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第四章、数值计算 -matlab语言及应用-第四章 内容提要 1、矩阵的相关计算 2、线性方程组的解 3、多项式和卷积 4、拟合与插值 5、matlab的泛函指令 6、符号计算 -matlab语言及应用-第四章 4.1矩阵的相关计算 Matlab的相关指令： det(A) inv(A) rank(A) d=eig(A) V,D=eig(A) 求矩阵A的行列式 求矩阵A的逆 求矩阵的秩 计算A的特征值，以向量形式存放（d） 计算A的特征向量阵V和特征值对角阵D 例题开讲 计算A的逆矩阵、特征值及特征向量？ det(A) inv(A) rank(A) d=eig(A) V,D=eig(A) 4.2 线性方程组的解 关于线性方程组的解法一般可以分为两类 ： （2）迭代法：是用某种极限过程去逐渐逼近方程 组精确解的方法，适用于解大型稀疏矩阵方 程组。 （1）直接法：通过矩阵的变形、消去直接得到方 程的解，适用于解低阶稠密矩阵（阶数大约 150）方程组。 1、利用左除运算符的直接解法 2、利用矩阵求逆的方法求解线性方程组 1、jacobi迭代法 2、Gauss-Serdel迭代法 3、超松弛迭代法 4、两步迭代法 4.2 线性方程组的解 在matlab中，线性方程组的直接求解方法：矩阵除法 例：求解下列方程组。 在matlab命令窗中的指令是： a=0.4096 0.2943;0.1784 0.3927; b=0.4043 0.1550 0.4240 -0.2557; X=ab -matlab语言及应用-第四章 求解下列线性方程组：（矩阵求逆法） 在matlab命令窗中的指令是： a=0.4096 0.2943;0.1784 0.3927; b=0.4043 0.1550 0.4240 -0.2557; X=inv(a)*b 4.3 多项式计算 1、多项式的表示： MATALB中，用一个向量来表示多项式。这个 向量中按照降幂的顺序排列多项式的各项系数。 在MATLAB中为：p=1,0,-2,5; 说明：如果多项式 中缺某幂次项，则认 为该项的系数为零。 4.3多项式计算 2、多项式的四则运算： 1、Matlab没有提供专门的多项是加减运算函数。 依靠加减运算符直接完成 2、多项式乘法运算 conv(p1,p2) 3、多项式除法运算 Q,r=deconv(p1,p2) p1=conv(p2,Q)+r 例题开讲例题开讲 -matlab语言及应用-第四章 4.3 多项式计算 3. 多项式值的计算： y=polyval(p,x); y=polyvalm(p,x); 功能：按数组运算规则计算多项式的值。 其中x可以是标量和数组。 功能：按矩阵运算规 则计算多项式的值。 其中x必须为方阵。 例题开讲 P= 2 3 1 ; X= 1 2 3 ; 3 2 1 ; 2 1 3 ; y=polyval ( P , X ) y=polyvalm ( P , X ) y=2*X.*X+3*X+ones(size(X) y=2*X*X+3*X+eye(size(X) -matlab语言及应用-第四章 4.3 多项式计算 4、多项式的根 R=roots(P) 功能：计算多 项式P的根。 P= 1 -6 -72 -27 ; R=roots（P） 4.3 多项式计算 有理多项式的部分分式展开： r,p,k=residue(b,a); 有理多项式有两种表示方法： b,a=residue(r,p,k); 4.3 多项式计算 6. 多项式求导 q=polyder(p); 具体用法: (1)q=polyder(p)可以得到多项式p的导数。 (2) q=polyder(a,b)可以求出多项式a,b之积的导数。 (3)p,q=polyder(b,a)可以求出多项式之比b(s)/a(s)的导数。 1、矩阵的相关计算 2、线性方程组的求解 3、多项式和卷积 Matlab的相关指令： det(A) inv(A) rank(A) d=eig(A) V,D=eig(A) 1、利用左除运算符的直接解法 2、利用矩阵求逆的方法求解线性方程组 Matlab的相关指令： conv(p1,p2) q,r=deconv(p1,p2) y=polyval(p,x) y=polyvalm(p,x) roots(p) r,p,k=residue(b,a) b,a=residue(r,p,k) q=polyder(p) q=polyder(a,b) p,q=polyder(b,a) review 4.3 多项式计算 7. 多项式曲线拟合 p=polyfit(x,y,n); 4.4 拟合与插值 在matlab中实现最小二乘法拟合通常可以采用如下两种途径： （1）利用polyfit函数进行多项式拟合。 （2）利用矩阵除法解决复杂型函数的拟合。 4.4 拟合与插值 p=polyfit(x,y,n ); %给定数据对 x0=0:0.1:1; y0=-.44,1.97,3.11,5.25,5.02,4.66,4.01,4.58,3.45,5.35,9.22; %求拟合多项式系数 n=3; P=polyfit(x0,y0,n) %图示拟合情况 xx=0:0.01:1; yy=polyval(P,xx); plot(xx,yy,-b,x0,y0,.r,MarkerSize,20),xlabel(x) 拟合：寻找一条“平滑”曲线来最好的表现带噪声的“测量数据”。 但并不要求拟合曲线穿过这些“测量数据”点。 4.4 拟合与插值 插值： 是在认定所给“基准数据”完全正确的情况下，研 究如何“平滑”的估算出“基准数据”之间其它点的 函 数值。因此，插值所得曲线一定穿过“基准数据” 。 %给定数据对 x0=0:0.1:1; y0=-.44,1.97,3.11,5.25,5.02,4.66,4.01,4.58,3.45,5.35,9.22; %采用三次多项式进行插值 xi=0:0.02:1; yi=interp1(x0,y0,xi,cubic); %绘图 plot(xi,yi,-b,x0,y0,.r,MarkerSize,20),xlabel(x) 4.4 拟合与插值 其中:(1) x,y是测量数据对； (2) xs是需要内插的点所构成的向量。 (3) method是指所使用的内插方法。 ys=interp1(x,y,xs,method); 说明：interp1仅是 插值指令的一种， 还有interp2 、 interp3等。 插值算法： nearest，linear，spline，cubic 4.4 拟合与插值 1）最邻近插值方法（nearest） 插值点的值与其最邻近的点的函数值相等。 * * * * 4.4 拟合与插值 2）线性插值方法（ linear ） 插值点的值在前，后两个数据点所构 成的直线上。 * * * * * 4.4 拟合与插值 3）三次样条插值方法(spline) 利用一系列样条函数获得内插数据点， 从而确定已有数据点之间的函数。 4）三次曲线内插方法（cubic） 构造三次曲线函数来拟合已知数据x、y，从 而确定内插点的值。 4.4 拟合与插值 说明: 1、四种插值方法中，x中的数据是单调但不一定距均匀的。 2、若已知x为均匀的，则在method前加*，可使执行速度加快。 3、按nearest linear cubic spline的顺序，对内存要求 从小到大，执行速度由快到慢，平滑度由差到好。 给出概率积分 的数据如下表所示： x 0.460.470.480.49 f(x) 0.48465550.49375420.50274980.5116683 x=0.46:0.01:0.49; f=0.4846555 0.4937542 0.5027498 0.5116683; format long interp1(x,f,0.472) interp1(x,f,0.472,nearest) interp1(x,f,0.472,spline) interp1(x,f,0.472,cubic) format short 4.5 matlab的泛函指令 主要内容： 1、数值积分 2、解微分方程 在matlab中，凡是以“函数”为输入宗量的指令 ，都被统称为matlab的泛函指令。 q=quad(fun,a,b) q=quadl(fun,a,b) t,y=ode45(fun ,tspan,y0) 被处理“函数”fun可以有三种形式： （1）字符串表达式 （2）内联函数 （3）“M函数文件”的函数句柄 4.5.1 数值积分 例：求以下的定积分。其精确值为0.7468204 %（1）使用字符串表示被处理函数 fun=exp(-x.*x); %（2）调用积分指令求积分值 E1 = quad (fun,0,1) E2 = quadl (fun,0,1) 区别：求数值积分是采取不同的方法 4.5.2 常微分方程求解 例：求下列微分方程在初始条件x(0)=1,dx(0)/dt=0 下的解。 （1）将高阶微分方程改写成一阶微分方程 令y1=x,y2=dx/dt, 于是二阶微分方程可以改写成如下的一阶微分方程组 设u=2 %(2)根据一阶微分方程组编写M函数文件 dydt.m function ydot=dydt(t,y) mu=2; ydot=y(2);mu*(1-y(1)2)*y(2)-y(1); %(3)结算微分方程 tspan=0,30; y0=1;0; tt,yy=ode45(dydt,tspan,y0) tt,yy=ode45(dydt,tspan,y0) 例题开讲 例：微分方程组 当t=0时， x1(0)=1,x2(0)=-0.5,求微分方程在t0，25上的解。 function dx=equationy(t,x) dx=-x(1)+0.5;x(1)-4*x(2); x0=1;-0.5; tspan=0,25; T,X=ode45(equationy,tspan,x0) -matlab语言及应用-第四章 4.6 符号计算 1、符号对象和符号表达式 2、符号微积分 4.6 符号计算 4.6.1、符号表达式的生成 规定： （1）在定义符号运算时，首先要定义基本的符号对象，然后 用这些基本符号对象去构成新的表达式，进而从事所需 的符号运算。 （2）在运算中，凡是包含符号对象的表达式所生成的衍生对 象也都是符号对象。 生成方式： 指令 sym、syms 4.6 符号计算 符号对象的建立： 符号变量名=sym(符号字符串) syms argv1 argv2 argvk 常量、变量、函数 或表达式 例题开讲 例一： a=sym(a); b=sym(b); c=sym(c); x=5; y=-8; z=11; w=a*a+b*b+c*c w=x*x+y*y+z*z例二： syms x h; y=sym(h*2*sin(x)*cos(x) y=simple(y) 按规则把已有的y符号表达式化为最简形式 例二： pi1=sym(pi); k1=sym(8); k2=sym(3); pi2=pi; r1=8; r2=3; sin(pi1/3) sin(pi2/3) sqrt(k1+sqrt(k2) sqrt(r1+sqrt(r2) 例题开讲 例题开讲 例：求以下矩阵的行列式值、逆和特征根。 syms a11 a12 a21 a22; A=a11,a12;a21,a22 DA=det(A) IA=inv(A) EA=eig(A) 4.6 符号计算 建立符号表达式： 1）利用单引号生成 2）用sym函数建立符号表达式 3）使用已经定义的符号变量组成符号表达式 y=1/sqrt(2*x) U=sym(3*x2-5*y+2*x*y+6) syms x y; V=3*x2-5*y+2*x*y+6 4.6 符号计算 4.6.2 符号极限 limit ( F , x , a ) limit (F) 计算符号表达式F在x a条件下的极限值 计算a=0时的极限 syms x a t h ; limit ( sin(x) / x ) limit( (1+2*t/x)(3*x) , x , inf ) 4.6 符号计算 4.6.3 符号积分 intf=int(f,v) intf=int(f,v,a,b) 给出f对指定变量v的不定积分 给出f对指定变量v的定积分 说明：当f是矩阵时，积分将对矩阵中的元素逐个进行。 例：求 syms a b x; f=a*x,b*x2;1/x,sin(x); int(f) %pretty(int(f) 4.6 符号计算 4.6.4 符号微分 f=diff(f,v,n)求 syms a t x; f=a,t3;t*cos(x), log(x); df=diff(f)%求矩阵f对x的导数 dfdt2=diff(f,t,2)%求矩阵f对t的二阶导数 dfdxdt=diff(diff(f,x),t) %求二阶混合导数 例： 4.5.1 求函数的零点 例：求以下函数的零点。 z,f-z,exitflag=fzero(fun ,x0 ,option,p1,p2) 零点初始 猜测值 向函数fun传 递的参数 P1=0.1; P2=0.5; y_C=sin(x).2.*exp(-P1*x)-