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1 数列高考试题数列高考试题 选择题 1.（2009 广东） 已知等比数列 n a满足0,1,2, n an，且 2 525 2 (3) n n aan ，则当1n 时， 2123221 logloglog n aaa A. (21)nn B. 2 (1)n C. 2 n D. 2 (1)n 【解析】由 2 525 2 (3) n n aan 得 n n a 22 2，0 n a，则 n n a2， 3212 loglogaa 2 122 ) 12(31lognna n ，选 C. 2.(2009 年广东)已知等比数列 n a的公比为正数，且 3 a 9 a=2 2 5 a， 2 a=1，则 1 a= A. 2 1 B. 2 2 C. 2 D.2 【答案】B 【解析】设公比为q,由已知得 2 284 111 2a qa qa q,即 2 2q ,又因为等比数列 n a的公比为正数，所以 2q ,故 2 1 12 22 a a q ,选 B 3.（2009 福建）等差数列 n a的前 n 项和为 n S，且 3 S =6， 1 a=4， 则公差 d 等于 A1 B 5 3 C.- 2 D 3 【答案】：C 解析 313 3 6() 2 Saa且 311 2 =4 d=2aad a.故选 C . 4.（2009 安徽）已知为等差数列，则等于（ ） A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【解析】 135 105aaa 即 3 3105a 3 35a 同理可得 4 33a 公差 43 2daa 204 (204)1aad .选 B。 【答案】B 5.（2009 江西）公差不为零的等差数列 n a的前n项和为 n S.若 4 a是 37 aa与的等比中项, 8 32S ,则 10 S等 于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 . 答案：C 2 【解析】由 2 437 aa a得 2 111 (3 )(2 )(6 )adad ad得 1 230ad,再由 81 56 832 2 Sad得 1 278ad则 1 2,3da ,所以 101 90 1060 2 Sad,.故选 C 6.（2009 湖南）设 n S是等差数列 n a的前 n 项和，已知 2 3a ， 6 11a ，则 7 S等于【 C 】 A13 B35 C49 D 63 解: 1726 7 7()7()7(3 11) 49. 222 aaaa S 故选 C. 或由 211 61 31 5112 aada aadd , 7 1 6 213.a 所以 17 7 7()7(1 13) 49. 22 aa S 故选 C. 7.（2009 辽宁）已知 n a为等差数列，且 7 a2 4 a1, 3 a0,则公差 d （A）2 （B） 1 2 （C） 1 2 （D）2 【解析】a72a4a34d2(a3d)2d1 d 1 2 【答案】B 8.（2009 辽宁）设等比数列 n a的前 n 项和为 n S ，若 6 3 S S =3 ，则 6 9 S S = （A） 2 （B） 7 3 （C） 8 3 （D）3 【解析】设公比为 q ,则 3 63 33 (1)Sq S SS 1q33 q32 于是 6 36 9 3 11247 1123 Sqq Sq . 【答案】B 9.（2009 宁夏海南）等比数列 n a的前 n 项和为 n s，且 4 1 a，2 2 a， 3 a成等差数列。若 1 a=1，则 4 s= （A）7 （B）8 （3）15 （4）16 解析：4 1 a，2 2 a， 3 a成等差数列， 22 1321114 44,44,440,215aaaaa qa qqqq即，S,选 C. 10.（2009 湖北）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如： . 他们研究过图 1 中的 1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图 2 中的 1，4，9，16这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是 3 A.289 B.1024 C.1225 D.1378 【答案】C 【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项(1) 2 n n an ，同理可得正方形数构成的数列通项 2 n bn ， 则由 2 n bn ()nN 可排除 A、D，又由(1) 2 n n an 知 n a必为奇数，故选 C. 11.（2009 湖北）设,Rx记不超过x的最大整数为x,令x=x-x，则 2 15 ， 2 15 , 2 15 A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 【答案】B 【解析】可分别求得 5151 22 ， 51 1 2 .则等比数列性质易得三者构成等比数列. 12.（2009 四川）等差数列 n a的公差不为零，首项 1 a1， 2 a是 1 a和 5 a的等比中项，则数列的前 10 项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 【答案答案】B 【解析解析】设公差为d，则)41 (1)1 ( 2 dd.d0，解得d2， 10 S100 13.（2009 宁夏海南）等差数列 n a的前 n 项和为 n S，已知 2 11 0 mmm aaa ， 21 38 m S ,则m （ ） （A）38 （B）20 （C）10 （D）9 . 【答案】C 4 【解析】因为 n a是等差数列，所以， 11 2 mmm aaa ，由 2 11 0 mmm aaa ，得： 2 m a 2 m a0，所以， m a2，又 21 38 m S ，即 2 )(12( 121 m aam 38，即（2m1）238，解 得 m10，故选.C。 14.（2009 重庆）设 n a是公差不为 0 的等差数列， 1 2a 且 136 ,a a a成等比数列，则 n a的前n项和 n S=（ ） A 2 7 44 nn B 2 5 33 nn C 2 3 24 nn D 2 nn 【答案】A 解析设数列 n a的公差为d，则根据题意得(22 )22 (25 )dd，解得 1 2 d 或0d （舍去） ， 所以数列 n a的前n项和 2 (1)17 2 2244 n n nnn Sn 15.（2009 安徽）已知 n a为等差数列， 1 a+ 3 a+ 5 a=105， 246 aaa=99，以 n S表示 n a的前n项和， 则使得 n S达到最大值的n是 （A）21 （B）20 （C）19 （D） 18 解析：由 1 a+ 3 a+ 5 a=105 得 3 3105,a 即 3 35a ，由 246 aaa=99 得 4 399a 即 4 33a ， 2d ， 4 (4) ( 2)41 2 n aann ，由 1 0 0 n n a a 得20n ，选 B 16.（2009 江西）数列 n a的通项 222 (cossin) 33 n nn an ，其前n项和为 n S，则 30 S为 A470 B490 C495 D510 答案：A 【解析】由于 22 cossin 33 nn 以 3 为周期,故 222222 222 30 12452829 (3 )(6 )(30 ) 222 S 22 1010 2 11 (32)(31)59 10 11 (3 ) 925470 222 kk kk kk 故选 A 17.（2009 四川）等差数列 n a的公差不为零，首项 1 a1， 2 a是 1 a和 5 a的等比中项，则数列的前 10 项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 . 【答案答案】B 5 【解析解析】设公差为d，则)41 (1)1 ( 2 dd.d0，解得d2， 10 S100 二、填空题 1.（2009 全国卷） 设等差数列 n a的前n项和为 n S，若 9 72S ,则 249 aaa= 。 解: n a是等差数列,由 9 72S ,得 59 9,Sa 5 8a 2492945645 ()()324aaaaaaaaaa. 2.（2009 浙江）设等比数列 n a的公比 1 2 q ，前n项和为 n S，则 4 4 S a 答案：15 【解析】对于 44 3 14 441 3 4 (1)1 ,15 1(1) aqsq saa q qaqq 3.（2009 浙江）设等比数列 n a的公比 1 2 q ，前n项和为 n S，则 4 4 S a 【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式，通过对数列知识点的考查充分体现了 通项公式和前n项和的知识联系 【解析】对于 44 3 14 441 3 4 (1)1 ,15 1(1) aqsq saa q qaqq . 4.（2009 浙江）设等差数列 n a的前n项和为 n S，则 4 S， 84 SS， 128 SS， 1612 SS成等差数列类 比以上结论有：设等比数列 n b的前n项积为 n T，则 4 T， ， ， 16 12 T T 成等比数列 答案： 812 48 , TT TT 【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数 列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力. 【解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列 n b的前n项积为 n T，则 4 T， 812 48 , TT TT ， 16 12 T T 成等比数 列 5.（2009 北京）若数列 n a满足： 11 1,2() nn aaa nN ，则 5 a ；前 8 项的和 8 S .（用数字作答） .w【解析解析】本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题.m 属于基础知识、基本运算的考查. 121324354 1,22,24,28,216aaaaaaaaa， 易知 8 8 21 255 2 1 S ，应填 255. 6.（2009 北京）已知数列 n a满足： 6 43412 1,0,N , nnnn aaaa n 则 2009 a_； 2014 a=_. 【答案答案】1，0 【解析解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型. 依题意，得 20094 503 3 1aa ， 20142 100710074 252 1 0aaaa . . 应填 1，0. 7.（2009 江苏）设 n a是公比为q的等比数列，| 1q ，令1(1,2,) nn ban，若数列 n b有连续 四项在集合53, 23,19,37,82中，则6q= . 【解析】 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。 n a有连续四项在集合54, 24,18,36,81，四项24,36, 54,81成等比数列，公比为 3 2 q ，6q= -9 8.(2009 山东)在等差数列 n a中,6 , 7 253 aaa,则_ 6 a. 【解析】:设等差数列 n a的公差为d,则由已知得 64 72 11 1 dada da 解得 1 3 2 a d ,所以 61 513aad. 答案:13. 【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算. 9.（2009 全国卷）设等比数列 n a的前 n 项和为 n s。若 361 4, 1ssa，则 4 a= 答案：答案：3 解析：本题考查等比数列的性质及求和运算，由解析：本题考查等比数列的性质及求和运算，由 361 4, 1ssa得 q3=3 故 a4=a1q3=3。 10.(2009 湖北)已知数列 n a满足： 1 am（m 为正整数） ， 1 , 2 31, n n n nn a a a aa 当为偶数时， 当为奇数时。 若 6 a 1，则 m 所有可能的取值为_。. 11.【答案】4 5 32 【解析】 （1）若 1 am为偶数，则 1 2 a 为偶, 故 2 23 a 224 amm a 当 4 m 仍为偶数时， 46 832 mm aa 故132 32 m m 当 4 m 为奇数时， 43 3 311 4 aam 6 3 1 4 4 m a 故 3 1 4 1 4 m 得 m=4。 7 （2）若 1 am为奇数，则 21 3131aam 为偶数，故 3 31 2 m a 必为偶数 6 31 16 m a ，所以 31 16 m =1 可得 m=5 12.（2009 全国卷）设等差数列 n a的前n项和为 n S，若 53 5aa则 9 5 S S 9 . 解解： n a为等差数列， 95 53 9 9 5 Sa Sa 13.（2009 辽宁）等差数列 n a的前n项和为 n S，且 53 655,SS则 4 a 【解析】Snna1 1 2 n(n1)d . S55a110d,S33a13d 6S55S330a160d(15a115d)15a145d15(a13d)15a4 【答案】 3 1 14.（2009 宁夏海南）等差数列 n a前 n 项和为 n S。已知 1m a + 1m a - 2 m a=0， 21m S =38,则 m=_ 解析：由 1m a + 1m a - 2 m a=0 得到 1212 21 21 20,0,2213810 2 m mmmmm maa aaaSmam 又。 答案 10 15.（2009 陕西）设等差数列 n a的前 n 项和为 n s,若 63 12as,则 n a . . 答案:2n 解析:由 63 12as可得 n a的公差 d=2,首项 1 a=2,故易得 n a 2n. 16.(2009 陕西)设等差数列 n a的前 n 项和为 n S,若 63 12aS,则 2 lim n n S n . 答案：1 611 22 31 125122 11 (1)limlim1 12122 nn n nn aada SSnn Sn n saddnnnn 解析： 17.（2009 宁夏海南）等比数列 n a的公比0q , 已知 2 a=1， 21 6 nnn aaa ，则 n a的前 4 项和 4 S= . 【答案】 15 2 【解析】由 21 6 nnn aaa 得： 11 6 nnn qqq，即06 2 qq，0q ，解得：q2，又 8 2 a=1，所以， 1 1 2 a ， 21 )21 ( 2 1 4 4 S 15 2 。 18.(2009 湖南)将正ABC 分割成n 2 （n2，nN）个全等的小正三角形（图 2，图 3 分别给出了 n=2,3 的情形） ，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC 的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当 数的个数不少于 3 时）都分别一次成等差数列，若顶点 A ,B ,C 处的三个数互不相同且和为 1,记所有顶点 上的数之和为 f(n)，则有 f(2)=2，f(3)= 10 3 ，f(n)= 1 6 (n+1)(n+2) . 【答案】： 10 1 ,(1)(2) 36 nn 【解析】当 n=3 时，如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知 121212 1,abcxxab yybc zzca 121212122112 2()2,2xxyyzzabcgxyxzyz 121212 62()2gxxyyzzabc . 即 121212 11110 (3)1 3233 gfabcxxyyzzg 而 进一步可求得(4)5f。由上知(1)f中有三个数，(2)f中 有 6 个数，(3)f中共有 10 个数相加 ， (4)f中有 15 个数相加.，若(1)f n中有 1( 1) n an 个数相加，可得( )f n中有 1 (1) n an 个数相加， 且由 363331045 (1)1,(2)(1),(3)(2),(4)5(3),. 3333333 fffffff 可得 1 ( )(1), 3 n f nf n 所以 11113 ( )(1)(2).(1) 3333333 nnnnnn f nf nf nf = 113211 (1)(2) 3333336 nnn nn 19.（2009 重庆）设 1 2a ， 1 2 1 n n a a ， 2 1 n n n a b a ， * nN，则数列 n b的通项公式 n b= . 9 【答案】: 1 2n 【解析】由条件得 11 1 1 1 2 2 22 22 2 11 1 nnn nn nn n aaa bb aa a 且 1 4b 所以数列 n b是首项为 4，公比 为 2 的等比数列，则 11 4 22 nn n b 三、解答题 1.(2009 年广东)（本小题满分 14 分） 已知点（1， 3 1 ）是函数, 0()(aaxf x 且1a）的图象上一点，等比数列 n a的前n项和为cnf)(,数 列 n b)0( n b的首项为c，且前n项和 n S满足 n S 1n S= n S+ 1n S（2n ）. （1）求数列 n a和 n b的通项公式； （2）若数列 1 1nnb b 前n项和为 n T，问 n T 2009 1000 的最小正整数n是多少? . 【解析】 （1） 1 1 3 faQ, 1 3 x f x 1 1 1 3 afcc , 2 21afcfc 2 9 , 3 2 32 27 afcfc . 又数列 n a成等比数列， 2 2 1 3 4 21 81 2 33 27 a ac a ，所以 1c ； 又公比 2 1 1 3 a q a ，所以 1 2 11 2 3 33 nn n a * nN ； 1111nnnnnnnn SSSSSSSS Q 2n 又0 n b ,0 n S , 1 1 nn SS ； 数列 n S构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列，111 n Snn ， 2 n Sn 当2n ， 2 2 1 121 nnn bSSnnn ； 21 n bn( * nN)； （2） 1 22 33 41 1111 n nn T bbb bb bb b L 1111 1 33 55 7(21)21nn K 10 111 111 11111 1 232 352 572 2121nn K 11 1 22121 n nn ； 由 1000 212009 n n T n 得 1000 9 n ，满足 1000 2009 n T 的最小正整数为 112. 2.（2009 全国卷） （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）注意：在试题卷上作答无效） 在数列 n a中， 11 11 1,(1) 2 nn n n aaa n （I）设 n n a b n ，求数列 n b的通项公式 （II）求数列 n a的前n项和 n S 分析分析：（I）由已知有 1 1 12 nn n aa nn 1 1 2 nn n bb 利用累差迭加即可求出数列 n b的通项公式: 1 1 2 2 n n b ( * nN) （II）由（I）知 1 2 2 n n n an , n S= 1 1 (2) 2 n k k k k 1 11 (2 ) 2 nn k kk k k 而 1 (2 )(1) n k kn n ,又 1 12 n k k k 是一个典型的错位相减法模型， 易得 11 1 2 4 22 n kn k kn n S=(1)n n 1 2 4 2n n 评析评析：09 年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前 n 项和，一改 往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、 基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 3.（2009 浙江） （本题满分 14 分）设 n S为数列 n a的前n项和， 2 n Sknn， * nN，其中k是常 数 （I） 求 1 a及 n a； （II）若对于任意的 * mN， m a， 2m a， 4m a成等比数列，求k的值 解析：（）当1, 1 11 kSan， 12)1() 1(, 2 22 1 kknnnknknSSan nnn （） 经验，, 1n（）式成立， 12kknan （） mmm aaa 42 ,成等比数列， mmm aaa 4 2 2 .， 即) 18)(12() 14( 2 kkmkkmkkm，整理得：0) 1(kmk， 11 对任意的 Nm成立， 10kk或 4.（2009 北京） （本小题共 13 分） 设数列 n a的通项公式为(,0) n apnq nNP . 数列 n b定义如下：对于正整数 m， m b是使 得不等式 n am成立的所有 n 中的最小值. （）若 11 , 23 pq ，求 3 b； （）若2,1pq ，求数列 m b的前 2m 项和公式； （）是否存在 p 和 q，使得32() m bmmN ？如果存在，求 p 和 q 的取值范围；如果不存在， 请说明理由. 【解析解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、 分类讨论等数学思想方法本题是数列与不等式综合的较难层次题. （）由题意，得 11 23 n an，解 11 3 23 n，得 20 3 n . . 11 3 23 n成立的所有 n 中的最小整数为 7，即 3 7b . （）由题意，得21 n an， 对于正整数，由 n am，得 1 2 m n . 根据 m b的定义可知 当21mk时， * m bk kN；当2mk时， * 1 m bkkN. 1221321242mmm bbbbbbbbb 1232341mm 2 13 2 22 m mm m mm . （）假设存在 p 和 q 满足条件，由不等式pnqm及0p 得 mq n p . 32() m bmmN ,根据 m b的定义可知，对于任意的正整数 m 都有 3132 mq mm p ，即231pqpmpq 对任意的正整数 m 都成立. 当310p （或310p ）时，得 31 pq m p （或 2 31 pq m p ） ， 这与上述结论矛盾！ 12 当310p ，即 1 3 p 时，得 21 0 33 qq ，解得 21 33 q . 存在 p 和 q，使得32() m bmmN ； p 和 q 的取值范围分别是 1 3 p ， 21 33 q . . 5.（2009 北京） （本小题共 13 分） 已知数集 1212 ,1,2 nn Aa aaaaa n具有性质P；对任意的 ,1i jijn ， ij a a与 j i a a 两数中至少有一个属于A. （）分别判断数集1,3,4与1,2,3,6是否具有性质P，并说明理由； （）证明： 1 1a ，且 12 111 12 n n n aaa a aaa ； （）证明：当5n 时， 12345 ,a a a a a成等比数列. 【解析解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分 分类讨论等数学思想方法本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题. （）由于3 4与 4 3 均不属于数集1,3,4，该数集不具有性质 P. 由于 6 6 1 2 3 6 1 2,1 3,1 6,2 3, , 2 3 1 2 3 6 都属于数集1,2,3,6， 该数集具有性质 P. （） 12 , n Aa aa具有性质 P， nn a a与 n n a a 中至少有一个属于 A， 由于 12 1 n aaa， nnn a aa，故 nn a aA. . 从而1 n n a A a ， 1 1a . 12 1 n aaa， knn a aa，故2,3, kn a aA kn. 由 A 具有性质 P 可知1,2,3, n k a A kn a . 又 121 nnnn nn aaaa aaaa ， 21 121 1, nnnn nn nn aaaa aaa aaaa ， 13 从而 121 121 nnnn nn nn aaaa aaaa aaaa ， 12 111 12 n n n aaa a aaa . . （）由（）知，当5n 时，有 55 23 43 , aa aa aa ，即 2 5243 aa aa， 125 1aaa， 34245 a aa aa， 34 a aA， 由 A 具有性质 P 可知 4 3 a A a . 2 243 a aa，得 34 23 aa A aa ，且 3 2 2 1 a a a ， 34 2 32 aa a aa ， 5342 2 4321 aaaa a aaaa ，即 12345 ,a a a a a是首项为 1，公比为 2 a成等比数列k.s.5. 6.（2009 江苏） （本小题满分 14 分） 设 n a是公差不为零的等差数列， n S为其前n项和，满足 2222 23457 ,7aaaaS。 （1）求数列 n a的通项公式及前n项和 n S； （2）试求所有的正整数m，使得 1 2 mm m a a a 为数列 n a中的项。 【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分 14 分。 （1）设公差为d，则 2222 2543 aaaa，由性质得 4343 3 ()()d aad aa，因为0d ，所 以 43 0aa，即 1 250ad，又由 7 7S 得 1 76 77 2 ad ，解得 1 5a ，2d , (2) （方法一） 1 2 mm m a a a = (27)(25) 23 mm m ,设23mt， 则 1 2 mm m a a a = (4)(2)8 6 tt t tt , 所以t为 8 的约数 14 （方法二）因为 122 2 222 (4)(2)8 6 mmmm m mmm a aaa a aaa 为数列 n a中的项， 故 m+2 8 a 为整数，又由（1）知： 2m a 为奇数，所以 2 231,1,2 m amm 即 经检验，符合题意的正整数只有2m 。. 7.（2009 江苏） （本题满分 10 分） 对于正整数n2，用 n T表示关于x的一元二次方程 2 20xaxb有实数根的有序数组( , )a b的组数， 其中,1,2,a bn（a和b可以相等） ；对于随机选取的,1,2,a bn（a和b可以相等） ，记 n P为关于x的一元二次方程 2 20xaxb有实数根的概率。 （1）求 2 n T和 2 n P； （2）求证：对任意正整数n2，有 1 1 n P n . 【解析】 必做题必做题本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分 10 分。 . 15 8.(2009 山东)（本小题满分 12 分） 等比数列 n a的前 n 项和为 n S， 已知对任意的nN ，点( ,) n n S，均在函数(0 x ybr b且 1, ,bb r均为常数)的图像上. （1）求 r 的值； （11）当 b=2 时，记 2 2(log1)() nn banN . 证明：对任意的nN ，不等式 12 12 111 1 n n bbb n bbb 成立 解:因为对任意的nN ,点( ,) n n S，均在函数(0 x ybr b且1, ,bb r均为常数的图像上.所以得 n n Sbr,当1n 时, 11 aSbr,当2n 时, 111 1 ()(1) nnnnn nnn aSSbrbrbbbb ,又因为 n a为等比数列,所以1r ,公比为b, 1 (1) n n abb （2）当 b=2 时， 11 (1)2 nn n abb , 1 22 2(log1)2(log 21)2 n nn ban 则 121 2 n n bn bn ,所以 12 12 1113 5 721 2 4 62 n n bbbn bbbn . 下面用数学归纳法证明不等式 12 12 1113 5 721 1 2 4 62 n n bbbn n bbbn 成立. 当1n 时,左边= 3 2 ,右边=2,因为 3 2 2 ,所以不等式成立. 假设当nk时不等式成立,即 12 12 1113 5 721 1 2 4 62 k k bbbk k bbbk 成立.则当 1nk时,左边= 112 121 11113 5 721 23 2 4 6222 kk kk bbbbkk bbbbkk 22 23(23)4(1)4(1) 11 1(1) 1(1) 1 224(1)4(1)4(1) kkkk kkk kkkk 所以当1nk时,不等式也成立. . 由、可得不等式恒成立. 【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知 n S求 n a的基本题型,并运用数学归纳法 证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式. 9.(2009 山东)（本小题满分 12 分） 等比数列 n a的前 n 项和为 n S， 已知对任意的 16 nN ，点( ,) n n S，均在函数(0 x ybr b且1, ,bb r均为常数)的图像上. （1）求 r 的值； （11）当 b=2 时，记 1( ) 4 n n n bnN a 求数列 n b的前n项和 n T 解:因为对任意的nN ,点( ,) n n S，均在函数(0 x ybr b且1, ,bb r均为常数)的图像上.所以得 n n Sbr, 当1n 时, 11 aSbr, 当2n 时, 111 1 ()(1) nnnnn nnn aSSbrbrbbbb , 又因为 n a为等比数列, 所以1r , 公比为b, 所以 1 (1) n n abb （2）当 b=2 时， 11 (1)2 nn n abb , 11 111 44 22 n nn n nnn b a 则 2341 2341 2222 n n n T 34512 12341 222222 n nn nn T 相减,得 234512 1211111 2222222 n nn n T 31 2 11 (1) 11 22 1 22 1 2 n n n 12 311 422 nn n 所以 11 31133 22222 n nnn nn T 【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知 n S求 n a的基本题型,并运用错位相减法 求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前n项和 n T. 10.（2009 全国卷文） （本小题满分 10 分）. 已知等差数列 n a中，, 0,16 6473 aaaa求 n a前 n 项和 n s. . 解析：本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解。解析：本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解。 解：设 n a的公差为d，则. 11 11 2616 350 adad adad 17 即 22 11 1 81216 4 adad ad 解得 11 8,8 2,2 aa dd 或 因此819819 nn Snn nn nSnn nn n ，或 11.（2009 广东）（本小题满分 14 分）. 已知曲线 22 :20(1,2,) n Cxnxyn从点( 1,0)P 向曲线 n C引斜率为(0) nn k k 的切线 n l， 切点为(,) nnn P xy （1）求数列 nn xy与的通项公式； （2）证明： 13521 1 2sin 1 nn n nn xx xxxx xy . 解：（ 1）设直线 n l：) 1( xky n ，联立02 22 ynxx得0)22()1 ( 2222 nnn kxnkxk， 则0)1 (4)22( 2222 nnn kknk， 12 n n kn（ 12 n n 舍去）. 2 2 2 2 2 ) 1(1 n n k k x n n n ，即 1 n n xn， 1 12 ) 1( n nn xky nnn （2）证明： 12 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n x x n n . 12 1 12 12 5 3 3 1 2 12 4 3 2 1 12531 nn n n n xxxx n n n n x x xxxx 1 1 12531 由于 n n n n x x ny x 1 1 12 1 ，可令函数xxxfsin2)(，则xxfcos21)( ，令0)( xf， 得 2 2 cosx，给定区间) 4 , 0( ，则有0)( xf，则函数)(xf在) 4 , 0( 上单调递减， 18 0)0()( fxf，即xxsin2在) 4 , 0( 恒成立，又 43 1 12 1 0 n ， 则有 12 1 sin2 12 1 nn ，即 n n n n y x x x sin2 1 1 . . 12.（2009 安徽） （本小题满分（本小题满分 13 分）分） 首项为正数的数列 n a满足 2 1 1 (3),. 4 nn aanN （I）证明：若 1 a为奇数，则对一切2, n na都是奇数； （II）若对一切nN都有 1nn aa ，求 1 a的取值范围. 解：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究 能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分 13 分。 解：（I）已知 1 a是奇数，假设21 k am是奇数，其中m为正整数， 则由递推关系得 2 1 3 (1) 1 4 k k a am m 是奇数。 根据数学归纳法，对任何nN， n a都是奇数。 （II） （方法一）由 1 1 (1)(3) 4 nnnn aaaa 知， 1nn aa 当且仅当1 n a 或3 n a 。 另一方面，若01, k a则 1 1 3 01 4 k a ；若3 k a ，则 2 1 33 3. 4 k a 根据数学归纳法， 11 01,01,;33,. nn aanNaanN 综合所述，对一切nN都有 1nn aa 的充要条件是 1 01a或 1 3a 。 （方法二）由 2 1 21 3 , 4 a aa 得 2 11 430,aa于是 1 01a或 1 3a 。 22 111 1 33()() , 444 nnnnnn nn aaaaaa aa 因为 2 11 3 0, 4 n n a aa 所以所有的 n a均大于 0，因此 1nn aa 与 1nn aa 同号。 根据数学归纳法，nN ， 1nn aa 与 21 aa同号。 因此，对一切nN都有 1nn aa 的充要条件是 1 01a或 1 3a 。 13.（2009 安徽）（本小题满分 12 分） 19 已知数列 的前 n 项和，数列的前 n 项和 （）求数列与的通项公式； （）设，证明：当且仅当 n3 时， . 【思路】由 1 1 (1) (2) nn an a ssn 可求出 nn ab和 和，这是数列中求通项的常用方法之一，在求出 nn ab和