高考数学 数学思想的应用情形归纳 第09讲 数形结合思想情形之01-041

第09讲：数形结合思想情形之1-4【知识要点】 一、数学思想是人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识过程中被反复运用，带有普遍的指导意义.是建立数学和用数学解决问题的指导思想，而且数学思想是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一.学生只有领会了数学思想，才能有效地应用知识，形成能力.在我们解决数学问题进行数学思维时，也总是自觉或不自觉地运用数学思想方法.高中数学解题常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想等.二、数形结合，是中学数学最重要的思想方法之一.著名数学家华罗庚先生说：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数流一体，永远联系切莫分离. ”它精辟地阐述了数形结合的重要性，它不仅是一个重要的数学思想，而且是一种重要的解题方法. 因而数形结合的能力必然是历年高考的一个重点.所谓数形结合的思想方法，就是由数学问题所呈现的条件和结论，通过研究数式的几何意义，或者研究几何问题的代数意义，设法沟通数学问题在数量关系和空间形式的内在联系，使隐含条件明朗化，复杂问题简单化，抽象问题具体化，开拓题目新思路，以便最终找到解决问题的带有数形信息转换特征的数学方法.数形结合思想就是把“数”和它对应的“形”联系起来分析解答数学问题，以形助数，以数解形，数形互助，提高解题效率，优化解题.高中数学中数形结合的情形很多，常见的情形见后面的方法讲评.三、数形结合要注意三个原则：等价性原则、双向性原则、简单性原则. 四、本讲主要讲了数形结合思想情形之1-4.情形1：不等式对应数轴上的区域；情形2：表示数对应的点到数轴原点的距离；情形3：函数对应函数的图像；情形4：差之比表示点与点所在直线的斜率(差之比对应直线的斜率).【方法讲评】情形一数形不等式不等式对应数轴上的区域，集合的交集对应数轴上区域的公共部分，集合的并集对应数轴上区域的总体， 集合表示集合的范围小于集合的范围,集合表示集合的范围大于集合的范围.【例1】设实数满足，其中,命题实数满足.若是的充分不必要条件,求的取值范围. 【点评】（1）不等式对应数轴上的区域，集合的交集对应数轴上区域的公共部分，集合的并集对应数轴上区域的总体.集合表示集合A的范围小于集合B的范围,集合表示集合A的范围大于集合B的范围.（2）解答集合的关系和运算问题时，要注意“取等”问题，不能草率决定. 最好把取等的值直接代入已知观察检验.本题当=1时，显然是的充分不必要条件，因为前面可以取3，但是后面不能取3，所以不可以取等. (3)研究和解答数学问题，要培养严谨思维的习惯，在数学任何地方，你在写不等式时，都要注意“取等”问题.【反馈检测1】已知集合，集合.（1） 求集合；（2）若，求实数的取值范围.情形二数形绝对值表示对应的点到数轴原点的距离，表示对应的点和对应的点之间的距离，表示对应的点到对应的点的距离和到对应的点的距离之和, 表示对应的点到对应的点的距离和到对应的点的距离之差.【例2】已知关于的不等式：的整数解有且仅有一个值为2（1）求整数的值；（2）在（1）的条件下，解不等式：【解析】（1）由，得.【点评】由绝对值的几何意义得.【例3】已知函数.(1)求的取值范围,使为常数函数.(2)若关于的不等式解集不是空集,求实数的取值范围.【解析】(1) =则当时, 为常数函数.(2)方法一：由题得表示数轴上的动点到“-3”和“-1”的距离，观察数轴得的最小值为4.所以.方法二:如图,结合(1)知函数的最小值为4,【点评】（1）关于的不等式解集不是空集，即关于的不等式有实数解，即至少存在一个实数使得不等式成立，所以它是有解问题.即左边绝对值函数的最小值小于等于a.(2)第2问方法一利用的是数形结合的思想，利用了的几何意义.方法二利用的也是数形结合思想，利用了分段函数的图像，方法三利用了绝对值不等式.【反馈检测2】已知函数，.（1）解不等式；（2）若对任意的，都有，使得成立，求实数的取值范围.情形三数形函数函数与图像是对应的.正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）、数列等都有它们的图像.分段函数也和它的图像是对应的.【例4】函数的零点有 （ ） A4 个 B3 个 C2个 D1个yx【解析】由,可化为,画出和的图像,可得出两个函数有3个交点，所以选项正确，所以选.【点评】（1）本题主要考察零点的个数，但是直接研究函数的单调性不是很方便，所以先令,可化为,再画出和的图像分析解答.（2）对于一些初等函数正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数），我们可以直接利用函数的图像和性质画图.分段函数和它的图像也是对应的，分段函数分段画.【例5】函数 （1）当时，若函数与的图象有且只有3个不同的交点，求实数的值的取值范围；（2）讨论的单调性当时，；，故【点评】（1）直接研究函数与的图象的交点比较困难，所以本题先利用两函数图像交点的个数等价于两方程组解的个数，得到方程组，通过消元得到方程，再构造新函数利用数形结合来解答，直观又简洁，大大地提高了解题效率. (2)本题主要是典型的“以形助数”，把“数”等价地转化为“形”，再数形结合分析解答. 【反馈检测3】已知函数，其中为实数，常数.(1) 若是函数的一个极值点，求的值；(2) 当时，求函数的单调区间；(3) 当取正实数时，若存在实数，使得关于的方程有三个实数根，求的取值范围.情形四数形差之比差之比表示点与点所在直线的斜率(差之比对应直线的斜率).【例6】已知实数满足，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【点评】表示点与点所在直线的斜率(差之比对应直线的斜率)，所以必须把变成差之比的形式才能利用数形结合分析解答.所以今后大家看到分式要首先联想到斜率，但是要首先进行变形，变形成差之比的形式，再利用数形结合分析解答. 【反馈检测4】已知函数的两个极值分别为和，若和分别在区间与内，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【反馈检测5】设实数满足约束条件，则的最小值是（ ）A. B. C. 0 D. 1数学思想在高中数学教学中的应用情形归纳第01讲：数形结合思想情形之1-4参考答案【反馈检测1答案】(1) ;(2) .【反馈检测1详细解析】（1）由，得. 所以 （2） 由，得 所以或 所以的范围为. 【反馈检测2答案】（1）（2）或.【反馈检测3答案】（1）；（2）的单调增区间是，；的单调减区间是，；（3）的取值范围是.【反馈检测3详细解析】(1) 因为是函数的一个极值点，所以，即. 而当时，可验证：是函数的一个极值点.因此. (2) 当时，令得，解得，而.所以当变化时，、的变化是极小值极大值因此的单调增区间是，；的单调减区间是，； 时，当时，.因此当时，关于的方程一定总有三个实数根，结论成立.【反馈检测