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七夕，古今诗人惯咏星月与悲情。吾生虽晚，世态炎凉却已看透矣。情也成空，且作“挥手袖底风”罢。是夜，窗外风雨如晦，吾独坐陋室，听一曲尘缘，合成诗韵一首，觉放诸古今，亦独有风韵也。乃书于纸上。毕而卧。凄然入梦。乙酉年七月初七。-啸之记。 数学分析精品课程培训给予我的启示课程培训的三天里,听着陈老师剖析一个又一个教学难点,介绍一个又一个的数学经典问题,不时有豁然开朗、耳目一新的感觉。对数学分析这门课程,有了新的认识,对教学中的一些难点问题,也有了初步的解决方案。本想写一份教案作为作业,但交作业的时间实在是很紧迫,所以我还是选择了写培训体会。下面先谈谈解决几个教学难点的初步设想: 一、 实数系基本定理（实数的连续性） 我曾经问过一些数学专业大二的学生：实数和有理数的区别在哪里？回答我的是一片沉默和茫然的面孔。培训课上陈老师提了一个问题：有理数和无理数那个多？如果拿这个问题去问学生，我想大多数人也是不甚明了的。而另外一个问题：实数和整数的区别在哪里？学生却能很快回答:整数是离散的，实数是稠密的。这说明：在学生的脑海里，自然数是固有的概念，直观、容易理解，而实数的连续性，却很难在学生的脑海里扎根。如何让学生逐步接受实数的连续性？如何使实数系基本定理在学生的脑海里成为自然的，可以终生不忘的东西？ 我设想这样来做： 首先，给出问题和反例，使学生认识到有理数和无理数的区别，有限与无穷的区别； 然后，结合两次数学危机较为系统地讲述数系发展的历史，给出较多的无理数的例子，使学生对无理数有感性的认识，比如陈老师在第三讲里面给出的和就是很好的素材，可以多搜集一些与这两个常数相关的，并且学生容易理解的例子； 最后，重点讲述与证明确界原理，并给出区间套定理、柯西收敛原理和单调有界定理的直观表述。证明确界原理时可以分解整个证明过程，使学生易于接受。 在这部分内容的讲述中，第一个目标是让学生对实数的连续性有深刻的印象，第二个目标是使他们认同学习实数理论的必要性，第三个目标是让他们对上面提到的四个定理有感性的直观的认识。对相关课程资料应该精心选择，合理安排，避免占用过多的课堂时间。二、 一致收敛问题 我们的教材（华东师大版）中关于一致收敛问题出现的顺序是：函数序列函数项级数含参变量积分。在讲述这些内容之前，必须让学生认识到学习一致收敛的必要性。但我发现，在函数序列部分，要讲清这个问题，给学生留下深刻的印象，比较困难。因为不管是极限函数保持分析性质还是极限运算与其它运算换序，都不太容易激发学生的兴趣，也许是因为我还没有找到合适的例子（刚发现陈老师今天讲的Peano曲线是很不错的例子）。另一方面，我发现学生对函数项级数的逐项求导和逐项积分比较感兴趣，因为这是计算一些级数的值必不可少的手段，那么就可以从这部分入手找一些合适的例子，让学生体会到一致收敛这个概念是必不可少的。 在学习了陈老师所讲的第五讲和第九讲之后，结合以往的教学经历，对于讲授一致收敛，我有如下设想： 首先，让学生对学习一致收敛的必要性有深刻的体会，对于收敛、一致收敛和内闭一致收敛的联系和区别，它们分别适用于解决什么样的问题，有正确的认识； 其次，使学生熟练掌握一致收敛和不一致收敛的严格的数学表述，并通过适量的习题，学会证明一致收敛和不一致收敛；精选一批习题和应用实例（如今天陈老师刚讲的Peano曲线），使学生体会到一致收敛的威力； 最后，一致收敛问题出现了三次，而相关问题在本质上是没有差别的，最好在第一次时就有一个行之有效的教学模式，后面只是强化和复习巩固，就能比较圆满地解决这一难点了。 关于这部分内容，还有个疑问要请教陈老师：让学生学会证明一致收敛和不一致收敛，仅仅是为了培养他们的推理论证的能力呢，还是有别的培养目标？这部分内容无疑是难点，它在课程体系中的重要性又是多大呢？三、 关于隐函数定理的证明 陈老师讲了利用拉格朗日乘数法求条件极值的问题，非常清楚。听完之后我有信心以后把拉格朗日函数的来龙去脉说清楚了。但还得有个前提条件，即学生掌握了隐函数定理，尤其是隐函数组的定理。如果学生对隐函数的概念没有正确的理解，对隐函数定理没有基本的认识，要讲清拉格朗日函数，倒也有些困难呢。 关于隐函数这个难点，也有老师在论坛里提出来了，这部分到底该怎么讲，哪些地方必须讲，哪些地方略讲,尤其是隐函数存在唯一性定理的证明思路，是否要求学生掌握？这些问题，目前我都找不到答案。但是对于隐函数定理的证明，在听陈老师讲重积分替换定理的证明后，我受到启发，找到一个通过分解证明过程从而简化证明的方法，如下所述： 先用例子给出证明的主体思路： 令，只要证明关于严格单调、连续，且有函数值互异的点，则利用连续函数的介值定理和函数单调性，根据隐函数的定义可以证明存在隐函数； 用单位圆的例子，结合图形说明从研究整体存在性转向研究局部存在性的思想； 等学生充分理解上述思路后，再结合图形引导学生证明如下目标： 1、对确定的，关于严格单调且连续； 2、利用定理的已知条件与上述单调性，结合连续函数的局部保号性找到函数值相异的点； 3、如一开始给出的例子，利用严格单调性和连续函数的介值性定理，就可以证明隐函数的存在性。 以上设想都是一些粗糙的框架，要真正实施，还需要经过更深入的思考和充分的准备，包括教学资料的积累和教学方法的选择。上述想法的不妥之处，敬请陈老师指正。 此次培训所获得的启示是多方面的，但很多思路还很模糊，对许多问题的理解都是初步的。看来要充分吸收陈老师赐予的灵丹妙药并转为己用，对我等教坛青苗来说，仍需假以时日。 这次培训有几句话是令我终生难忘的，也是我以后的奋斗目标。这就是陈老师转述的李大潜院士的观点：“任何一门学问，就其本质来讲，关键的内容，核心的概念，往往就不过那么几条；而发挥开来，就成了洋洋大观的巨著。理解了这些核心与关键 ，并通过严格的基本训练将其真正学到手，就掌握了这门课程的精髓，就能得心应手地加以应用和发挥，也就达到了学习这门课程的目的”，“一个教师，在教学中将简单的东西故弄玄虚，讲得复杂、烦琐，使学生莫测高深，绝对不是一个好教师；相反，将复杂的内容，抓住本质讲得明白易懂，使学生觉得自然亲切，趣味无穷，