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文档简介
限时集训(四十八)空间向量在立体几何中的应用(限时:50分钟满分:84分)1(满分12分)如图,在abc中,abc60,bac90,ad是bc上的高,沿ad把abd折起,使bdc90.(1)证明:平面adb平面bdc;(2)设e为bc的中点,求ae与db夹角的余弦值2(满分12分)(2013孝感模拟)如图所示,四棱锥pabcd中,底面abcd为正方形,pd平面abcd,pdab2,e、f、g分别为pc、pd、bc的中点(1)求证:paef;(2)求二面角dfge的余弦值3(满分12分)如图,在正三棱柱abca1b1c1中,abaa1,点d是a1b1的中点,点e在a1c1上且deae.(1)证明:平面ade平面acc1a1;(2)求直线ad和平面abc1所成角的正弦值4(满分12分)(2012江西高考)如图所示,在三棱柱abca1b1c1中,已知abacaa1,bc4,点a1在底面abc的投影是线段bc的中点o.(1)证明在侧棱aa1上存在一点e,使得oe平面bb1c1c,并求出ae的长;(2)求平面a1b1c与平面bb1c1c夹角的余弦值5(满分12分)如图所示,在多面体abcda1b1c1d1中,上,下两个底面a1b1c1d1和abcd互相平行,且都是正方形,dd1底面abcd,ab2a1b12dd12a.(1)求异面直线ab1与dd1所成角的余弦值;(2)已知f是ad的中点,求证:fb1平面bcc1b1;(3)在(2)的条件下,求二面角fcc1b的余弦值6(满分12分)(2013聊城模拟)如图,在四棱锥pabcd中,底面abcd为菱形,bad60,q为ad的中点(1)若papd,求证:平面pqb平面pad;(2)设点m在线段pc上,求证:pa平面mqb;(3)在(2)的条件下,若平面pad平面abcd,且papdad2,求二面角mbqc的大小7(满分12分)(2012福建高考)如图所示,在长方体abcda1b1c1d1中,aa1ad1,e为cd中点(1)求证:b1ead1;(2)在棱aa1上是否存在一点p,使得dp平面b1ae?若存在,求ap的长;若不存在,说明理由;(3)若二面角ab1ea1的大小为30,求ab的长答 案限时集训(四十八)空间向量在立体几何中的应用1解:(1)证明:折起前ad是bc边上的高,当abd折起后,addc,addb,又dbdcd,ad平面bdc,ad平面abd,平面abd平面bdc.(2)由bdc90及(1)知da,db,dc两两垂直,不妨设|db|1,以d为坐标原点,以,的方向为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,易得d(0,0,0),b(1,0,0),c(0,3,0),a(0,0,),e,(1,0,0),与夹角的余弦值为cos,.2.解:(1)证明:以d为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系dxyz,则d(0,0,0),a(0,2,0),c(2,0,0),p(0,0,2),e(1,0,1),f(0,0,1),g(2,1,0)(1)(0,2,2),(1,0,0),0,paef.(2)易知(0,0,1),(2,1,1)设平面dfg的法向量为m(x1,y1,z1),则即令x11,得m(1,2,0)是平面dfg的一个法向量同理可得n(0,1,1)是平面efg的一个法向量,cosm,n,由图可知二面角dfge为钝角,二面角dfge的余弦值为.3解:(1)证明:由正三棱柱abca1b1c1的性质知aa1平面a1b1c1,又de平面a1b1c1,所以deaa1.而deae,aa1aea,所以de平面acc1a1.又de平面ade,故平面ade平面acc1a1.(2)如图所示,设o是ac的中点,以o为原点建立空间直角坐标系不妨设aa1,则ab2,相关各点的坐标分别是a(0,1,0),b(,0,0),c1(0,1,),d.易知(,1,0),(0,2,),.设平面abc1的一个法向量为n(x,y,z),则有解得xy,zy.故可取n(1,)所以,cosn,.由此即知,直线ad和平面abc1所成角的正弦值为.4解:(1)证明:连接ao,在aoa1中,作oeaa1于点e,因为aa1bb1,所以oebb1.因为a1o平面abc,所以a1obc.因为abac,oboc,得aobc,所以bc平面aa1o,所以bcoe,所以oe平面bb1c1c,又ao1,aa1,得ae.(2)如图,分别以oa,ob,oa1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则a(1,0,0),b(0,2,0),c(0,2,0),a1(0,0,2),由得点e的坐标是,由(1)得平面bb1c1c的法向量是,设平面a1b1c的法向量n(x,y,z),由得令y1,得x2,z1,即n(2,1,1),所以cos,n,即平面bb1c1c与平面a1b1c的夹角的余弦值是.5.解:以d为坐标原点,da,dc,dd1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则a(2a,0,0),b(2a,2a,0),c(0,2a,0),d1(0,0,a),f(a,0,0),b1(a,a,a),c1(0,a,a)(1)(a,a,a),(0,0,a),|cos,|,所以异面直线ab1与dd1所成角的余弦值为.(2)(a,a,a),(2a,0,0),(0,a,a),fb1bb1,fb1bc.bb1bcb,fb1平面bcc1b.(3)由(2)知,为平面bcc1b1的一个法向量设n(x1,y1,z1)为平面fcc1的法向量,(0,a,a),(a,2a,0),得令y11,则x12,z11,n(2,1,1),cos,n,即二面角fcc1b的余弦值为.6.解:(1)连接bd,四边形abcd菱形,bad60,abd为正三角形,又q为ad中点,adbq.papd,q为ad的中点,adpq,又bqpqq,ad平面pqb,ad平面pad.平面pqb平面pad.(2)连接ac交bq于点n,如图(1):由aqbc可得,anqcnb,.又, 图(1).pamn.mn平面mqb,pa平面mqb,pa平面mqb.(3)由papdad2,q为ad的中点,则pqad.又平面pad平面abcd,pq平面abcd.以q为坐标原点,分别以qa、qb、qp所在的直线为x,y,z轴,建立如图(2)所示的坐标系,则各点坐标为a(1,0,0),b(0,0),q(0,0,0),p(0,0,)设平面mqb的法向量n(x,y,1),可得 图(2)pamn, 解得n(,0,1)取平面abcd的法向量m(0,0,1)cosm,n.故二面角mbqc的大小为60.7.解:(1)证明:以a为原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设aba,则a(0,0,0),d(0,1,0),d1(0,1,1),e,b1(a,0,1),故,(a,0,1),.011(1)10,b1ead1.(2)假设在棱aa1上存在一点p(0,0,z0),使得dp平面b1ae,此时(0,1,z0)又设平面b1ae的法向量n(x,y,z)n平面b1ae,n,n,得取x1,则y,za,得平面b1ae的一个法向量n.要使dp平面b1ae,只要n,有az00,解得z0.又dp平面b1ae,存在点p,满足dp平面b1ae,此时ap.(3)连接a1d,b1c,由长方体ab
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