概率复习题及答案

试题一、填空题1设A、B、C是三个随机事件。试用A、B、C分别表示事件1）A、B、C至少有一个发生2）A、B、C中恰有一个发生3）A、B、C不多于一个发生2设A、B为随机事件，。则3若事件A和事件B相互独立,，则4.将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为5.甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量分布律为则A=_7.已知随机变量X的密度为,且,则_8.设,且,则_9.一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为_10.若随机变量在（1，6）上服从均匀分布，则方程x2+x+1=0有实根的概率是11.设，则12.用（）的联合分布函数F（x,y）表示13.用（）的联合分布函数F（x,y）表示14.设平面区域D由y = x , y = 0和x = 2所围成，二维随机变量(x,y)在区域D上服从均匀分布，则（x,y）关于X的边缘概率密度在x = 1处的值为。15.已知，则16.设，且与相互独立，则17.设的概率密度为，则18.设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在0，6上服从均匀分布，X2服从正态分布N（0，22），X3服从参数为=3的泊松分布，记Y=X12X2+3X3，则D（Y）=19.设，则20.设是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当充分大时,近似有或。特别是，当同为正态分布时，对于任意的，都精确有或.21.设是独立同分布的随机变量序列,且，那么依概率收敛于.22.设是来自正态总体的样本，令则当时。23.设容量n = 10的样本的观察值为（8，7，6，9，8，7，5，9，6），则样本均值=，样本方差=24.设X1,X2,Xn为来自正态总体的一个简单随机样本，则样本均值服从二、选择题1.设A,B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（A）P (A+B) = P (A);（B）（C）（D）2.以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B）“甲、乙两种产品均畅销”（C）“甲种产品滞销”；（D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。3.袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。则第二人取到黄球的概率是（A）1/5（B）2/5（C）3/5（D）4/54.对于事件A，B，下列命题正确的是（A）若A，B互不相容，则与也互不相容。（B）若A，B相容，那么与也相容。（C）若A，B互不相容，且概率都大于零，则A，B也相互独立。（D）若A，B相互独立，那么与也相互独立。5.若，那么下列命题中正确的是（A）（B）（C）（D）6 设,那么当增大时，A）增大B）减少C）不变D）增减不定。7设X的密度函数为，分布函数为，且。那么对任意给定的a都有A）B）C）D）8下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是A）B）C）D），其中9 假设随机变量X的分布函数为F(x),密度函数为f(x).若X与-X有相同的分布函数，则下列各式中正确的是A）F(x) = F(-x);B)F(x) = - F(-x);C) f (x) = f (-x);D)f (x) = - f (-x).10已知随机变量X的密度函数f(x)=(0,A为常数)，则概率P（a0）的值A）与a无关，随的增大而增大B）与a无关，随的增大而减小C）与无关，随a的增大而增大D）与无关，随a的增大而减小11,独立,且分布率为,那么下列结论正确的是A） ）C）以上都不正确12设离散型随机变量的联合分布律为且相互独立，则A）B）C）D）13若，那么的联合分布为A） 二维正态，且B）二维正态，且不定C） 未必是二维正态D）以上都不对14设X，Y是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为FX(x),FY(y),则Z = max X,Y的分布函数是A）FZ（z）= max FX(x),FY(y);B) FZ（z）= max |FX(x)|,|FY(y)|C) FZ（z）= FX（x）FY(y)D)都不是15下列二无函数中，可以作为连续型随机变量的联合概率密度。A）f(x,y)=B)g(x,y)=C)(x,y)=D)h(x,y)=16掷一颗均匀的骰子次，那么出现“一点”次数的均值为A）50B）100C）120D）15017 设相互独立同服从参数的泊松分布，令，则A）1.B）9.C）10.D）6.18对于任意两个随机变量和，若，则A）B）C）和独立D）和不独立19设，且，则=A）1，B）2，C）3，D）020 设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则是X和Y的A）不相关的充分条件，但不是必要条件；B）独立的必要条件，但不是充分条件；C）不相关的充分必要条件；D）独立的充分必要条件21设其中已知，未知，样本，则下列选项中不是统计量的是A）B）C）D）22设是来自的样本，那么下列选项中不正确的是A）当充分大时，近似有B）C）D）23若那么A）B）C）D）24设为来自正态总体简单随机样本，是样本均值，记，则服从自由度为的分布的随机变量是A)B)C)D)25设X1,X2,Xn，Xn+1,Xn+m是来自正态总体的容量为n+m的样本，则统计量服从的分布是A)B)C)D)三、解答题110把钥匙中有3把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。2（8分）某公司生产的一种产品300件.根据历史生产记录知废品率为0.01.问现在这300件产品经检验废品数大于5的概率是多少?已知当时，。3.（8分）设活塞的直径（以cm计）,气缸的直径，相互独立,任取一只活塞,任取一只气缸,求活塞能装入气缸的概率.4仓库中有十箱同样规格的产品，已知其中有五箱、三箱、二箱依次为甲、乙、丙厂生产的，且甲厂，乙厂、丙厂生产的这种产品的次品率依次为1/10,1/15,1/20.从这十箱产品中任取一件产品，求取得正品的概率。5一箱产品，A，B两厂生产分别个占60，40，其次品率分别为1，2。现在从中任取一件为次品，问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大？6有标号1n的n个盒子，每个盒子中都有m个白球k个黑球。从第一个盒子中取一个球放入第二个盒子，再从第二个盒子任取一球放入第三个盒子，依次继续，求从最后一个盒子取到的球是白球的概率。7从一批有10个合格品与3个次品的产品中一件一件地抽取产品，各种产品被抽到的可能性相同，求在二种情况下，直到取出合格品为止，所求抽取次数的分布率。（1）放回（2）不放回8设随机变量X的密度函数为,求(1）系数A,(2)(3)分布函数。9对球的直径作测量，设其值均匀地分布在内。求体积的密度函数。10设在独立重复实验中，每次实验成功概率为0.5，问需要进行多少次实验，才能使至少成功一次的概率不小于0.9。11公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子的身高,问车门的高度应如何确定？12 设随机变量X的分布函数为：F(x)=A+Barctanx,(-).求：（1）系数A与B；（2）X落在（-1，1）内的概率；（3）X的分布密度。13把一枚均匀的硬币连抛三次，以表示出现正面的次数，表示正、反两面次数差的绝对值 ，求的联合分布律与边缘分布。14设二维连续型随机变量的联合分布函数为求（1）的值，（2）的联合密度，（3） 判断的独立性。15设连续型随机变量（X，Y）的密度函数为f(x,y)=,求 （1）系数A；（2）落在区域D：的概率。16 设的联合密度为，（1）求系数A，（2）求的联合分布函数。17上题条件下：（1）求关于及的边缘密度。 （2）与是否相互独立？18在第16）题条件下，求和。19盒中有7个球，其中4个白球，3个黑球，从中任抽3个球，求抽到白球数的数学期望和方差。20 有一物品的重量为1克，2克，10克是等概率的，为用天平称此物品的重量准备了三组砝码 ，甲组有五个砝码分别为1，2，2，5，10克，乙组为1，1，2，5，10克，丙组为1，2，3，4，10克，只准用一组砝码放在天平的一个称盘里称重量，问哪一组砝码称重物时所用的砝码数平均最少?21 公共汽车起点站于每小时的10分，30分，55分发车，该顾客不知发车时间，在每小时内的任一时刻随机到达车站，求乘客候车时间的数学期望（准确到秒）。22设排球队A与B比赛，若有一队胜4场，则比赛宣告结束，假设A，B在每场比赛中获胜的概率均为1/2,试求平均需比赛几场才能分出胜负？23一袋中有张卡片，分别记为1，2，从中有放回地抽取出张来，以表示所得号码之和，求。24设二维连续型随机变量（X，Y）的联合概率密度为：f (x ,y)=求：常数k，及.25设供电网有10000盏电灯，夜晚每盏电灯开灯的概率均为，并且彼此开闭与否相互独立，试用切比雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在到之间的概率。26一系统是由个相互独立起作用的部件组成，每个部件正常工作的概率为，且必须至少由的部件正常工作，系统才能正常工作，问至少为多大时，才能使系统正常工作的概率不低于？27甲乙两电影院在竞争名观众，假设每位观众在选择时随机的，且彼此相互独立，问甲至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于。28设总体服从正态分布，又设与分别为样本均值和样本方差，又设，且与相互独立，求统计量的分布。29在天平上重复称量一重为的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布，若以表示次称量结果的算术平均值，为使成立，求的最小值应不小于的自然数？30证明题设A，B是两个事件，满足，证明事件A，B相互独立。31证明题 设随即变量的参数为2的指数分布，证明在区间（0，1）上服从均匀分布。试题参考答案一、填空题1 （1）（2）（3）或20.7，33/7，44/7! = 1/1260，50.75，61/5，7，1/2，80.2，92/3，104/5，11，12F(b,c)-F(a,c)，13F (a,b)，141/2，151.16，167.4，171/2，1846，198520；21，22，1/8，23=7，S2=2，24，二、选择题1A2D3B4D5D6C7B8B9C10C11C12A13C14C1 5B16B17C18B19A20C21C22B23A24B25C三、解答题1.8/15；2（8分）解把每件产品的检验看作一次伯努利试验,它有两个结果:正品,废品.检验300件产品就是作300次独立的伯努利试验.用表示检验出的废品数,则（2分）我们要计算对有于是,得（2分）（3分）查泊松分布表,得（1分）3.（8分）解按题意需求由于故有（2分）（2分）（3分）（1分）4.0.92;5.取出产品是B厂生产的可能性大。6.m/(m+k);7.（1）123410/13(3/13)(10/12)(3/13)(2/12)(10/11)(3/13)(2/12)(1/11)（2）8.（1）A1/2，（2），（3）9.，10.11.提示：，利用后式求得（查表）12.1A=1/2，B=；21/2；3f (x)=1/(1+x2)12313/83/83/431/81/81/41/83/83/81/8113.14.（1）；（2）；（3）独立；15.(1) 12;(2)(1-e-3)(1-e-8)16.（1）（2）17.（1）；（2）不独立18.；19.20.丙组21.10分25秒22.平均需赛6场23.;24.k = 2,E(XY)=1/4,D(XY)=7/14425.0.947526.0.984227.53728.29.1630.提示：利用条件概率可证得。31.提示：参数为2的指数函数的密度函数为，利用的反函数即可证得。试题一、填空题1设是来自总体的简单随机样本，已知，令，则统计量服从分布为（必须写出分布的参数）。2设，而1.70，1.75，1.70，1.65，1.75是从总体中抽取的样本，则的矩估计值为。3设，是从总体中抽取的样本，求的矩估计为。4已知，则。5和都是参数a的无偏估计，如果有成立，则称是比有效的估计。6设样本的频数分布为X01234频数13212则样本方差=_。7设总体XN（，），X1，X2，Xn为来自总体X的样本，为样本均值，则D（）_。8设总体X服从正态分布N（，），其中未知，X1，X2，Xn为其样本。若假设检验问题为，则采用的检验统计量应_。9设某个假设检验问题的拒绝域为W，且当原假设H0成立时，样本值（x1,x2,，xn）落入W的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为_。10设样本X1，X2，Xn来自正态总体N（，1），假设检验问题为：则在H0成立的条件下，对显著水平，拒绝域W应为_。11设总体服从正态分布，且未知，设为来自该总体的一个样本，记，则的置信水平为的置信区间公式是；若已知，则要使上面这个置信区间长度小于等于0.2，则样本容量n至少要取_。12设为来自正态总体的一个简单随机样本，其中参数和均未知，记，则假设：的检验使用的统计量是。（用和表示）13设总体，且已知、未知，设是来自该总体的一个样本，则，中是统计量的有。14设总体的分布函数，设为来自该总体的一个简单随机样本，则的联合分布函数。15设总体服从参数为的两点分布，（）未知。设是来自该总体的一个样本，则中是统计量的有。16设总体服从正态分布，且未知，设为来自该总体的一个样本，记，则的置信水平为的置信区间公式是。17设，且与相互独立，设为来自总体的一个样本；设为来自总体的一个样本；和分别是其无偏样本方差，则服从的分布是。18设，容量，均值，则未知参数的置信度为0.95的置信区间是(查表）19设总体，X1，X2，Xn为来自总体X的样本，为样本均值，则D（）_。20设总体X服从正态分布N（，），其中未知，X1，X2，Xn为其样本。若假设检验问题为，则采用的检验统计量应_。21设是来自正态总体的简单随机样本，和均未知，记,则假设的检验使用统计量。22设和分别来自两个正态总体和的样本均值，参数，未知，两正态总体相互独立，欲检验，应用检验法，其检验统计量是。23设总体，为未知参数，从中抽取的容量为的样本均值记为，修正样本标准差为，在显著性水平下，检验假设，的拒绝域为，在显著性水平下，检验假设（已知），的拒绝域为。24设总体为其子样，及的矩估计分别是。25设总体是来自的样本，则的最大似然估计量是。26设总体，是容量为的简单随机样本，均值，则未知参数的置信水平为的置信区间是。27测得自动车床加工的10个零件的尺寸与规定尺寸的偏差（微米）如下：+2，+1，-2，+3，+2，+4，-2，+5，+3，+4则零件尺寸偏差的数学期望的无偏估计量是28设是来自正态总体的样本，令则当时。29设容量n = 10的样本的观察值为（8，7，6，9，8，7，5，9，6），则样本均值=，样本方差=30设X1,X2,Xn为来自正态总体的一个简单随机样本，则样本均值服从二、选择题1.是来自总体的一部分样本，设：，则（）2.已知是来自总体的样本，则下列是统计量的是（）+A+10+53.设和分别来自两个相互独立的正态总体和的样本,和分别是其样本方差，则下列服从的统计量是()4.设总体，为抽取样本，则是（）的无偏估计的无偏估计的矩估计的矩估计5、设是来自总体的样本，且，则下列是的无偏估计的是（）6设为来自正态总体的一个样本，若进行假设检验，当_ _时，一般采用统计量(A)(B)(C)(D)7在单因子方差分析中，设因子A有r个水平，每个水平测得一个容量为的样本，则下列说法正确的是_ _(A)方差分析的目的是检验方差是否相等(B)方差分析中的假设检验是双边检验(C)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异(D)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异8在一次假设检验中，下列说法正确的是_(A)既可能犯第一类错误也可能犯第二类错误(B)如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误(C)增大样本容量，则犯两类错误的概率都不变(D)如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误9对总体的均值和作区间估计，得到置信度为95%的置信区间，意义是指这个区间(A)平均含总体95%的值(B)平均含样本95%的值(C)有95%的机会含样本的值(D)有95%的机会的机会含的值10在假设检验问题中，犯第一类错误的概率的意义是（）(A)在H0不成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率(B)在H0不成立的条件下，经检验H0被接受的概率(C)在H00成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率(D)在H0成立的条件下，经检验H0被接受的概率11.设总体服从正态分布是来自的样本，则的最大似然估计为（A）（B）（C）（D）12.服从正态分布，是来自总体的一个样本，则服从的分布为_。(A)N(,5/n)(B)N(,4/n)(C)N(/n,5/n)(D)N(/n,4/n)13设为来自正态总体的一个样本，若进行假设检验，当_ _时，一般采用统计量(A)(B)(C)(D)14在单因子方差分析中，设因子A有r个水平，每个水平测得一个容量为的样本，则下列说法正确的是_(A)方差分析的目的是检验方差是否相等(B)方差分析中的假设检验是双边检验(C)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异(D)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异15在一次假设检验中，下列说法正确的是_ _(A)第一类错误和第二类错误同时都要犯(B)如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误(C)增大样本容量，则犯两类错误的概率都要变小(D)如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误16设是未知参数的一个估计量，若，则是的_ _(A)极大似然估计(B)矩法估计(C)相合估计(D)有偏估计17设某个假设检验问题的拒绝域为W，且当原假设H0成立时，样本值（x1,x2,，xn）落入W的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为_。(A) 0.1(B) 0.15(C) 0.2(D) 0.2518.在对单个正态总体均值的假设检验中，当总体方差已知时，选用（A）检验法（B）检验法（C）检验法（D）检验法19.在一个确定的假设检验中，与判断结果相关的因素有（A）样本值与样本容量（B）显著性水平（C）检验统计量（D）A,B,C同时成立20.对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平下接受，那么在显著水平0.01下，下列结论中正确的是（A）必须接受（B）可能接受，也可能拒绝（C）必拒绝（D）不接受，也不拒绝21.设是取自总体的一个简单样本，则的矩估计是（A）（B）（C）（D）22.总体，已知，时，才能使总体均值的置信水平为的置信区间长不大于（A）/（B）/（C）/（D）23.设为总体的一个随机样本，为的无偏估计，C（A）/（B）/（C）1/（D）/24.设总体服从正态分布是来自的样本，则的最大似然估计为（A）（B）（C）（D）25.设是来自的样本，那么下列选项中不正确的是(A)当充分大时，近似有(B)(C）(D）26.若那么(A）(B）(C）(D）27.设为来自正态总体简单随机样本，是样本均值，记，则服从自由度为的分布的随机变量是(A)(B)(C)(D)28.设X1,X2,Xn，Xn+1,Xn+m是来自正态总体的容量为n+m的样本，则统计量服从的分布是(A)(B)(C)(D)29设，其中已知,未知,为其样本， 下列各项不是统计量的是()()()()30.设，其中已知，未知，为其样本， 下列各项不是统计量的是（）(A)()()(D)三、计算题1.（8分）设某批产品中,甲,乙,丙三厂生产的产品分别占45%, 35%, 20%,各厂的产品的次品率分别为4%, 2%, 5%,现从中任取一件,(1)求取到的是次品的概率;(2)经检验发现取到的产品为次品,求该产品是甲厂生产的概率.2.某车间生产滚珠，从某天生产的产品中抽取6个，测得直径为：14.615.114.914.815.215.1已知原来直径服从，求：该天生产的滚珠直径的置信区间。给定（，）（8分）3.（8分）设是来自总体的样本,又设,试求常数C,使服从分布.4.（8分）设随机变量的分布律为求.5.某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为，从某天生产的产品中随机抽取9个，测得直径平均值为15毫米，试对求出滚珠的平均直径的区间估计。（8分）6.（10分）设连续型随机变量的密度函数为求，。7.设总体的密度函数为：，设是的样本，求的矩估计量和极大似然估计。（10分）8.某矿地矿石含少量元素服从正态分布，现在抽样进行调查，共抽取个子样算得，求的置信区间（，）（8分）9某大学从来自A，B两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生，测其身高（单位：cm）后算得175.9，172.0；。假设两市新生身高分别服从正态分布X-N(1，2)，Y-N（2，2）其中2未知。试求12的置信度为0.95的置信区间。（t0.025(9)=2.2622,t0.025(11)=2.2010）10（10分）某出租车公司欲了解：从金沙车站到火车北站乘租车的时间。随机地抽查了9辆出租车，记录其从金沙车站到火车北站的时间，算得（分钟），无偏方差的标准差。若假设此样本来自正态总体，其中均未知，试求的置信水平为0.95的置信下限。11（10分）设总体服从正态分布，且与都未知，设为来自总体的一个样本，其观测值为，设，。求和的极大似然估计量。12某切割机在正常工作时,切割每段金属棒的平均长度为10.5cm,标准差是0.15cm,今从一批产品中随机的抽取15段进行测量,其结果如下:假定切割的长度服从正态分布,且标准差没有变化,试问该机工作是否正常?注：13.（14分）机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从正态分布，规定每袋标准重量为kg,方差。某天开工后，为检验其机器工作是否正常，从装好的食盐中随机抽取抽取9袋，测得净重（单位：kg）为：0.994,1.014,1.02,0.95,1.03,0.968,0.976,1.048,0.982算得上述样本相关数据为：均值为，无偏标准差为，。问(1)在显著性水平下，这天生产的食盐的平均净重是否和规定的标准有显著差异？(2)在显著性水平下，这天生产的食盐的净重的方差是否符合规定的标准？(3)你觉得该天包装机工作是否正常？14（8分）设总体有概率分布xi0123pi其中为未知参数，现抽的X的样本值Xi（i=1,2,3,.8）分别为3,1,3,0,3,1,2,3求的最大似然估计15（12分）对某种产品进行一项腐蚀加工试验，得到腐蚀时间（秒）和腐蚀深度（毫米）的数据见下表：5510203040506065901204681316171925252946假设与之间符合一元线回归模型（1）试建立线性回归方程。（2）在显著性水平下，检验16. (7分）设有三台机器制造同一种产品，今比较三台机器生产能力，记录其五天的日产量机器IIIIII日产量138144135149143163148152146157155144159141153现把上述数据汇总成方差分析表如下方差来源平方和自由度均方和比352.93312893.7331417.（10分）设总体在上服从均匀分布，为其一个样本，设(1)的概率密度函数(2)求18.按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？19.（10分）设总体服从正态分布，是来自该总体的一个样本，记，求统计量的分布。20某大学从来自A，B两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生，测其身高（单位：cm）后算得175.9，172.0；。假设两市新生身高分别服从正态分布X-N(1，2)，Y-N（2，2）其中2未知。试求12的置信度为0.95的置信区间。（t0.025(9)=2.2622,t0.025(11)=2.2010）21设总体X服从指数分布,其概率密度函数其中,是未知参数.是来自总体X的样本观察值,求参数的最大似然估计值.试题参考答案一、填空题1，2=1.71，3，40.5，562，7，8(n-1)s2或，90.15，10，其中11,385；1213，；14为，15；16，17，18(4.808，5.196)，19，20(n-1)s2或，21，22，23，24，25，26，272，281/8，29=7，S2=2，30二、选择题1D2B3B4D5D6C7D8A9D10C11A12B13D14D15C16D17B18B19D20A21D22B23C24A25B26A27B28C29C30A三、计算题1解记事件“该产品是次品”,事件“该产品为乙厂生产的”,事件“该产品为丙厂生产的”,事件“该产品是次品”.由题设,知（1分）(1)由全概率公式得（3分）(2)由贝叶斯公式(或条件概率定义),得（4分）2（分）解：这是方差已知，均值的区间估计，所以有：置信区间为：由题得：代入即得：所以为：3（8分）解因为（2分）所以（2分）且相互独立,于是（2分）故应取则有（2分）4.解当时，故（1分）当时，（1分）当时,（1分）当时，（1分）故（4分）5（分）解：这是方差已知均值的区间估计，所以区间为：由题意得：代入计算可得化间得：6.（10分）解由的密度函数可求得其边缘密度函数分别为:（2分）于是（1分）（1分）（1分）从而（1分）又（1分）（1分）所以（1分）故（1分）7（10分）解：矩估计为：样本的一阶原点矩为：所以有：极大似然估计：两边取对数：两边对求偏导数：=0所以有：8（8分）解：由得，所以的置信区间为：，将，代入得，9解：这是两正态总体均值差的