高等数学(专科)复习题及答案.doc

高等数学期末试卷一、填空题（每题2分，共30分）1函数的定义域是.解. 。 2若函数，则解. 3答案：1正确解法：4.已知，则_, _。由所给极限存在知, , 得, 又由, 知5.已知，则_, _。, 即, 6函数的间断点是。解：由是分段函数，是的分段点，考虑函数在处的连续性。因为 所以函数在处是间断的，又在和都是连续的，故函数的间断点是。7. 设, 则8，则。答案：或9函数的定义域为 。解：函数z的定义域为满足下列不等式的点集。的定义域为：且10已知,则 . 解令，则，11设,则 。 。12 设则 。解13. .解：由导数与积分互为逆运算得，.14.设是连续函数，且，则 .解：两边对求导得，令，得，所以.15若，则。答案： 二、单项选择题（每题2分，共30分）1函数（ ） A.是奇函数； B. 是偶函数；C.既奇函数又是偶函数； D.是非奇非偶函数。解：利用奇偶函数的定义进行验证。 所以B正确。2若函数，则（ ） A.；B. ；C.；D. 。解：因为，所以则，故选项B正确。3设 ，则=（ ）A x Bx + 1 Cx + 2 Dx + 3解 由于，得 将代入，得=正确答案：D4已知，其中,是常数，则（ ）(A) , (B) (C) (D) 解. , 答案：C5下列函数在指定的变化过程中，（）是无穷小量。A.； B.；C. ；D.解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以而A, C, D三个选项中的极限都不为0，故选项B正确。6下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（ ）(A); (B);(C)； (D)解. , 故不选(A). 取, 则, 故不选(B). 取, 则, 故不选(D). 答案：C 7设，则在处（）A连续且可导B连续但不可导C不连续但可导D既不连续又不可导解：（B），因此在处连续，此极限不存在从而不存在，故不存在8曲线在点（1，0）处的切线是（ ） A B C D 解 由导数的定义和它的几何意义可知， 是曲线在点（1，0）处的切线斜率，故切线方程是 ，即正确答案：A9已知，则=（ ） A. B. C. D. 6解 直接利用导数的公式计算： , 正确答案：B 10若，则（ ）。A B C D答案：D 先求出，再求其导数。11的定义域为（ ）ABC D解 z的定义域为个，选D。12.设函数项级数，下列结论中正确的是( ).（A）若函数列定义在区间上，则区间为此级数的收敛区间（B）若为此级数的和函数，则余项，（C）若使收敛，则所有都使收敛（D）若为此级数的和函数，则必收敛于解：选（B）.13.设为常数，则级数（ ）.（A）绝对收敛 （B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与有关解：因为，而收敛，因此原级数绝对收敛. 故选（A）.14.若级数在时发散，在处收敛，则常数（ ）.（A）1 （B）-1 （C）2 （D）2解：由于收敛，由此知.当时，由于的收敛半径为1，因此该幂级数在区间内收敛，特别地，在内收敛，此与幂级数在时发散矛盾，因此.故选（B）.15.的特解可设为（ ）（A） （B）（C） （D）解：C三、解答题（任选4题完成，每题10分，共40分）1.设函数 问（1）为何值时，在处有极限存在？（2）为何值时，在处连续？解：（1）要在处有极限存在，即要成立。因为所以，当时，有成立，即时，函数在处有极限存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时可以取任意值。（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是 于是有，即时函数在处连续。2求方程中是的隐函数的导数（1）,解：方程两边对自变量求导，视为中间变量，即 整理得 （2）设，求，；解：，3设函数在0,1上可导，且，对于（0 ,1）内所有x有证明在（0,1）内有且只有一个数x使 .7.求函数的单调区间和极值.解 函数的定义域是 令 ，得驻点， -2 0 + 0 - 0 + 极大值极小值故函数的单调增加区间是和，单调减少区间是及，当-2时，极大值；当0时，极小值.4求下列积分 (1)解：极限不存在，则积分发散.(2)解是D上的半球面，由的几何意义知I=V半球=(3) ，D由 的围成。解关于x轴对称，且是关于y的奇函数，由I几何意义知，。5判别级数的敛散性. 如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?解：记，则.显见去掉首项后所得级数仍是发散的，由比较法知发散，从而发散. 又显见是Leibniz型级数，它收敛. 即收敛，从而原级数条件收敛.6求解微分方程 (1) 的所有解.解 原方程可化为，（当），两边积分