运算求解能力与数据处理能力.ppt

第22讲 运算求解能力与数据处理能力 江苏省高考数学科考试说明指出：“运算求解能力 的考查要求是：能够根据法则、公式进行运算与变形 ，能够根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算 途径，能够根据要求对数据估计或近似计算.” 运算求解能力包括分析运算条件、探究运算方向、选 择运算公式、确定运算程序、调整运算方式等一系列 过程中的思维能力，是思维能力与运算技能的结合. 运算求解贯穿于数学学习的始终，从对历年各地高 考试卷分析中可看出，刻意考查运算求解能力的试题 与无心考查只为辅助的试题均存在，不涉及运算求解 的试卷是不存在的.日常教学还发现运算求解过程中 误算、混用公式、不知优化过程耗费大量时间等现象 普通存在，造成不必要的失分，“会而不对”“对而 不全”之类的“低级错误”屡见不鲜.提醒备考者要 严谨、细致以防止差错. 考试说明指出“数据处理能力的考查要求是：能够 运用基本的统计方法对数据进行整理、分析，以解决 给定的实际问题.” 数据处理能力，不仅指运算，更指收集数据和对数 据的整体把握等方面的能力，它需要对收集到的数据 进行比较、分析，进而寻找到数据之间的规律. 数据处理能力是实施新课程标准后新增加的一种数 学基本能力，备考中要注意加强训练. 【例1】(2009扬州大学附中)在ABC中，角A， B，C所对边分别为a，b，c且 （1）求角A； （2）若m=(0,-1), 试求|m+n|的 最小值. 解 探究拓展 有关三角函数的运算求解是高考及各 级各类考试的焦点，其基础是有关三角函数的定 义、图象与性质以及三角变换公式，解题关键是 寻找条件与结论之间的差异与联系，目标是消除 差异，常用方法技巧有“变名、变角、降次”. 变式训练1 (2009山东)设函数 (1)求函数f(x)的最大值和最小正周期； （2）设A,B,C为ABC的三个内角，若 且C为锐角，求sin A. 解 【例2】（2009徐州调研）已知直线l: y=kx+2（k为常数）过椭圆 （ab0）的上顶点B和左焦点F，直线l被圆x2+y2=4 截得的弦长为d. （1）若d=2 ，求k的值； （2）若 ，求椭圆离心率e的取值范围. 解 （1）取弦的中点为M，连结OM, 由平面几何知识，OM=1， 得k2=3,k= . 直线过F、B，k0,则k= . （2）设弦的中点为M，连结OM， 探究拓展 解析几何类问题实质是用代数方法解 决几何问题，其中的“代数方法”主要是指“运 算求解”，通过数量关系的认定，达到对空间元 素之间位置关系与性质关系的判断. 本题以椭圆、圆、直线为素材设计，要求对相关 知识能熟练掌握，并借助平面几何知识建立相关 量之间联系,通过解方程与不等式使问题得以简便 解决.提醒：应在备考中重视平面几何知识的作用. 变式训练2 （2009江西）已知 P1(x0,y0)为双曲线 (b为正常数)上任一点，F2为双曲 线的右焦点，过P1作右准线的垂线，垂足为A，连 结F2A并延长交y轴于点P2. (1)求线段P1P2的中点P的轨迹E的方程; (2)设轨迹E与x轴交于B、D两点，在E上任取一点 Q（x1,y1）（y10）,直线QB，QD分别交y轴于 M，N两点.求证：以MN为直径的圆过两定点. （1）解 由已知得F2(3b,0), ,则直线F2A 的方程为 令x=0,得y=9y0,即P2（0，9y0）. (2)证明 【例3】（2009通州第四次调研）数列an、bn （n=1,2,3，）由下列条件确定： a10; 当k2,kN*，ak与bk满足如下条件： （1）如果a1=-5,b1=9,试求a2,b2,a3,b3; （2）证明：数列bn-an为等比数列； （3）设n (n2)是满足b1b2b3bn的最大整 数，证明： （1）解 (2)证明 当k2,kN*时， （3）证明 由（2）可得 b1b2b3bn (n2), 探究拓展 “创设问题情境，考查学生理解问题、 分析问题与解决问题的能力”是命制高考试题的 主导思想之一.本例以数列知识为素材，设计了较 为复杂的问题情境，考查学生运算求解能力与逻 辑推理能力.等差数列、等比数列的定义、性质与 通项公式的应用是基础与关键，具体问题中要耐 心细致梳理题设提供的信息与条件，深刻领悟与 把握各量之间的内在联系，经过运算求解对结论 作出判断和认定. 变式训练3 (2009江苏)设an是公差不为零的 等差数列,Sn是其前n项和,满足 (1)求数列an的通项公式及前n项和Sn； （2）试求所有的正整数m，使得 为数列 Sn中的项. 解 （1）由题意，设等差数列an的通项公式为 an=a1+(n-1)d,d0. 由 知2a1+5d=0. 又因为S7=7，所以a1+3d=1. 由可得a1=-5,d=2. 所以数列an的通项公式an=2n-7, (2)因为 为数列Sn中的项，故 为整数.又由(1)知 am+2为奇数，所以am+2=2m-3=1，即m=1,2. 经检验，符合题意的正整数只有m=2. 【例4】（2009苏、锡、常、镇四市调研）某中 学部分学生参加市高中数学竞赛取得了优异成 绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩（成绩 都为整数，满分120分），并且绘制了“频数分布 直方图”（如图所示），如果90分以上（含90分） 获奖，那么该校参赛学生的获奖率为 . 解析 由图表可以看出90100分人数为7人， 100110分人数5人，110120分人数2人，因而 “90分以上”人数共14人，“90分以下”人数共 4+6+8=18人，依概率知识获奖率应为 答案 探究拓展 这是一道由图表给出条件的信息类试 题，“读懂”是关键，再结合相关知识随机应变 选用公式求解. 变式训练4 根据空气质量指数API（为整数）的 不同，可将空气质量分级如下表： API0 50 51 100 101 150 151 200 201 250 251 300 300 级 别 1212 状况优良轻微 污染 轻度 污染 中度 污染 中度重 污染 重度 污染 对某城市一年(365天)的空气质量进行监测,获得 的API数据按照区间0,50,(50,100, (100，150,（150，200，（200，250， (250,300进行分组,得到频率分布直方图如图. (1)求直方图中x的值； (2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染 的天数; (3)求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或 轻微污染的概率. （结果用分数表示.已知57=78 125，27=128， 解 （1） （2）记良为A，轻微污染为B， 【例5】（2009盐城中学）以下伪代码： Read x If x-1 Then f(x)x+2 Else If -1x1 Then f(x)x2 Else f(x)-x+2 End If EndIf Print f(x) 根据以上伪代码，若函数g(x)=f(x)-m在R上有且 只有两个零点，则实数m的取值范围是 . 解析 依伪代码知识可将题设“翻译”为 g(x)=f(x)-m的零点对应y=f(x)与y=h(x)=m图象交 点（横坐标）.分别作出y=f(x)与y=h(x)=m的图象 可知，当m(-,0)或m=1时为求. （-,0）1 探究拓展 伪代码作为“人机对话”的一种语言 是解决问题的关键，将题设条件“明朗化”之 后，问题转化为函数零点问题，若解方程求根， 则较繁琐，数形结合使问题简便解决.备考中要重 视数形结合思想方法的训练. 变式训练5 （2009福建）阅读 如图所示的程序框图，运行相应 的程序，输出的结果是 . 解析 当S=2,n=1时， 第一次循环：得 进行第二次循环： 进入第三次循环： 由于此时S=2，因此应输出n=8. 答案 8 规律方法总结 1.运算求解贯穿于数学学习的整个过程之中,是命制高考 试题中不可或缺的主线,备考过程中要加强训练.常见 考查类型有:三角函数中的运算求解；立体几何中的运 算求解；数列、函数、不等式中的运算求解；解析几 何中的运算求解；向量中的运算求解；应用题中的运 算求解等. 2.数据处理能力是新课程标准实施之后新提出来的一种 数学基本能力,其实,只是在要求上强化了一步,这种运 算能力原本就存在.在实际解题过程中,数据处理能力 强弱不同的同学表现出能力的差异,一部分考生花大量 时间用踏实地步步演算,另一部分考生通过发现规律迅 速获解. 数据处理能力常见考查题型有:统计中的数据处理;程 序框图中的数据处理；图形、表格中的数据处理；概 率中的数据处理等. 一、填空题 1.（2009全国）设等差数列an的前n项和为Sn. 若S9=72，则a2+a4+a9= . 解析 设公差为d.依题意得 a5=8,a2+a4+a9=3a1+12d=3(a1+4d)=3a5=24. 24 2.（2009广东）一质点受到平面上的三个力F1， F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已 知F1，F2成60角，且F1，F2的大小分别为2和4， 则F3的大小为 . 解析 如图所示，F3的大小等于F1、F2的合力的大 小.由平面向量加法的三角形法则知，在OAB中 OB的长就是F1、F2的合力的大小，且在OAB 中，OAB=120， 3.已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相 等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面 直线AB与CC1所成的角的余弦值为 . 解析 记BC的中点为D，直线AB与AA1所成的角是 ，该三棱柱的各棱长为a，A1D平面ABC， 4.某企业生产甲、乙两种产品.已知生产每吨甲产品要用 A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、 B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产 品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原 料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得 最大利润是 . 解析 设该企业在一个生产周期内生产甲产品x 吨，乙产品y吨，获得利润z万元，则依题意有 目标函数z=5x+3y，画出不等式组表示的 平面区域及直线l0:5x+3y=0，易知当平移l0至经过点 (3,4)时,z取得最大值为53+34=27. 27万元 5.（2009福建）某校开展“爱我海西、爱我家乡” 摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎 叶图所示.记分员在去掉一个最高分和一个最低分 后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有 一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计 算无误，则数字x应该是 . 解析 当x0时， 1 6.某企业有3个分厂生产同一种电子产品,第一、二、 三分厂的产量之比为121,用分层抽样方法(每个 分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共 抽取100件作使用寿命的测试,由所得的测试结果算 得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平 均值分别为980 h,1 020 h,1 032 h,则抽取的100件 产品的使用寿命的平均值为 h. 解析 根据分层抽样知识可知,从3个分厂抽出的100 件电子产品中,每个分厂抽取的个数比也为1:2:1， 故分别有25,50,25个.在由3个分厂算出的使用寿命 的平均值可得抽取的100件产品的平均寿命为 1 013 二、解答题 7.（2009天津）在ABC中,BC= ，AC=3， sin C=2sin A. (1)求AB的值； (2)求 的值. 解 （1）在ABC中，根据正弦定理， (2)在ABC中，根据余弦定理， 8.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多 少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录 了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒 而就诊的人数，得到如下资料： 日期1日 10月 2日 10月 3日 10月 4日 10月 5日 10 6日 10月 昼夜温差 x() 1011131286 就诊人数 y(个) 222529261612 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据 中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程， 再用被选取的2组数据进行检验. (1)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5 月份的数据,求出y关于x的线性回归方程 (2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的 检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性 回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方 程是否理想？ 解 （1）由数据求得 所以y关于x的线性回归方程为 9.半径为4的圆C与圆C:x2+y2-4x-2y-4=0相切，且 和直线y=0相切.求圆C方程. 解 由题设，所求圆与直线y=0相切且半径为r=4. 则设所求圆的圆心为（a,4). 又已知圆的方程化为标准式为(x-2)2+(y-1)2=9， 其圆心（2，1），半径R=3. （1）若两圆外切，则圆心距为r+R=3+4=7. 即(a-2)2+(4-1)2=72,得a=22 , 或(a-2)2+(-4-1)2=72,得a=22 . 所求圆方程为(x-2-2 )2+(y-4)2=16或(x- 2+2 )2+(y-4)2=16或(x-2-2 )2+(y+4)2=16或 (x-2+2 )2+(y+4)2=16. （2）若两圆内切，则圆心距|R-r|=4-3=1. 所以（a-2)2+(4-1)2=1或（a-2)2+(-4-1)2=1, 这两个方程都无解，故讨论（1）中4个方程均是 所求圆的方程. 10.(2009金陵中学三模)已知数列an、bn中， 对任何