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高中数学解析几何压轴题1 选择题1已知倾斜角0的直线l过椭圆（ab0）的右焦点交椭圆于A、B两点，P为右准线上任意一点，则APB为（） A钝角B直角C锐角D都有可能2已知双曲线（a0，b0）的右焦点为F，右准线为l，一直线交双曲线于PQ两点，交l于R点则（）APFRQFR B PFR=QFR CPFRQFR DPFR与AFR的大小不确定3设椭圆的一个焦点为F，点P在y轴上，直线PF交椭圆于M、N，则实数1+2=（）ABCD4中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l与双曲线C1交于A，B两点，线段AB中点M在一象限且在抛物线y2=2px（p0）上，且M到抛物线焦点的距离为p，则l的斜率为（）ABe21CDe2+15已知P为椭圆上的一点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A5 B7 C13 D156过双曲线=0（b0，a0）的左焦点F（c，0）（c0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（）ABCD7设椭圆的左焦点为F，在x轴上F的右侧有一点A，以FA为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于M、N两点，则的值为（）ABCD8已知定点A（1，0）和定直线l：x=1，在l上有两动点E，F且满足，另有动点P，满足（O为坐标原点），且动点P的轨迹方程为（）Ay2=4xBy2=4x（x0）Cy2=4xDy2=4x（x0）9已知抛物线过点A（1，0），B（1，0），且以圆x2+y2=4的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程（）A+=1（y0）B+=1（y0）C=1（y0）D=1（y0）10如图，已知半圆的直径|AB|=20，l为半圆外一直线，且与BA的延长线交于点T，|AT|=4，半圆上相异两点M、N与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件，则|AM|+|AN|的值为（）A22B20C18D1611椭圆与双曲线有公共的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cosF1PF2=（）ABCD12曲线（|x|2）与直线y=k（x2）+4有两个交点时，实数k的取值范围是（）AB（，+）CD13设抛物线y2=12x的焦点为F，经过点P（1，0）的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则|AF|+|BF|=（）ABC8D14已知双曲线上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax2上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且，则m的值为（）ABCD15已知双曲线上存在两点M，N关于直线y=x+m对称，且MN的中点在抛物线y2=9x上，则实数m的值为（）A4B4C0或4D0或41已知倾斜角0的直线l过椭圆（ab0）的右焦点交椭圆于A、B两点，P为右准线上任意一点，则APB为（） A钝角B直角C锐角D都有可能考点：直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题：压轴题分析：根据题设条件推导出以AB为直径的圆与右准线相离由此可知APB为锐角解答：解：如图，设M为AB的中点，过点M作MM1垂直于准线于点M1，分别过A、B作AA1、BB1垂直于准线于A1、B1两点则以AB为直径的圆与右准线相离APB为锐角点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时作出图形，数形结合，往往能收到事半功倍之效果2已知双曲线（a0，b0）的右焦点为F，右准线为l，一直线交双曲线于PQ两点，交l于R点则（）APFRQFRBPFR=QFRCPFRQFRDPFR与AFR的大小不确定考点：直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：设Q、P到l 的距离分别为d1，d2，垂足分别为 M，N，则PNMQ，=，又由双曲线第二定义可知，由此能够推导出RF是PFQ的角平分线，所以PFR=QFR解答：解：设Q、P到l 的距离分别为d1，d2，垂足分别为 M，N，则PNMQ，=，又由双曲线第二定义可知，RF是PFQ的角平分线，PFR=QFR故选B点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时利用双曲线第二定义综合平面几何知识求解3设椭圆的一个焦点为F，点P在y轴上，直线PF交椭圆于M、N，则实数1+2=（）ABCD考点：直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题：综合题；压轴题分析：设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（xc）将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（b2+a2k2）x22a2ck2x+a2c2k2a2b2=0然后利用向量关系及根与系数的关系，可求得1+2的值解答：解：设M，N，P点的坐标分别为M（x1，y1），N（x2，y2），P（0，y0），又不妨设F点的坐标为（c，0）显然直线l存在斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（xc）将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（b2+a2k2）x22a2ck2x+a2c2k2a2b2=0，又，将各点坐标代入得 ，=故选C点评：本题以向量为载体，考查直线与椭圆的位置关系，是椭圆性质的综合应用题，解题时要注意公式的合理选取和灵活运用4中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l与双曲线C1交于A，B两点，线段AB中点M在一象限且在抛物线y2=2px（p0）上，且M到抛物线焦点的距离为p，则l的斜率为（）ABe21CDe2+1考点：圆锥曲线的综合菁优网版权所有专题：综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用抛物线的定义，确定M的坐标，利用点差法将线段AB中点M的坐标代入，即可求得结论解答：解：M在抛物线y2=2px（p0）上，且M到抛物线焦点的距离为p，M的横坐标为，M（，p）设双曲线方程为（a0，b0），A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式相减，并将线段AB中点M的坐标代入，可得故选A点评：本题考查双曲线与抛物线的综合，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题5已知P为椭圆上的一点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A5B7C13D15考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：由题意可得：椭圆的焦点分别是两圆（x+3）2+y2=1和（x3）2+y2=4的圆心，再结合椭圆的定义与圆的有关性质可得答案解答：解：依题意可得，椭圆的焦点分别是两圆（x+3）2+y2=1和（x3）2+y2=4的圆心，所以根据椭圆的定义可得：（|PM|+|PN|）min=2512=7，故选B点评：本题考查圆的性质及其应用，以及椭圆的定义，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用6过双曲线=0（b0，a0）的左焦点F（c，0）（c0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（）ABCD考点：圆与圆锥曲线的综合菁优网版权所有专题：综合题；压轴题分析：由=（+），知E为PF的中点，令右焦点为F，则O为FF的中点，则PF=2OE=a，能推导出在RtPFF中，PF2+PF2=FF2，由此能求出离心率解答：解：若=（+），E为PF的中点，令右焦点为F，则O为FF的中点，则PF=2OE=a，E为切点，OEPFPFPFPFPF=2aPF=PF+2a=3a在RtPFF中，PF2+PF2=FF2即9a2+a2=4c2离心率e=故选：A点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件7设椭圆的左焦点为F，在x轴上F的右侧有一点A，以FA为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于M、N两点，则的值为（）ABCD考点：圆与圆锥曲线的综合菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：若以FA为直径的圆与椭圆大x轴上方的部分交于短轴端点，则M、N重合（设为M），此时A为椭圆的右焦点，由此可知=，从而能够得到结果解答：解：若以FA为直径的圆与椭圆大x轴上方的部分交于短轴端点，则M、N重合（设为M），此时A为椭圆的右焦点，则=故选A点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意合理地选取特殊点8已知定点A（1，0）和定直线l：x=1，在l上有两动点E，F且满足，另有动点P，满足（O为坐标原点），且动点P的轨迹方程为（）Ay2=4xBy2=4x（x0）Cy2=4xDy2=4x（x0）考点：圆锥曲线的轨迹问题菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：设P（x，y），欲动点P的轨迹方程，即寻找x，y之间 的关系式，利用向量间的关系求出向量、的坐标后垂直条件即得动点P的轨迹方程解答：解：设P（x，y），E（1，y1），F（1，y2）（y1，y2均不为零）由y1=y，即E（1，y）由由y2=4x（x0）故选B点评：本题主要考查了轨迹方程的问题本题解题的关键是利用了向量平行和垂直的坐标运算求得轨迹方程9已知抛物线过点A（1，0），B（1，0），且以圆x2+y2=4的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程（）A+=1（y0）B+=1（y0）C=1（y0）D=1（y0）考点：圆锥曲线的轨迹问题菁优网版权所有专题：综合题；压轴题分析：设出切线方程，表示出圆心到切线的距离求得a和b的关系，再设出焦点坐标，根据抛物线的定义求得点A，B到准线的距离等于其到焦点的距离，然后两式平方后分别相加和相减，联立后，即可求得x和y的关系式解答：解：设切线ax+by1=0，则圆心到切线距离等于半径=2，a2+b2=设抛物线焦点为（x，y），根据抛物线定义可得平方相加得：x2+1+y2=4（a2+1）平方相减得：x=4a，把代入可得：x2+1+y2=4（+1）即：焦点不能与A，B共线y0抛物线的焦点轨迹方程为故选B点评：本题以圆为载体，考查抛物线的定义，考查轨迹方程，解题时利用圆的切线性质，抛物线的定义是关键10如图，已知半圆的直径|AB|=20，l为半圆外一直线，且与BA的延长线交于点T，|AT|=4，半圆上相异两点M、N与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件，则|AM|+|AN|的值为（）A22B20C18D16考点：圆与圆锥曲线的综合；抛物线的定义菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：先以AT的中点O为坐标原点，AT的中垂线为y轴，可得半圆方程为（x12）2+y2=100，根据条件得出M，N在以A为焦点，PT为准线的抛物线上，联立半圆方程和抛物线方程结合根与系数的关系，利用抛物线的定义即可求得答案解答：解：以AT的中点O为坐标原点，AT的中垂线为y轴，可得半圆方程为（x12）2+y2=100 又，设M（x1，y1），N（x2，y2），M，N在以A为焦点，PT为准线的抛物线上；以AT的垂直平分线为y轴，TA方向为x轴建立坐标系，则有抛物线方程为y2=8x（y0），联立半圆方程和抛物线方程，消去y得：x216x+44=0x1+x2=16，|AM|+|AN|=|MP|+|NQ|=x1+x2+4=20故选B点评：本小题主要考查抛物线的定义、圆的方程、圆与圆锥曲线的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题11椭圆与双曲线有公共的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cosF1PF2=（）ABCD考点：圆锥曲线的共同特征菁优网版权所有专题：综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用双曲线、椭圆的定义，建立方程，求出|PF1|=，|PF2|=，再利用余弦定理，即可求得结论解答：解：不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|PF2|=2 由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2 由可得|PF1|=，|PF2|=|F1F2|=4cosF1PF2=故选A点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，利用双曲线、椭圆的定义，建立方程是关键12曲线（|x|2）与直线y=k（x2）+4有两个交点时，实数k的取值范围是（）AB（，+）CD考点：直线与圆锥曲线的关系菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：如图，求出 BC的斜率，根据圆心到切线的距离等于半径，求得切线BE的斜率k，由题意可知，kkKBC，从而得到实数k的取值范围解答：解：曲线 即 x2+（y1）2=4，（y1），表示以A（0，1）为圆心，以2为半径的圆位于直线 y=1 上方的部分（包含圆与直线y=1 的交点C和 D），是一个半圆，如图：直线y=k（x2）+4过定点B（2，4），设半圆的切线BE的切点为E，则 BC的斜率为 KBC=设切线BE的斜率为k，k0，则切线BE的方程为 y4=k（x2），根据圆心A到线BE距离等于半径得 2=，k=，由题意可得 kkKBC，k，故选 A点评：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，倾斜角和斜率的关系，体现了数形结合的数学思想，判断 kkKBC，是解题的关键13设抛物线y2=12x的焦点为F，经过点P（1，0）的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则|AF|+|BF|=（）ABC8D考点：直线与圆锥曲线的关系菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：根据向量关系，用坐标进行表示，求出点A，B的坐标，再利用抛物线的定义，可求|AF|+|BF|解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（1，0）=（1x2，y2），=（x11，y1），2（1x2，y2）=（x11，y1）将A（x1，y1），B（x2，y2）代入抛物线y2=12x，可得，又2y2=y14x2=x1又x1+2x2=3解得|AF|+|BF|=故选D点评：本题重点考查抛物线的定义，考查向量知识的运用，解题的关键是确定点A，B的横坐标14已知双曲线上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax2上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且，则m的值为（）ABCD考点：直线与圆锥曲线的关系菁优网版权所有专题：综合题；压轴题分析：y1=2x12，y2=2x22，A点坐标是（x1，2x12），B点坐标是（x2，2x22） A，B的中点坐标是（，） 因为A，B关于直线y=x+m对称，所以A，B的中点在直线上，且AB与直线垂直 =+m，由此能求得m解答：解：y1=2x12，y2=2x22，A点坐标是（x1，2x12），B点坐标是（x2，2x22），A，B的中点坐标是（，），因为A，B关于直线y=x+m对称，所以A，B的中点在直线上，且AB与直线垂直 =+m，x12+x22+m，x2+x1=，因为，所以xx12+x22=（x1+x2）22x1x2=，代入得 ，求得m=故选B点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化15已知双曲线上存在两点M，N关于直线y=x+m对称，且MN的中点在抛物线y2=9x上，则实数m的值为（）A4B4C0或4D0或4考点：直线与圆锥曲线的关系菁优网版权所有专题：综合题；压轴题分析：根据双曲线上存在两点M，N关于直线y=x+m对称，求出MN中点P（，m），利用MN的中点在抛物线y2=9x上，即可求得实数m的值解答：解：MN关于y=x+m对称MN垂直直线y=x+m，MN的斜率1，MN中点P（x0，x0+m）在y=x+m上，且在MN上设直线MN：y=x+b，P在MN上，x0+m=x0+b，b=2x0+m 由消元可得：2x2+2bxb23=0 Mx+Nx=b，x0=，b=MN中点P（，m）MN的中点在抛物线y2=9x上，m=0或4故选D点评：本题考查直线与双曲线的位置关系，考查对称性，考查抛物线的标准方程，解题的关键是确定MN中点P的坐标二解答题（共15小题）16已知椭圆C：，F1，F2是其左右焦点，离心率为，且经过点（3，1）（1）求椭圆C的标准方程；（2）若A1，A2分别是椭圆长轴的左右端点，Q为椭圆上动点，设直线A1Q斜率为k，且，求直线A2Q斜率的取值范围；（3）若Q为椭圆上动点，求cosF1QF2的最小值考点：椭圆的简单性质；椭圆的应用菁优网版权所有专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）根据椭圆的离心率为，且经过点（3，1），求椭圆C的标准方程；（2）设A2Q的斜率为k，Q（x0，y0），则可得kk=，利用，即可求直线A2Q斜率的取值范围；（3）利用椭圆的定义、余弦定理，及基本不等式，即可求cosF1QF2的最小值解答：解：（1）椭圆的离心率为，且经过点（3，1），建立方程，求出几何量，即可，椭圆C的标准方程为（3分）（2）设A2Q的斜率为k，Q（x0，y0），则，（5分）kk=及（6分）则kk=又（7分），故A2Q斜率的取值范围为（） （8分）（3）设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为a，b，c，则有，由椭圆定义，有（9分）cosF1QF2=（10分）=（11分）（12分）=（13分）cosF1QF2的最小值为（当且仅当|QF1|=|QF2|时，即Q取椭圆上下顶点时，cosF1QF2取得最小值）（14分）点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查椭圆的定义，考查余弦定理，考查基本不等式的运用，综合性强17已知椭圆x2+=1的左、右两个顶点分别为A，B双曲线C的方程为x2=1设点P在第一象限且在双曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T（）设P，T两点的横坐标分别为x1，x2，证明x1x2=1；（）设TAB与POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且15，求SS的取值范围考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算菁优网版权所有专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）设直线AP的方程与椭圆方程联立，确定P、T的横坐标，即可证得结论；（）利用15，结合点P是双曲线在第一象限内的一点，可得1x12，利用三角形的面积公式求面积，从而可得SS的不等式，利用换元法，再利用导数法，即可求SS的取值范围解答：（）证明：设点P（x1，y1）、T（x2，y2）（xi0，yi0，i=1，2），直线AP的斜率为k（k0），则直线AP的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，消去y，整理，得（4+k2）x2+2k2x+k24=0，解得x=1或x=，故x2=同理可得x1=所以x1x2=1（）设点P（x1，y1）、T（x2，y2）（xi0，yi0，i=1，2），则=（1x1，y1），=（1x1，y1）因为15，所以（1x1）（1x1）+y1215，即x12+y1216因为点P在双曲线上，所以，所以x12+4x12416，即x124因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以1x12因为S1=|y2|，S2=，所以SS=由（）知，x1x2=1，即设t=，则1t4，SS=5t设f（t）=5t，则f（t）=1+=，当1t2时，f（t）0，当2t4时，f（t）0，所以函数f（t）在（1，2）上单调递增，在（2，4上单调递减因为f（2）=1，f（1）=f（4）=0，所以当t=4，即x1=2时，SS的最小值为f（4）=0，当t=2，即x1=时，SS的最大值为f（2）=1所以SS的取值范围为0，1点评：本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力18设椭圆D：=1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足，且ABAF2（）若过A、B、F2三点的圆C恰好与直线l：xy3=0相切，求圆C方程及椭圆D的方程；（）若过点T（3，0）的直线与椭圆D相交于两点M、N，设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），求实数t取值范围考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用菁优网版权所有专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）利用，可得F1为BF2的中点，根据ABAF2，可得a，c的关系，利用过A、B、F2三点的圆C恰好与直线l：相切，求出a，即可求出椭圆的方程与圆的方程；（）设直线MN方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量知识，即可求实数t取值范围解答：解：（）由题意知F1（c，0），F2（c，0），A（0，b）因为ABAF2，所以在RtABF2中，又因为，所以F1为BF2的中点，所以又a2=b2+c2，所以a=2c所以F2（，0），B（，0），RtABF2的外接圆圆心为F1（，0），半径r=a，因为过A、B、F2三点的圆C恰好与直线l：相切，所以=a，解得a=2，所以c=1，b=所以椭圆的标准方程为：，圆的方程为（x+1）2+y2=1；（）设直线MN方程为y=k（x3），M（x1，y1），N（x2，y2），P（x，y），则直线方程代入椭圆方程，消去y可得（4k2+3）x224k2x+36k212=0，=（24k2）4（4k2+3）（36k212）0，k2，x1+x2=，x1x2=，x1+x2=tx，y1+y2=ty，tx=，ty=，x=，y=，代入椭圆方程可得32+42=12，整理得=k2，0t24，实数t取值范围是（2，0）（0，2）点评：本题考查椭圆方程与圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查直线与椭圆的位置关系，难度大19已知F1、F2为椭圆C：的左，右焦点，M为椭圆上的动点，且的最大值为1，最小值为2（1）求椭圆C的方程；（2）过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点试判断MAN是否为直角，并说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）设M（x，y），化简=x2+2b2a2（axa），从而求最值，进而求椭圆方程；（2）设直线MN的方程为x=ky6并与椭圆联立，利用韦达定理求的值，从而说明是直角解答：解：（1）设M（x，y），则y2=b2x2，=x2+2b2a2（axa），则当x=0时，取得最小值2b2a2=2，当x=a时，取得最大值b2=1，a2=4，故椭圆的方程为（2）设直线MN的方程为x=ky，联立方程组可得，化简得：（k2+4）y22.4ky=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，又A（2，0），=（x1+2，y1）（x2+2，y2）=（k2+1）y1y2+k（y1+y2）+=（k2+1）+k+=0，所以MAN为直角点评：本题考查了圆锥曲线方程的求法及直线与圆锥曲线的位置关系应用，同时考查了向量的应用，属于难题20如图，P是抛物线y2=2x上的动点，点B，C在y轴上，圆（x1）2+y2=1内切于PBC，求PBC面积的最小值考点：圆与圆锥曲线的综合菁优网版权所有专题：综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设P（x0，y0），B（0，b），C（0，c），设bc直线PB：yb=，化简，得（y0b）xx0y+x0b=0，由圆心（1，0）到直线PB的距离是1，知，由此导出（x02）b2+2y0bx0=0，同理，（x02）c2+2y0cx0=0，所以（bc）2=，从而得到SPBC=，由此能求出PBC面积的最小值解答：解：设P（x0，y0），B（0，b），C（0，c），设bc直线PB的方程：yb=，化简，得（y0b）xx0y+x0b=0，圆心（1，0）到直线PB的距离是1，（y0b）2+x02=（y0b）2+2x0b（y0b）+x02b2，x02，上式化简后，得（x02）b2+2y0bx0=0，同理，（x02）c2+2y0cx0=0，b+c=，bc=，（bc）2=，P（x0，y0）是抛物线上的一点，（bc）2=，bc=，SPBC=（x02）+42+4=8当且仅当时，取等号此时x0=4，y0=PBC面积的最小值为8点评：本昰考查三角形面积的最小值的求法，具体涉及到抛物线的性质、抛物线和直线的位置关系、圆的简单性质、均值定理等基本知识，综合性强，难度大，对数学思想的要求较高，解题时要注意等价转化思想的合理运用21已知直L1：2xy=0，L2：x2y=0动圆（圆心为M）被L1L2截得的弦长分别为8，16（）求圆心M的轨迹方程M；（）设直线y=kx+10与方程M的曲线相交于A，B两点如果抛物y2=2x上存在点N使得|NA|=|NB|成立，求k的取值范围考点：圆与圆锥曲线的综合；直线与圆相交的性质菁优网版权所有专题：综合题；压轴题分析：（）设M（x，y），M到L1，L2的距离分别为d1，d2，则d12+42=d22+82所以，由此能求出圆心M的轨迹方程（）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1k2）x220kx180=0AB的中点为，AB的中垂线为，由，得由此能求出k的取值范围解答：解：（）设M（x，y），M到L1，L2的距离分别为d1，d2，则d12+42=d22+82（2分），x2y2=80，即圆心M的轨迹方程M：x2y2=80 （4分）（）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1k2）x220kx180=0 AB的中点为，（6分）AB的中垂线为，即，（7分）由，得 （8分）存在N使得|NA|=|NB|成立的条件是：有相异二解，并且有解 （9分）有相异二解的条件为，且k1（10分）有解的条件是，（11分）根据导数知识易得时，k3k+400，因此，由可得N点存在的条件是：1或1k （12分）点评：本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想22已知直线l1：axby+k=0；l2：kxy1=0，其中a是常数，a0（1）求直线l1和l2交点的轨迹，说明轨迹是什么曲线，若是二次曲线，试求出焦点坐标和离心率（2）当a0，y1时，轨迹上的点P（x，y）到点A（0，b）距离的最小值是否存在？若存在，求出这个最小值考点：圆锥曲线的轨迹问题菁优网版权所有专题：综合题；压轴题；分类讨论；转化思想分析：（1）联立直线l1和l2的方程，消去参数即可得到交点的轨迹方程，根据a的取值a0，1a0，a=1，a1说明轨迹曲线，利用二次曲线判断形状，直接求出焦点坐标和离心率（2）通过a0，y1时，说明轨迹的图形，求出轨迹上的点P（x，y）到点A（0，b）距离的表达式，通过配方讨论b与的大小，求出|PA|的最小值解答：解：（1）由消去k，得y2ax2=1当a0时，轨迹是双曲线，焦点为，离心率；当1a0时，轨迹是椭圆，焦点为，离心率；当a=1时，轨迹是圆，圆心为（0，0），半径为1；当a1时，轨迹是椭圆，焦点为，离心率（2）当a0时，y1时，轨迹是双曲线y2ax2=1的上半支|PA|2=x2+（yb）2=当b时，|PA|的最小值为；当 b时，|PA|的最小值为|1b|点评：本题考查知识点比较多，涉及参数方程，双曲线方程椭圆方程，圆的方程，两点的距离公式等等，涉及分类讨论思想二次函数的最值，是难度比较大，容易出错的题目，考试常靠题型，多以压轴题为主23如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为B；折痕与AB交于点E，以EB和EB为邻边作平行四边形EBMB若以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系（如下图）：（）求点M的轨迹方程；（）若曲线S是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，等腰梯形A1B1C1D1的三边A1B1，B1C1，C1D1分别与曲线S切于点P，Q，R求梯形A1B1C1D1面积的最小值考点：圆锥曲线的轨迹问题；向量在几何中的应用菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：（1）设出M的坐标，根据两点关于直线对称时两点连线与对称轴垂直，且两点的中点在对称轴上，再根据平行四边形的对角线对应的向量等于两邻边对应向量的和得到点M的轨迹方程；（2）利用函数在切点处的导数值为曲线的切线斜率，求出腰A1B1的方程，分别令y=0和y=1求出与两底的交点横坐标，利用梯形的面积公式表示出梯形A1B1C1D1面积，利用基本不等式求出其最小值解答：解：（1）如图，设M（x，y），B（x0，2），又E（0，b）显然直线l的斜率存在，故不妨设直线l的方程为y=kx+b，则而BB的中点在直线l上，故，由于代入即得，又0x02点M的轨迹方程（0x2）（6分）（2）易知曲线S的方程为（2x2）设梯形A1B1C1D1的面积为s，点P的坐标为由题意得，点Q的坐标为（0，1），直线B1C1的方程为y=1对于有直线A1B1的方程为，即：令y=0得，令y=1得，所以当且仅当，即时，取“=”且，时，s有最小值为梯形A1B1C1D1的面积的最小值为（15分）点评：本题考查两点关于一条直线对称的充要条件；向量运算的几何意义；曲线在切点处的导数值为曲线的切线斜率；利用基本不等式求函数的最值属于一道难题24（1）已知一个圆锥母线长为4，母线与高成45角，求圆锥的底面周长（2）已知直线l与平面成，平面外的点A在直线l上，点B在平面上，且AB与直线l成，若=60，=45，求点B的轨迹；若任意给定和，研究点B的轨迹，写出你的结论，并说明理由考点：圆锥曲线的轨迹问题；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）菁优网版权所有专题：综合题；压轴题分析：（1）由圆锥的母线长为4，母线与高成45角，知高和底面半径与母线构成一个等腰直角三角形，由勾股定理可知底面半径为2，由圆周公式2R可算出底面周长（2）设l=C，点A在平面上的射影为点O建立空间直角坐标系，设|AC|=a，有A（0，0，asin60），C（0，acos60）设B（x，y，0），则=（0，acos60，asin60）=（x，y，asin60）所以又由|cos45，知acos60y+a2sin60=a，平方整理得，由此知点B的轨迹设l=C，点A在平面上的射影为点O如图建立空间直角坐标系，设|AC|=a，有A（0，0，asin），C（0，acos），（0）设B（x，y，0），则（6分）=（0，acos，asin）=（x，y，asin）所以由|cos=acos知cos2x2+（cos2cos2）y2+a2ysinsin2+a2sin2（cos2sin2）=0故当=时，点B的轨迹为圆；当时，点B的轨迹为椭圆；当=时，点B的轨迹为抛物线；当时，点B的轨迹为双曲线解答：解：（1）圆锥的母线长为4，母线与高成45角，高和底面半径与母线构成一个等腰直角三角形，即高和底面半径长度一样，则由勾股定理可知底面半径为2，则由圆周公式2R可算出底面周长4； （2分）（2）设l=C，点A在平面上的射影为点O如图建立空间直角坐标系，设|AC|=a，有A（0，0，asin60），C（0，acos60）设B（x，y，0），则=（0，acos60，asin60）=（x，y，asin60）又|cos45=aacos60y+a2sin60=a （11分）平方整理得cos245x2+（cos245cos260）y2+a2ysin60sin120+a2sin260（cos245sin260）=0即，点B的轨迹椭圆； （4分）设l=C，点A在平面上的射影为点O如图建立空间直角坐标系，设|AC|=a，有A（0，0，asin），C（0，acos），（0）设B（x，y，0），则（6分）=（0，acos，asin）=（x，y，asin）又|cos=acosacosy+a2sin=a （11分）平方整理得cos2x2+（cos2cos2）y2+a2ysinsin2+a2sin2（cos2sin2）=0i当cos2cos2=0，即=时，上式为抛物线方程；ii当cos2cos20，即时，上式为椭圆方程；iii当cos2cos20，即时，上式为双曲线方程（14分）故当=时，点B的轨迹为圆；当时，点B的轨迹为椭圆；当=时，点B的轨迹为抛物线；当时，点B的轨迹为双曲线 （16分）点评：第（1）题考查圆锥的性质和应用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答第（2）题考查圆锥曲线的轨迹的求法和判断，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性综合性强，难度大，易出错25已知椭圆C的中心在原点，一个焦点，且长轴长与短轴长的比是（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；（3）求PAB面积的最大值考点：椭圆的标准方程；直线的斜率；直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）待定系数法求椭圆的方程（2）设出A、B坐标，利用一元二次方程根与系数的关系，求出A、B横坐标之差，纵坐标之差，从而求出AB斜率（3）设出AB直线方程，与椭圆方程联立，运用根与系数的关系求AB长度，计算P到AB的距离，计算PAB面积，使用基本不等式求最大值解答：解：（）设椭圆C的方程为由题意，解得a2=4，b2=2所以，椭圆C的方程为故点P（1，） （）由题意知，两直线PA，PB的斜率必存在，设PB的斜率为k，则PB的直线方程为由 得，设A（xA，yA），B（xB，yB），则，同理可得则，所以直线AB的斜率为定值（）设AB的直线方程为，由得 由，得m28此时，由椭圆的方程可得点P（1，），根据点到直线的距离公式可得P到AB的距离为，由两点间的距离公式可得 =，故 =因为m2=4使判别式大于零，所以当且仅当m=2时取等号，所以PAB面积的最大值为点评：直线与圆锥曲线的综合问题，注意应用一元二次方程根与系数的关系，式子的化简变形，是解题的难点和关键26已知点B（0，1），A，C为椭圆上的两点，ABC是以B为直角顶点的直角三角形（I）当a=4时，求线段BC的中垂线l在x轴上截距的取值范围（II）ABC能否为等腰三角形？若能，这样的三角形有几个？考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质菁优网版权所有专题：综合题；压轴题；圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（I）依题意，可知椭圆的方程为：+y2=1，设C（4cos，sin），可求得直线l的方程为y=x+，令y=0得x=cos（cos0），利用余弦cos的有界性即可求得线段BC的中垂线l在x轴上截距的取值范围；（II）当等腰直角三角形ABC的两条腰AB与BC不关于y轴对称时，设出AB的方程为y=kx+1（k0），BC的方程为y=x+1，利用直线与方程与椭圆方程联立，利用等腰直角三角形ABC中的两腰|AB|=|BC|，借助基本不等式即可求得a的取值范围；同理可求两条腰AB与BC关于y轴对称时a的取值范围解答：解：（I）a=4，椭圆的方程为：+y2=1，故B（0，1），设C（4cos，sin），则BC的中点M（2cos，），BC的斜率kBC=，线段BC的中垂线l的斜率k=，直线l的方程为：y=（x2cos），y=x+，令y=0得：x=cos（cos0）1cos1且cos0，x=cos且x0，线段BC的中垂线l在x轴上截距的取值范围为，0）（0，（II）当等腰直角三角形ABC的两条腰AB与BC不关于y轴