四川省遂宁市2017届高三三诊考试 数学试题（文）含答案

遂 宁 市 高中 2017 届 三 诊考试 数学 （ 文 科） 试题 本试卷分第 择题）和第 选择题）两部分。总分 150分。考试时间 120分钟。 第卷 （选择题，满分 60分） 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用 米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。 2选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用 米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3考试结束后，将 答题卡收回。 一、选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1若集合 2 03 2 则 为 A 20 B 2,1 C 20 D 2,1,0 2复数3s o s 在复平面内对应的点在 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3. 已知向量 a ， b 的夹角为3，且 )4,3( a ， 2b ，则 A 212 B 7 C 61 D 61 4我国古代数学名著九章算术中记载了公元前 344 年商鞅督造一种标准量器 三视图如下图所示（单位：寸），若 取 3，且图中的 x 为 寸）则其体积为 A 立方寸 B 方寸 C 方寸 D 方寸 5 已知直线 20ax y 与圆 C 2214x y a 相交于 两点 ，且线段 圆 C 的所有弦中最长的一条弦，则实数 a A. 2 B. 1 C. 1 或 2 D. 1 6 表面积为 24的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为 A. 12 B. 34 C. 38D. 3347函数 ) 2,0,0( 则其在区间 2,3 上的单调递减区间是 A ,3 和 2,611 B 65,3 和 611,34 C 65,3 和 2,611 D ,3 和 611,34 8某程序框图如图所示，若该程序运行 后输出的值是 74，则 整数 a 的值为 A 3a B 4a C 5a D 6a 9. 已知 43c o s s i ， 则 7的值是 A53B54C53D5410已知函数 3,3,2)( 2 在定义域内任取一点0x，使 0 0概率是 A31B 23C21D6111已知直线 l 过椭圆 C ： 2 2 12x y的左焦点 F 且交椭圆 C 于 A 、 B 两点。 O 为坐标原点，若 B ，则点 O 到直线 距离为 A 63B 2 C 52D 3212. 已知函数 () 导函数 () xg x e ,且 (0) (1)g g e ,（其中 e 为自然对数的底数）若(0, )x ,使得不等式 3() 成立 ,则实数 m 的取值范围是 A 1, B 3, C ,3 D e 4, 第卷 （非选择题，满分 90分） 注意事项： 1请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。 2 试卷中横线及框内注有“”的地方，是需要你在第卷答题卡上作答。 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13题至第 21题为必考题，每个试题考生都 作 答；第 22、 23题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题： 本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 函数 21f x x x 的值域是 14. 已知实数 ,04207021 23z x y的最小值为 15. 在 ， 2 , 6 0B C B，若 面积等于 32， 则 长为 16. 已知函数 2 ,01 ,0x x a 的图象上存在不同的两点 ,使得曲线 y f x 在这两点处的切线重合 ， 则实数 a 的取值范围 是 三、解答题： 本大题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 12 分） 等比数列 21 2 3 2 62 3 1 , 9a a a a a . （ 1）求数列 （ 2）设 3 1 3 2 3l o g l o g . . . . . . l o a a a ，求数列的前 n 项和 18.（本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱 ， C= 11A B A B E ， D 为 的点， 平面 （ 1）求证： 平面 11 （ 2）若 1,且 1D ，求三棱锥 体积 19.（本小题满分 12 分） 某公司为了解广告投入对销 售收益的影响，在若干地区各投入 4 万元广告费用， 并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图 (如图 所示 )轴的数据 丢失，但 可以确定横轴是从 0 开始计数的 . 附：回归直线的 斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 1221 ,y n x yb a y b xx n x . （ 1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度 ; （ 2）试估计该公司投入 4 万元广告费用之后，对应销售收益的平均值 (以各组的区间中点值代表该组的取值 ); （ 3）该公司按照类似的研究方法 ,测得另外一些数据 ,并整理得到下表 : 广告投入 x (单位 :万元 ) 1 2 3 4 5 销售收益 y (单位 :万元 ) 2 3 2 7 由表中的数据显示 ,x 与 y 之间存在着线性相关关系 ,请将（ 2）的结果填入空白栏 ,并求出 y 关于 x 的回归直线方程 . 20（本小题满分 12 分） 已知点 F 是 拋 物线 2: 2 0C y p x p的焦点 , 若点 0,1 上 , 且054. （ 1）求 拋 物线 C 的方程 ; （ 2）若直线 l 经过点 3, 1Q 且与 C 交于 ,于 M )两点 , 证明 : 直线 直线斜率之积为常数 . 21.（本小题满分 12 分） 已知 0t ，设函数 323 ( 1 )( ) 3 12tf x x x t x . 2)( x （ 1）当 2m 时，求 )(x 的极值点； （ 2）讨论 )(区间 2,0 上的单调性； （ 3） )()( 对任意 0, )x 恒成立时， m 的最大值为 1，求 t 的取值范围 . 请考生在第 22、 23两题 中任选一题 作 答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22.（本小题满分 10 分） 选修 4 4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 ，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系，已知直线 l 的参数方程为2（ t 为参数），曲线 C 的普通方程为024 22 点 P 的极坐标为 72 2 , 4 （ 1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的极坐标方程； （ 2）若将直线 l 向右平移 2 个单位得到直线 l ，设 l 与 C 相交于 , 面积 23.（本小题满分 10 分） 选修 4 5：不等式选讲 设 )( . （ 1）当 1b 时，求 2)( 解集； （ 2）当 1x 时，若不等式| |12|1|)( a 对任意实数 0a 恒成立，求 实数 b 的取值范围 . 遂 宁 市 高中 2017 届 三 诊考试 数学 （文 科） 试题参考答案及评分意见 一、选择题 （ 12 5=60分 ） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B C C D B B A D C A B 二、填空题 （ 4 5=20 分） 13. 2, 14. 15. 3 16. 12,4三、 解答题： 本大题共 6 小题，共 70 分 17（本小题满分 12 分） 【解析】（ 1）设数列 q ，由 24236223 99 ，所以912 q，由条件可知 031q； 2 分 由 132132 1121 所以31 a， 4 分 故数列 (31 6 分 （ 2）2 )1()21(l 2313 )111(21 9 分 12)1113121211(2)1()1()1( 21 n 数列前 n 项和 2n n 12 分 18（本小题满分 12 分） 解：（ 1）连结 1 分 平面 面 D， 平面 3 分 E 为 D 为 点， C， ， 4 分 C 1A 1B 一】：由 平面 面 ， 由 及 平面 11的两条相交直线， 得 平面 11 6 分 【法二】 :由 平面 平面 11 平面 11 平面 又平面 11面 C，得 平面11 6 分 （ 2）由 1得 ， 由（ 1）知 又 1 2 2, 8 分 222 2 ， ， 10 分 1 11 1 13 2 6A B C B B C B B 12分 19（本小题满分 12 分） 解：（ 1）设各小长方形的宽度为 m ,由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为 1,可知 ( 0 . 0 8 0 . 1 0 . 1 4 0 . 1 2 0 . 0 4 0 . 0 2 ) 0 . 5 1 ,故 2m ，即图中各小长方形的宽度为 2. 3 分 （ 2）由（ 1）知各小组依次是 0 , 2 ) , 2 , 4 ) , 4 , 6 ) , 6 , 8 ) , 8 , 1 0 ) , 1 0 , 1 2 , 其中点分别为 1, 3, 5, 7, 9,11 , 对应的频率分别为 0 . 1 6 , 0 . 2 0 , 0 . 2 8 , 0 . 2 4 , 0 . 0 8 , 0 . 0 4, 故可估计平均值为 1 0 . 1 6 3 0 . 2 5 0 . 2 8 7 0 . 2 4 9 0 . 0 8 1 1 0 . 0 4 5 . 7分 （ 3）由（ 2）可知空白栏中填 5. 由题意可知 , 1 2 3 4 5 2 3 2 5 73 , 3 . 855 ， 511 2 2 3 3 2 4 5 5 7 6 9 , 5 2 2 2 2 2 211 2 3 4 5 55 , 根据公式 ,可求得26 9 5 3 3 . 8 1 2 1 . 2 ,5 5 5 3 1 0b 10分 3 . 8 1 . 2 3 0 , 11分 所以所求的回归直线 方程为 . 12分 20（本小题满分 12 分） 解：（ 1）由抛物线定义知0 2 x,则00524,解得0 2又点 0,1 上 , 代入 2:2C y ,得021解得0 11, 2所以 2: C y x 4 分 （ 2）由（ 1）得 1,1M , 当直线 l 经过点 3, 1Q 且垂直于 x 轴时 , 此时 3 , 3 , 3 , 3, 则直线 斜率 312,直线 斜率 312,所以 3 1 3 1 12 2 2A M B . 6 分 当直线 l 不垂直于 x 轴时 , ,设直线 l 的斜率为 0,且经过 Q(3,，则直线 l 方程为： 1 ( 3) y k x ，带入 2 ： 2 3 1 0 k y y k ， 7 分 设 1 1 2 2, , ,A x y B x y, 1 2 1 211, - 3 - y y y 9 分 则直线 斜率111211 11 1 1AM x y y , 同理直线 斜率21 1 y， 1 2 1 2 1 21 1 1 1 1111 1 1 231 A M B y y y y y 直线 直线 斜率之积为 12 12 分 21（本小题满分 12 分） 【解析】 （ 1） 当 2m 时， )( ， )1()(/ x ，令 0)(/ x ，则 1x ，当 1x 时， 0)(/ x ；当 1x 时， 0)(/ x ，所以 1x 是 )(x 的极小值点，无极大值点。 3 分 （ 2） 2( ) 3 3 ( 1 ) 3 3 ( 1 ) ( )f x x t x t x x t ， 4 分 当 01t 时， ()0, )t ， (1,2) 上单调递增；在 (,1)t 上单调递减， 当 1t 时， () 2,0 上单调递增 . 当 12t 时， ()0,1) ， (,2)t 上单调递增；在 (1, )t 上单调递减 当 2t 时， ()0,1) 上单调递增，在 (1,2) 上单调递减 . 8 分 （ 3） 323 ( 1 )( ) 3 12tf x x x t x ， 2)( x 。由 )()( 得 323 ( 1 ) 3 1 e 22 x t x x m 对任意 0, )x 恒成立，即 323 ( 1 )e 3 12x tm x x x t x 2 3 ( 1 ) e 3 12x tx x x t 对任意 0, )x 恒成立 . 令 2 3 ( 1 )( ) e 32x tg x x x t ， 0, )x ，根据题意，可以知道 m 的最大值为 1，则 2( ) e xg x x 3( 1)2t x30t恒成立 . 10 分 由于 ( 0 ) 1 3 0 ，则 103t. 当 103t时， 3 ( 1 )( ) e 22x tg x x ，令 3 ( 1 )( ) e 22x th x x ，则( ) e 2，令 ( ) e 2 0 ，得 ，则 () (0,上单调递减，在(, ) 上单调递增，则 m i n 3 ( 1 )( ) ( l n 2 ) 2 2 l n 2 02th x g ， ()0, )上单调递增 . 从而 ( ) ( 0 ) 1 3 0g x g t ，满足条件，故 t 的取值范围是 1(0, 3. 12 分 请考生在第 22、 23、二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22（本小题满分 10 分） 【解析】（ 1）根据题意，直线 l 的普通方程为 2 ， 2 分 曲线 C 的极坐标方程为 4 c o s 2 s i n 5 分 （ 2） l 的普通方程为 ，所以其极坐 标方程为4 )( R，所