2016届广东省广州市荔湾区高三上学期调研测试（二）理科数学试题及答案.doc

荔湾区2015-2016学年第一学期高三调研测试（二）数学（理科）本试卷共4页，24小题，满分150分考试用时120分钟注意事项1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。2.回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。3.回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知i为虚数单位,复数的虚部为（）ab c1d2已知集合，则（ ）ab c d3下列函数中,既是偶函数,又在单调递增的函数是（ ）a b c d4设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则是的（ ） a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既非充分又非必要条件5如图1，阅读程序框图，若输出的s的值等于55，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是（ ） ai8 bi9 ci10 di116从数字1、2、3、4、5、6中随机取出3个不同的数字构成一个三位数，则这个三位数能被3整除的概率为（ ） a b c d7等差数列的前n项和为，若当首项和公差变化时，是一个定值，则下列选项中为定值的是（ ）a b c d8在数列中，记为的前项和，则（ ）a.1008 b1007 c1006 d10059有四个关于三角函数的命题:,; :;:,; :.其中真命题的个数是（ ）a4个 b3个 c2个d1个10某几何体的三视图如图2所示，则这个几何体外接球的表面积为（ ） a20b40c50 d.6011已知函数有且仅有一个零点,若，则的取值范围是（ ）a. b c. d 12已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则( ) a5 b4 c3 d2 第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22-24题为选考题，考生根据要求作答。2、 填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分)13在平面直角坐标系中，o为坐标原点，a(1，2),b(7，5),c在线段ab上，且满足，则的长等于_14过点p（2，3）作圆的切线，切点分别为，则直线的方程为_ 15设满足约束条件 ,则的取值范围是_ _16在的展开式中，的系数是_三、解答题（本大题共6个小题, 共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）17（本小题满分12分）已知分别为三个内角的对边，且满足（）求；（）若的面积为，求的取值范围18（本小题满分12分）某售报亭每天以每份0.5元的价格从报社购进某日报，然后以每份1元的价格出售，如果当天卖不完，剩余报纸以每份0.1元的价格退回报社.售报亭记录近100天的日需求量,绘出频率分布直方图如图所示若售报亭一天进货数为400份，以（单位：份，）表示该报纸的日需求量,(单位:元)表示该报纸的日利润（）将表示为的函数；（）在直方图的日需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值, 日需求量落入该区间的频率作为日需求量取该区间中点值的概率，求利润的分布列和数学期望19（本小题满分12分）如图3，在三棱柱中，底面为正三角形，且，,点在下底面的射影是的中心o（）求证：；（）求二面角的平面角的余弦值 20（本小题满分12分）已知的坐标分别为，.直线相交于点，且它们的斜率之积为 （）求点的轨迹方程；（）设的坐标为,直线与直线交于点，当直线绕点转动时，试判断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明21（本小题满分12分）已知为实数，函数 （）当时，讨论函数的单调性； （）若，求证：请考生从第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。作答时请用2b铅笔将所选题号后的方框涂黑，并在括号内写上该题号。22（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图4，圆o的直径ab8，圆周上过点c的切线与ba的延长线交于点e，过点b作ac的平行线交ec的延长线于点p（）求证：； （）若ec，求pb的长23（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中, 直线经过点p(2,1),且倾斜角为45,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线的极坐标方程是,直线与曲线在第一、四象限分别交于a、b两点（）写出直线的参数方程,曲线的普通方程；（）求的值24（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数（）解不等式；（）若存在实数，使得，求实数的取值范围2015-2016学年第一学期高三调研测试（二）理科数学参考答案与评分标准说明：1参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)题号123456789101112答案dcdacbcaacbb3、 填空题(本大概题共4小题，每小题5分,共20分)13. 14 15. 16. 51三、解答题（本大题共6个小题, 共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）17解：由正弦定理得， 1分 在中， 3分 ， 4分 又， 5分又 6分 ， 8分 由余弦定理得， 10分 当且仅当时，“”成立， 为所求 12分18解：（）当时， 1分， 3分 当时， 4分， 5分 6分（）依题意，日需求量可能值为200，300，400，500； 7分 对应的分别为：20， 110，200，200； 8分 对应的分别为：0.20, 0.35, 0.30，0.15. 9分故利润的分布列为：201102000.200.350.45 10分（元） 12分19. 证明：（1）点在下底面上的射影是, 面， 又面，, 1分为正的中心，连接，有, 2分又面,面,且,面, 3分面， 4分（2）为正的中心，,在中，又, 5分如图，以直线为轴，以直线为轴，以过点垂直底面的直线为轴建立空间直角坐标系，6分则, 7分 则, 8分设平面的法向量为 ，解得 9分 设平面的法向量为 解得 10分， 11分故所求二面角的平面角的余弦值为. 12分解法2：为正的中心，,在中，又, 5分如图，以直线为轴，以过点平行的直线为轴，以直线为轴建立空间直角坐标系，6分则, 7分 则 , 8分设平面的法向量为 ，解得 9分 设平面的法向量为 解得 10分所以， 11分故所求二面角的平面角的余弦值为. 12分解法3：点在下底面的射影是正的中心o, , 5分过点作的垂线，垂足为，连接, 6分在中，由得, 7分, 8分所以为二面角的平面角， 9分在中，又, 10分在等腰中，. 12分20. （）点的坐标为, , 1分由题意可知, 2分 化简得点的轨迹方程为，. .4分（）以为直径的圆与直线相切 证明如下：由题意可设直线的方程为.则点坐标为，中点的坐标为由得 5分设点的坐标为，则 6分所以， 7分 因为点坐标为，当时，点的坐标为，点的坐标为 .8分直线轴，此时以为直径的圆与直线相切当时，则直线的斜率.所以直线的方程为 9分点到直线的距离 10分 11分又因为 ，所以，故以为直径的圆与直线相切 综上得，当直线绕点转动时，以为直径的圆与直线相切 12分21解： （1），. 1分 当时，则在上单调递减， 2分 当时，则在上单调递减 3分当时，则时，；时， 在上单调递减，在上单调递增. 5分综上所述，当时，在上单调递减;当时， 在上单调递减;,当时，在上单调递减，在上单调递增. 6分（2）证明：当时，在上单调递减, 8分 时，, 即. 10分 , . . 11分 ,. 12分（不等式等价转化2分，证明构造的函数恒成立4分）22.解：（1）证明: 1分 2分 3分 ， 4分 (2)ec为圆o的切线，ec2，ab8， 5分 ec2eaebea(eaab)，ea2 6分 ecaabc，acecbe， 7分 ab为圆o的直径，acb90，ac2bc2ab2 ac， 9分