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中学函数最值的求法 摘要：函数最值问题，几乎涉及到高中数学的各个分支，是历年高考重点考查的知识点之一，因此函数最值在中学数学中具有举足轻重的地位，本文先介绍了函数最值的相关概念，然后讲解了函数最值重要性，最后重点讲解了函数最值的求法 关键词：函数的值域、函数的最值、求法引言 求函数的函数的最值问题常和求函数的值域紧密相关，函数的值域与最值是两个不同的概念，一般说来，求出了一个函数的最值，未必能确定该函数的值域，反之，一个函数的值域被确定，这个函数也未必有最大值或最小值。但是，在许多常见的函数中，函数的值域与最值的求法是相通的、类似的。最值问题是一类特殊的数学问题，它在生产、科学研究和日常生活中有着广泛的应用，而且在中学数学教学中也占有比较重要的位置，是历年高考重点考查的知识点之一，也是近几年数学竞赛中的常见题型。在高考中，它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系，并以一些基础题，小综合的中档题或一些难题的形式出现。由于其解法灵活，综合性强，能力要求高，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法。本文现拟对求函数最值问题的方法作一个综述，以便于广大师生系统掌握求函数最值的初等求解方法。 其中，本文大致按八个方面分类选谈求函数最值问题的方法，它们分别是：配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性、均值不等式法、二次函数的性质法、数形结合法和导数法。一、函数最值的有关概念在介绍函数最值的概念前，我们先给出函数函数极值的概念1.函数极值的定义定义1设函数在点的某邻域内有定义，如果对于去心邻域的任一，有 （或），那么就称是函数的一个极大值（或极小值） 函数的极大值和极小值统称为函数的极值由费马定理可知，如果函数在点处可导，且在处取得极值，那么这就是可导函数取得极值的必要条件怎样判定函数在驻点或不可导的点处究竟是否取得极值？如果是的话，究竟取得极大值还是极小值？下面给出两个判定极值的充分条件定理1（第一充分条件）设函数在点处连续，且在的某去心邻域内可导（1）若时，而时， ，则在处取得极大值（2）若时，而时， ，则在处取得极小值（3）若时，的符号保持不变，则在处没有极值定理2（第二充分条件）设函数在点处具有二阶导数且，那么(1)当时，则在处取得极大值（2）当时，则在处取得极小值2.函数最值的定义定义2 对于在区间上有定义的函数，如果有，使得对任一，都有 （或），则称是函数在区间上的最大值（或最小值）由最大最小值定理可知，在上连续，则在上必存在最大值和最小值，由函数的连续性可知，基本初等函数，初等函数必连续，而中学研究的函数基本上全是初等函数，因此必连续，故它们在闭区间上必存在最值3.函数最值与极值的关系函数的最大（小）值不一定是极大（小）值，极大（小）值也不一定是最大（小）值，因为最大（小）值也可能在端点值取得。2、 函数最值的求法（一）配方法 完全平方数是一个非负数，因此，对于二次函数的求最值问题，可以采用配方的方法，大家看下面的问题：例1 求的最值分析：配方法关键是配出第三项，它等于一次项系数一半的平方，根据这样一个特征，我们就很容易操作了解：因为， 所以当时，；时，；综上所述，当时，的最小值是，无最大值；当时，的最大值是，无最小值（二）、判别式法对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常可利用判别式求得函数的最值例：已知，求的最值解析：由已知，变形得，则，即有 故 因此 ，无最小值例3：若、且满足：，则= = 解析：由已知，变形得：，则，即有，于是，即 即同理，则，即有，于是，即 即注意：关于、的有交叉项的二元二次方程，通常用此法例4：已知函数，求的最值解析：函数式变形为：，由已知得，即：，即：因此 ，例5：已知函数的值域为，求常数解析： ，即由题意：所以，即，注意：判别式求函数的值域或已知值域求参数，把转化为关于的二次函数，通过方程有实根，判别式，从而求得原函数的值域或参数的值.形如(、不同时为0)，常用此法求得例6：在条件下，求的最大值解析：设，因，故 ，则 即 因为 ，故，于是 即 将代入方程得 ，所以注意：因仅为方程有实根，的必要条件，因此，必须将代入方程中检验，看等号是否可取（三）利用三角函数的有界性23 三角函数求最值也是我们在学习中经常遇到的一类问题，因此，我们也把它归纳一下，总起来说，三角函数求最值有以下6中常见类型：1. (或)型该类型利用三角函数的值域就可以求解，大家看下面的例子：例7求的最值解：，因为，所以；故的最小值是0，最大值是22.型引进辅助角公式，化成，再利用三角函数的有界性求最值，大家看下面的例子：例8求在上的最值解：因为，所以， 所以， 图1所以； 故在上的最小值是，最大值是23.型换元后转化为二次函数求最值，但应注意，例如：例9求函数的最值解：，令，则，则原式变为，所以在上单调递减，故的最小值是-1，最大值是74.型反解出，利用解决，例：例10求的最值解：因为， 所以，所以，又因为，所以，解之得；故的最小值是-2，最大值是0（5）型划归为型，例：例11求的最大值和最小值解：因为，所以，所以，所以；又因为 ，所以，解之得，故的最大值是，最小值是(6)型根据，常用到换元法，令，大家看下面的例子：例12求函数的最大值和最小值解：令，则，原式变为因为对称轴，所以在上单调递减，上单调递增，由于，所以，故的最大值是，最小值是-1（四）函数单调性法当一个函数单调递增的时候，它的值是随着的增大而增大的，也就是说，在的最小值处对应着的最小值，的最大值处对应着的最大值；同理，当一个函数单调递减的时候，在的最小值处对应着的最大值，在的最大值处对应着的最小值根据上述理论，当一个函数单调的时候，我们就可以求它的最值1.利用若干次“”(或“”)求函数的最值例13：求函数在，内的最小值解析： 图2当时，上式中的两个 “”中的等号同时成立，所以是 “精确的”不等式因而 另：此题还可用换元以及函数单调性来判断2.形如的函数的最值(1)，时，函数在，内递增，在，内递减，在，内递减，在，内递增(2)，时，函数在，内递减，在，内递增，在，内递增，在，内递减(3)，时，函数在，内递减，在，内递减(4)，时，函数在，内递增，在，内递增例14：求函数的最值解析：函数令，则，于是 在，内递减，在，内递增所以当，即时，；无最大值例15：求函数的最大值解析：令，则，函数在，内递增所以在，内也是递增的当，即时，（五）均值不等式法我们知道，当时，当且仅当时等号成立 同时，我们由上述式子可以得到，当且仅当时等号成立 ，两个不等式就是我们常用的均值不等式的两种形式，从上面我们可以看到均值不等式成立的前提是一正二定三相等，并且我们还发现，当两个数的和为定值时，它们的乘积有最大值，当两个数的积为定值时，它们的和有最小值，我们看下面的例子：例16已知，求的最小值 分析：的乘积不是定值，要想利用均值不等式，就必须通过构造使得两个数的乘积为常数 图3解：，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是2例17已知，求的最小值 分析：由题可知，当时等号成立，但，所以等号取不到，但我们发现，在上单调递增解：当且仅当时等号成立，但，故等号取不到 由右图可知，在上单调递增，故，所以的最小值是 例18：在任意三角形内求一点，使它到三边之积为最大解析：设三角形的三边长分别为、，面积为，三角形内一点到三边的距离分别为、(定值) 即 (时取等号) 因此，当此点为三角形的重心时(这时、面积相等)，它到三边之积为最大例19：有矩形的铁皮，其长为30，宽为14，要从四角上剪掉边长为 的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？ 解析：依题意，矩形盒子底边长为 ，底边宽为 ，高为 盒子容积 (显然：、)设 ，要用均值不等式则解得：，从而 故矩形盒子的最大容积为576 也可：令或注意：均值不等式应用时，要注意等号成立的条件(一正二定三相等)，当条件不满足时要灵活运用拆项、凑项、凑系数、平方等技巧凑配系数，适当时可以用待定系数法来求例20：已知(、均为锐角)，那么的最大值等于_ 解析：因、均为锐角，所以当且仅当时取等号，故的最大值为例21：求函数的最小值(、)解析： 当且仅当 即 时，函数取得最小值（六）数形结合法有些代数和三角问题，若能借助几何背景和几何直观而求其最值，常能受到直观明快，化难为易的功效例22：求函数的最值解析：将函数式变形为，只需求函数的最值把看成两点，连线的斜率，(即为单位圆上的点)，则当直线为单位圆的切线时，其斜率为最大或最小设过点的单位圆的切线方程为，即 则圆心到切线的距离为，解得：，从而函数最大值为；最小值为（7） 利用二次函数的性质 将已知复合函数的其中的一个函数化为一元二次函数的形式，运用一元二次函数的性质来求最值。例23：设，且，求当、为何值时，取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值解析：由，得由，且可得，从而(当时左边取“=”号，时右边取“”号)，由对数函数的图象及其性质，即当、时，；当、时，例24：求函数的最值解析：要使有意义，必须有，即 故 当时， ；当(或)时，.例25：求函数的最值解析：因为，结合二次函数图象及其性质：当，时，当，时，当，时，当，时，（8） 导数法 设函数在上连续，在上可导，则在上的最大值和最小值为在内的各极值与，中的最大值与最小值。要求三次及三次以上的函数的最值,以及利用其他方法很难求的函数似的最值,通常都用该方法。导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够重视。例26：求函数在上的最值