gimig代入并消去g，可得物体的质心坐 标公式如下： 四、均质物体的形心坐标公式若物体为均质的，设其密度为，总体积为V,微元的体积为Vi，则G=gV,GigVi，代入重心坐标公式，即可得到均质物体的形心坐标公式如下： 式中V=Vi。在均质重力场中，均质物体的重心、质心和形心的位置重合。五、均质等厚薄板的重心（平面组合图形形心）公式： 令式中的Ai.xiA.xcSy； Ai.yiA.ycSx 则Sy、Sx分别称为平面图形对y轴和x轴的静矩或截面一次矩。六、物体重心位置的求法 工程中，几种常见的求物体重心的方法简介如下： 1、对称法 凡是具有对称面、对称轴或对称中心的简单形状的均质物体，其重心一定在它的对称面、对称轴和对称中心上。对称法求重心的应用见下图。 2、试验法对于形状复杂，不便于利用公式计算的物体，常用试验法确定其 重心位置，常用的试验法有悬挂法和称重法。 （1）、悬挂法 利用二力平衡公理，将物体用绳悬挂两次，重心必定在两次绳延长线的交点上。悬挂法确定物体的重心方法见图 (2）、称重法 对于体积庞大或形状复杂的零件以及由许多构件所组成的机械，常用称重法来测定其重心的位置。例如，用称重法来测定连杆重心位置。如图。设连杆的重力为G ,重心 C点与连杆左端的点相距为Xc，量出两支点的距离L，由磅秤读出B端的约束力FB,则由 MA(F)=0 FB.LG. Xc0XcFB.L/G(3)、分割法：工程中的零部件往往是由几个简单基本图形组合而成的，在计算它们的形心时，可先将其分割为几块基本图形，利用查表法查出每块图形的形心位置与面积，然后利用形心计算公式求出整体的形心位置。此法称为分割法。右面是平面图形的形心坐标公式：(4)、负面积法：仍然用分割法的公式，只不过去掉部分的面积用负值。3、查表法在工程手册中，可以查出常用的基本几何形体的形心位置计算公式。下面列出了几个常用的图形的形心位置计算公式和面积公式。 四、求平面图形的形心举例例1 热轧不等边角钢的横截面近似简化图形如图所示，求该截面形心的位置。解:方法一（分割法）：根据图形的组合情况，可将该截面分割成两个矩形，C1和C2分别为两个矩形的形心。取坐标系Oxy如图所示，则矩形，的面积和形心坐标分别为 A1=120mm12mm1440mm2 x16mm y160mmA2（80-12）mm12mm816mm2 x212mm（80-12）/20=46mm y26mm即所求截面形心C点的坐标为（20.5mm，40.5mm）方法二(负面积法)： 用负面积法求形心。计算简图如图。 A180mm120mm9600mm2 x140mm y160mm A2=108mm68mm7344mm2 x112mm（8012)mm/2=46mm y112mm（12012)mm/2=66mm由于将去掉部分的面积作为负值，方法二又称为