《ch112数列极限》PPT课件.ppt

Date 福 州 大 学2 课程特点 本课程与中学数学课程有很大不同 ，课程相当紧凑，每一节课讲的内容多 ，进度快。 较多的内容需要演算论证和逻 辑推理，还有一些运算比较复杂，需要有耐 心和细心。 高数是学习专业基础课、专业课 一 种重要的数学工具。 Date 福 州 大 学3 教学安排 第一章 极限与连续 16学时 第二章 一元函数微分学 20学时 第三章 一元函数积分学 24学时 第四章 微分方程 12学时 (期中考 复习 2 学时) 期末总复习 6 学时 本学期授课内容从第一章至第四章。 Date 福 州 大 学4 基本要求 一、课前要预习 二、课堂上要认真听讲，适当做一些 课堂笔记以便课后复习。 三、课后要认真独立完成布置的作业， 作业要准时交。每次上课前交。 ,至少要翻一下书， 知道上课讲什么。(自学能力) Date 参考书目： 高等数学全真课堂 北京大学数学科学院编， 学苑出版社， 2003年 高等数学习题集 北京大学数学科学学院 韩松 主编， 科学技术文献出版社，2000年 Date Date 福 州 大 学7 第一节 微积分中的极限方法 例1、曲边三角形面积问题 求 y = x2 与 x 轴、直线 x = 1 所围曲边三角形的面积 S. n个小矩形面积 Sn Date 福 州 大 学8 例2、瞬时速度问题 设质点沿直线运动的位置函数为 s = s(t) ， 求其在时刻 t0 的(瞬时)速度. t0 到 t 的平均速度为 故在 t0 时刻的瞬时速度为 Date 福 州 大 学9 第二节 数列极限的定义 一、概念的引入 二、数列的定义 三、数列的极限 四、数列极限的性质 Date 福 州 大 学10 1、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 一、概念的引入 Date 福 州 大 学11 “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 2、割圆术： 播放刘徽 Date 福 州 大 学12 二、数列的定义 数列定义 按照某一法则 , 对每个自然数 n , 都有确定的实数xn与之对应，这列有序的数： x1 , x2 , . , xn , . 称为数列 (sequence), 数列中的每个数叫做数列的项， 第 n 项 xn 叫做数列的一般项或通项, 数列简记为 Date 福 州 大 学13 例如 Date 福 州 大 学14 注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 2. 数列实质上是定义在正整数集上的函数： xn = f ( n )，n Z+整标函数 Date 福 州 大 学15 n xn 播放 三、数列的极限 Date 福 州 大 学16 问题: 当 n 无限增大时, xn 的变化趋势如何？ 把n无限增大这个重要的变化过程记为 n。 Date 福 州 大 学17 (不存在) Date 福 州 大 学18 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它. 例如 (xn 与1 的距离) 无论给定多么小的正数(距离) (这时, xn就无限接近于1) (条件) (结论) Date 福 州 大 学19 如果这样的常数 a 不存在, 就说数列没有极限, 或说数列是发散的. 例子 说明： 但未必是 的函数; 一般, 取越小, 相应 N 就越大, 例子 3. N与n无关, N不是唯一的. 2. N可能与 有关， 例子 Date 福 州 大 学20 下列陈述是否能作为极限 的定义？ 若不能，请举例说明. (1) 对任意的0, 存在N,当n N时, 成立 xn a 0, 存在无限个xn , 满足|xn a| 条件跟 无关 N不受限制, 不是 的函数 Date 福 州 大 学22 例2 证 所以, 当 说明: 1.用定义证明数列极限存在时,关键:任意 给定 寻找 N ,但不必要求最小的 N. 2. 具有任意性和相对稳定性的双重意义. 任意性刻划了xn 与 A 无限接近程度. 相对稳定性:一经取定就确定下来了. 注： N与n无关, N不是唯一的. Date 福 州 大 学23 例3 证 ？ Date 福 州 大 学24 用定义证明 xn= a，就是证明对 0，N存在. 从 |xna| ()于是可取 () 为 N。由于N 不唯一， 故可把 |xna| 适当放大，得到一个新的不等式， 再找 N。 注意： Date 福 州 大 学25 几何解释: 推论 数列极限的定义未给出求极限的方法.注意： 当 领域 (N+1项以后)(问:N项以前呢？) Date 福 州 大 学26 邻域: (neighborhood) 补充 点 的去心 邻域 点 的 邻域 实数 称为 的半径， 称为 的中心 (a R) 其中， Date 福 州 大 学27 四、数列极限的性质 定理1 若极限 存在，则极限是惟一的. 1. 极限的惟一性 1)有界(无界)数列的定义 2. 收敛数列的有界性 对数列 , 若存在正数 M , 使得对一切自然 数 n , 恒有 成立, 则称数列 有界, 否则, 称为无界. 例如, 有界无界 数轴上对应于有界数列的点xn都落在闭区间-M,M上. Date 福 州 大 学28 2） 定理2 收敛的数列必定有界. 证由定义, (全局有界性） 当 Date 福 州 大 学29 定理2 收敛的数列必定有界. 推论 无界数列必定发散. 注意：有界性是数列收敛的必要非充分条件. 如： (即 作业P4 二3) 证： 当时， Date 福 州 大 学30 3. 极限的保号性 定理3 N Z+ Date 福 州 大 学31 定理4 如果数列收敛，则它的任一个子数列 也收敛，且极限相同. (作业：P4 二4) 4.子数列的归并性(子数列的收敛性) 在数列 中任意抽取无穷多项并保持这些 项在原数列中的先后顺序 , 这样得到的数列记 为 , 称为数列 的子数列. 推论 Date 福 州 大 学32 五.小结 数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想,精确定义,几何意义; 收敛数列的性质:有界性 唯一性. 作业： 作业本中1.1 -1.2 那页 Date 福 州 大 学33 2、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 刘徽 Date 福 州 大 学34 2、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 刘徽 Date 福 州 大 学35 “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 2、割圆术： 刘徽 Date 福 州 大 学36 “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 2、割圆术： 刘徽 Date 福 州 大 学37 “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 2、割圆术： 刘徽 Date 福 州 大 学38 “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 2、割圆术： 刘徽 Date 福 州 大 学39 “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 2、割圆术： 刘徽 Date 福 州 大 学40 “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 2、割圆术： 刘徽 Date 福 州 大 学41 “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 2、割圆术： 刘徽 Date 福 州 大 学42 三、数列的极限 Date 福 州 大 学43 三、数列的极限 Date 福 州 大 学44 三、数列的极限 Date 福 州 大 学45 三、数列的极限 Date 福 州 大 学46 三、数列的极限 Date 福 州 大 学47 三、数列的极限