高中数学第一章导数及其应用1.2第1课时几个常用函数的导数学案新人教A版.docx

1.2.1 几个常用函数的导数一、课前准备1.课时目标1.了解几个常用函数的导数公式的证明过程；2.掌握常用函数的导数公式，并能灵活运用公式求某些函数的导数；3.解决与常用函数导数公式相关的问题。2.基础预探1常用函数的导数(1)函数yc(c为常数)的导数y_； (2)函数yx的导数y_；(3)函数yx2的导数y_； (4)函数y的导数y_；(5)函数y的导数y_. 二、学习引领1.利用定义求导数的步骤 (1)求函数增量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率；(3)取极限 .2.对几个常用函数的导数公式的理解1.常数的导数为0，其几何意义为f(x)=c在任意点处的切线平行于x轴，其斜率为零。若y=c表示路程关于时间的函数，则y=0可以解释为某物体作瞬时速度为0，即一直处于静止状态。2. f(x)=x的导数为1，其几何意义为y=x图像上每一点处的切线斜率为1，若y=x表示路程关于时间的函数，则y=1可以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速运动。3.函数yx2的导数为y2x.y2x表示函数yx2图象上点(x，y)处的斜率为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化若yx2表示路程关于时间的函数，则y2x可以解释当某物体做变速运动做，它在时刻x的瞬时速度为2x.三、典例导析题型一 利用常用函数的导数公式求导数值例1求曲线y在点M(3,3)处的切线方程思路导析：利用()求出曲线在点M(3,3)切线的斜率，然后利用点斜式写出直线方程解析： y()， . 过(3,3)点斜率为的切线方程为y3(x3)，即x+9y-30=0.归纳总结：将曲线上点的横坐标代入曲线导数方程便可求出切线的斜率，再代入点斜式即可求出切线方程变式训练：求曲线yx2在点(1,1)处的切线方程 题型二 常用函数的导数公式的综合应用例2求抛物线yx2上的点到直线xy20的最短距离思路导析：与直线xy20平行的抛物线yx2的切线对应的切点到直线xy20的距离最短。因此先用导数的几何意义求出切点坐标，再用点到直线的距离公式求出最短距离， 解析：依题意知与直线xy20平行的抛物线yx2的切线的切点到直线xy20的距离最短，设切点坐标为(x0，x)y(x2)2x，2x01，x0，切点坐标为(，)所求的最短距离d.归纳总结：几种常见的函数的导数应用广泛，在几何方面常与解析几何联系，主要是考查函数在某点处的导数就是过该点的切线的斜率，及切线相关的问题 变式训练：设直线l1与曲线y相切于P，直线l2过P且垂直于l1，若l2交x轴于Q点，又作PK垂直于x轴于K点，求KQ的长 题型三 常见函数导数公式的综合应用例3已知f(x)x2，g(x)，求适合f(x)1g(x)的x值思路导析：先利用导数的定义求出f(x)、g(x)，然后解方程得到x值解析：由导数的定义知，f (x)2x，g(x)()。 f(x)1g(x) ， 2x+1=，即2x3+x2+1=0即(x+1)( 2x2-x+1) =0，解之得x=-1。归纳总结：本题综合考查了两种函数的导数公式，巧妙的将求导数与解方程联系在一起变式训练：已知函数，则f(1)与f(1)的大小关系是 ()Af(1)f(1)Bf(1)f(1) D无法确定 四、随堂练习1.已知函数f(x)36，则()A3 B5 C0 D不存在 2函数f(x)，则()A. B0 C. D. 3曲线yx22在点x1处切线的倾斜角是()A0 B45 C135 D45 4.曲线yx3在点P处切线的斜率为k，当k3时，P点坐标为_。 5曲线yx3在点(1，)处的切线与直线xy30的夹角为_ 6已知点P(1,1)，点Q(2,4)是曲线yx2上的两点，求与直线PQ平行的曲线yx2的切线方程 五、课后作业1给出下列命题：若y，则y0；若y3x，则y3；若y，则y；若y3，则y3x. 其中正确的有()A1个 B2个 C3个 D4个 2在下列四个命题中，真命题的个数为()曲线yx3在原点处没有切线；若函数f(x)，则；加速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数；函数yx5的导函数的值恒非负A1 B2 C3 D4 3y在点A(1,1)处的切线方程是_ 4已知f(x)，g(x)mx，且g(2)，则m_. 5已知曲线y5，求曲线上与直线y2x4平行的切线的方程 6曲线y和yx2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是多少？ 参考答案：1.2.1 几个常用函数的导数一、课前准备2.基础预探 1. 0 1 2x 三、典例导析例1 变式训练解析： y(x2)2x， y|x12，即所求切线的斜率为2.所求切线的方程为y12(x1)，即2xy10.例2 变式训练解析：设P(x0，y0)，则y|.由于l2与l1垂直，故2. 于是 l2：yy02(xx0)令y0，则y02(xQx0)，即2(xQx0)，解得xQx0. 易知xKx0，于是|KQ|xQxK|.例3 变式训练解析：由题意可知： ，f(x)x24x，f(1)5，f(1)3.故C正确答案：C。四、随堂练习1.解析：f(x)36为一个常数，f(x)0.故选C.答案：C2解析：f(x)，f(3).故选A.答案：A3解析：f(x)x，f(1)1， k1，45.故选B.答案：B4.解析：设P(x0，y0)，则f(x0)3x，即3x3，所以x01或x01，代入yx3有P(1,1)或(1，1)答案：(1，1)或(1,1) 5解析：yx2，y|x11，切线的斜率为1，又已知直线的斜率为1，两直线垂直，故两直线的夹角为90.应填90.答案：906解：y(x2)2x，设切点M(x0，y0)，则.因为PQ的斜率k1，又切线平行于PQ，所以k2x01，即x0，所以切点M(，)所以所求切线方程为yx，即4x4y10.五、课后作业1解析：正确答案：B2解析：yx3在(0,0)处的切线为y0；f(x)在x0处不可导；加速度是动点速度函数v(t)对时间t的导数；y(x5)5x40.答案：A3解析：易知，切线方程为y1(x1)，即x2y10.答案：x2y104解析：f(x)，f(2)，又g(x)m，g(2)m，由g(2)得m4.答案：45解：设切点为(x0，y0)由y5得，.切线与y2x4平行， 2，解得x0