2017年山东省临沂市中考数学二轮专题复习材料(六)二次函数

九年级二轮专题复习材料 专题六：二次函数 【近 3 年临沂市中考试题】 1. （ 2014临沂， 14， 3 分） 在平面直角坐标系中，函数 2 2(y x x x 0) 的图 象 为1C，1 为2C，则直线 （ a 为常数）与1C，2（ A） 1 个 （ B） 1 个，或 2 个 （ C） 1 个，或 2 个，或 3 个 （ D） 1 个，或 2 个，或 3 个，或 4 个 2.（ 2014临沂， 26， 13 分） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 x 轴 交于 点 A(0)和点 B(1， 0)，直线 21 与 y 轴交于点 C，与抛物线交 于点 C， D. （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）求 点 A 到 直线 距离； （ 3）平秱抛物线，使抛物线的顶点 P 在直线 ，抛物线与直线 另一个交点为 Q，点 G 在 y 轴正半轴上，当以 G， P， Q 三点为顶点的 三角 形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的 G 点的坐标 . 3 （ 2016临沂， 13， 3 分） 二次函数 y=bx+c，自变量 x 4 2 y 4 0 2 0 4 下列说法正确的是 (A)抛物线的开口向下 (B) 当 x 3时， y随 (C) 二次函数的最小值是 2 (D) 抛物线的对称轴是 x= 52. 4.（ 2015临沂， 26， 13 分） 在平 面直角坐标系中， O 为原点，直线 y = 2x 1 与 y 轴交 于点 A，与 直线 y = x 交 于 点 B, 点 B 关于 原点的对称点 为点 C. （ 1）求过 A， B， C 三点的抛物线 的 解析式； （ 2） P 为抛物线上一点，它关于原点 的 对称点为 Q. 当四边形 菱形时，求点 P 的坐标 ； 若点 t（ 1 t 1），当 边形 说明理由 . C D O （第 26 题图） O x y A C B 21 【 知识点 】 二次函数定义；二次函数图像及性质； 二次函数解析式的确定。 【规律方法】 别设 x=0，或 y=0 即可 。 抛物线平移规律：上加下减，左加右减。 3 由抛物线在直角 坐标系中的位置确定 a、 b、 c 的符号 规律 ：抛物线开口方向决定了 a 的符号，当开口向上时， a 0； 当开口向下时， a 0； b 的符合的确定看直线 x=2位置，与 a 的符号左同右异； c 看图像与 y 轴的交点。 4 解答二次函数增减性问题，一般需要考虑将二次函数的解析式配方，得到其对称轴，再结合其图象与所求问题，作出回答 . 别以各边为底边找出各种情况，然后把重复的、不符合的去掉即可。 【中考集锦】 一、选择题 1、 (2014济宁 ) “如果二次函数 y c 的图象与 x 轴有两个公共点，那么一元二次方程 c=0 有两个不相等的实数根 .”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若 m、 n（ mn）是关于 x 的方程 1 ( ) ( ) 0x a x b 的两根，且 a b， 则 a、 b、 m、 n 的大小关系是 A. m a b n B. a m n b C. a m b n D. m a n b 2、 (2014东营 )若函数 y= m+2） x+ m+1 的图象与 x 轴只有一个交点，那么 m 的值为（ ） A 0 B 0 或 2 C 2 或 2 D 0， 2 或 2 3、 （ 2016烟台 ） 11二次函 数 y=bx+c 的图 象如图所示，下列结论： 4a+c b； 2a+b 0 其中正确的有（ ） A B C D 4 （ 2016枣庄 ） 如图，已知二次函数 y=bx+c（ a0）的图象如图所示，给出以下四个结论：， a+b+c 0， a b， 40；其中正确的结论有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 5、 （ 2014威海）已知二次函数 y=bx+c（ a0）的图象如图，则下列说法： c=0； 该抛 物线的对称轴是直线 x= 1； 当 x=1 时， y=2a； bm+a 0（ m 1） 其中正确的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 6 (2016日照 )如图是二次函数 y=bx+c 的图象，其对称轴为 x=1，下列结论： 0； 2a+b=0；4a+2b+c 0； 若（ ），（ ）是抛物线上两点，则 中结论正确的是（ ） A B C D 7 (2014济宁 ) “如果二次函数 y c 的图象与 x 轴有两个公共点， 那么一元二次方程 c=0 有两个不相等的实数根 .”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若 m、 n（ mn）是关于 x 的方程 1 ( ) ( ) 0x a x b 的两根，且 a b， 则 a、 b、 m、 n 的大小关系是 A. m a b n B. a m n b C. a m b n D. m a n b 二、填空题 1 (2016 日照 )如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为 2 米时，水面宽度为 4 米； 那么当水位下降 1 米后，水面的宽度为 米 2（ 2016 菏泽） 如图，一段抛物线： y= x（ x 2）（ 0x2）记为 与 x 轴交于两点 O， 转 180得到 x 轴于 转 180得到 x 轴于 如此进行下去，直至得到 点 P（ 11， m）在第 6 段抛物线 ，则 m= （第 22 题） 3（ 2016 青岛） 已知二次函数 y=3x2+c 与正比例函数 y=4x 的图象只有一个交点，则 c 的值为 三、解答题 1 (2014济宁 )（ 11 分） 如图，抛 物线 241与 x 轴交于 A（ 5,0） 、 B（ ）两点，过点A 作直线 x 轴，交直线 于点 C； （ 1） 求该抛物线的解析式； （ 2） 求点 A 关于直线 的对称点 A 的坐标 ，判定点 A是否在抛物线上，并说明理由 ； （ 3） 点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 y 轴的平行线，交线段 于点 M，是否存在这样的点 P，使四边形 平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在， 请 说明理由 . 2.（ 2014威海）如图，已知抛物线 y=bx+c（ a0）经过 A（ 1， 0）， B（ 4， 0）， C（ 0， 2）三点 （ 1）求这条抛物线的解析式； （ 2） E 为抛物线上一动点 ，是否存在点 E 使以 A、 B、 E 为顶点的三角形与 似？若存在，试求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由； （ 3）若将直线 移，使其经过点 A，且与抛物线相交于点 D，连接 求出 度数 3.(2014日照 )已知抛物线 3623 2 （ 2， 0） 设顶点为点 P，与 x 轴的另一交点为点 B （ 1）求 b 的值，求出点 P、点 B 的坐标； （ 2）如图，在直线 y= 3 x 上是否存在点 D，使四边形 平行四边形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由； （ 3） 在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 M，使 果存在 ,试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由 4（ 2016 威海） 如图，抛物线 y=bx+c 的图象经过点 A（ 2， 0），点 B（ 4， 0），点 D（ 2， 4），与 y 轴交于点 C，作直线 B C，连接 （ 1）求抛物线的函数表达式； （ 2） E 是抛物线上的点，求满足 点 E 的坐标； （ 3）点 M 在 y 轴上且位于点 C 上方，点 N 在直线 ，点 P 为第一象限内抛物线上 一点，若以点 C， M， N， P 为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长 【特别提醒】 1 对二次函数概念理解有误，漏掉二次项系数不为 0 这一限制条件； 2 对二次函数图象和性质存在思维误区； 3 忽略二次函数自变量取值范围； 4 平移抛物线时，弄反方向 。 为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系 . 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题 . 答案 【近 3 年临沂市中考试题】 1. C 2. （ 1）（本小问 3 分） 解：在 21中，令 0x ，得 1y . C(0， （ 1 分） 抛物线与 x 轴交于 A(0), B(1， 0), C 为抛物线的顶点 . 设抛物线的解析式为 2 1y ，将 A(0)代入，得 0=a=1. 抛物线的解析式为 2 1. （ 3 分） （ 2）（本小问 5 分） 方法一： 设直线 21与 x 轴交于 E， 则 1(2E， 0). （ 1 分） 2151 ( )22 , 13122 . （ 2 分） 连接 A 作 足为 F， S 122A E O C C E A F ， （ 4 分） 即 1 3 1 512 2 2 2 ， 355 （ 5 分） 方法二：由方法一知， 0， 32 52 （ 2 分） 在 ， 0， 图 1 C D O F E M E， （ 4 分 ） 即 321 52. 355 （ 5 分） （ 3）（本小问 5 分） 由 22 1 1 ，得1 0x，2 2x . D(2， 3). （ 1 分） 如图 1，过 D 作 y 轴的垂线，垂足为 M， 由勾股定理，得 222 4 2 5 . （ 2 分） 在抛物线的平秱过程 中， D. （ i）当 斜边时，设 点为 N， G(0， b)， 则 5 . 0， E， 511 52 2b ， b=4. G(0， 4) . （ 3 分） （ P 为直角顶点时， 设 G(0， b)， 则 25， 同（ i）可得 b=9， x y E C O G Q P N 图 2 则 G(0， 9) . （ 4 分） （ Q 为直角顶点时， 同（ 得 G(0， 9) . 综上所述，符合条件的点 G 有两个，分别是1G(0， 4)，2G(0， 9). （ 5 分） 3. C 4 解：（ 1）解方程组 21 ，得 ， 点 B 的坐标为（ 1） . 1 分 点 C 和点 B 关于原点对称， 点 C 的坐标为（ 1， . 2 分 又 点 A 是直线 y= y 轴的交点， 点 A 的坐标为（ 0， . 3 分 设抛物线的解析式为 y=bx+c， 1 11.a b ， ， 抛物线的解析式为 y= 5 分 （ 2）如图 1， 点 P 在抛物线上， 可设点 P 的坐标为（ m， . 当四边形 菱形时， O 为菱形的中心， B C，即点 P， Q 在直线 y = x 上， m = 7 分 解得 m = 1 2 . 8 分 点 P 的坐标为（ 1+ 2 ， 1+ 2 ）或（ 1- 2 ， 1- 2 ） . 9 分 O x y P A C B Q F D E 21 2 1y x x O x y P A C B Q 21 2 1y x x 图 1 图 2 方法一： 如图 2，设点 P 的坐标为（ t， t - 1） . 过点 P 作 PDy 轴，交直线 y = - x 于点 D，则 D（ t， - t） . 分别过点 B， C 作 足分别为点 E， F. - t -( t = - 1， 2， 10 分 S12E +12F 12 12（ - 1） 2 - 1. 12 分 . 当 t 0 时， . 13 分 方法二： 如图 3，过点 B 作 y 轴的平行线，过点 C 作 x 轴的平行线，两直线交于点 D，连接 SS 1222（ t+1） （ ） . 12 分 . 当 t 0 时， . 13 分 图 3 图 4 O x y P A C B Q D 21 2 1y x x O x y P A C B Q E 21 2 1y x x F 方法三：如图 4，过点 P 作 足为 E，作 PFx 轴交 点 F. F. 点 P 的坐标为（ t， 点 F 的坐标为（ t+1， . t2+t+1. 22（ ） . 11 分 S12E 1222 22（ ） . 12 分 . 当 t 0 时， . 【中考集锦答案】 一、 选择题 1、 A 2、 D 二、填空题 1、 2 米 2、 m= 1 3、 三、解答题 1. 解：（ 1） 241与 x 轴交于 A（ 5,0）、 B（ ）两点， 5425 解得抛物线的解析式为4541 2 3 分 作 E x 轴于 E， 于点 D， 点 C 在直线 y=2x 上， C（ 5， 10） 点 A 和 关于直线 y=2x 对称， A， D= ， 0, 2 2 2 25 1 0 5 5O C O A A C . 1122O A C A D O A A C , 25. 45 .5 分 在 和 ， 90， 90， A= （第 22 题） 又 0， A E A C O C即 455 1 0 55A E A E . 4， . E . 点 A/的坐标为（ 3,4） . 7 分 当 x= 3 时， 215( 3 ) 3 444y . 所以，点 A/在该抛物线上 .8 分 （ 3） 存在 . 理由：设直线 的解析式为 y=kx+b, 则0得3直线 的解析式为42543 9 分 设点 P 的坐标为 )4541, 2 则点 M 为 )42543, 要使 四边形 平行四边形 ,只需 在点 P 的上方， 10)4541()42543 2 解得 5,2 21 不合题意 ,舍去）当 x=2 时，49y. 当点 P 运动到 ），（492 时，四边形 平行四边形 .11 分 2. 解：（ 1） 该抛物线过点 C（ 0， 2）， 可设该抛物线的解析式为 y= 将 A（ 1， 0）， B（ 4， 0）代入， 得 ， 解得 ， 抛物线的解析式为： y= x+2 （ 2）存在 由图象可知，以 A、 B 为直角顶点的 存在，所以 可能是以点 E 为直角顶点的三角形 在 ， ， ， = 在 ，设 上的高为 h，则 h= 2 4， h= E 点坐标为（ x， y）， = ， y=2 将 y=2 代入抛物线 y= x+2，得 ， 当 y= 2 时，不合题意舍去 E 点坐标为（ 0， 2），（ 3， 2） （ 3）如图 2，连结 作 x 轴于点 E，作 点 F， 0 设 解析式为 y=kx+b，由图象，得 ， ， x+2 由 解析式为 y= x+n，由图象，得 0= （ 1） +n n= ， x x+2= x ， 解得： 1， D（ 1， 0）与 A 重合，舍去， D（ 5， 3） x 轴， ， 由勾股定理，得 A（ 1， 0）， B（ 4， 0）， C（ 0， 2）， ， ， 在 ， ，由勾股定理，得 ， ， ， 0， 5， 直角三角形， 0 80， 0 0， 四边形 矩形， F= ， 在 ，由勾股定理，得 ， F， 5 3解：（ 1）由于抛物线 3623 2 （ 2， 0）， 所以 3624230 b， 解得 34b . 1分 所以抛物线的解析式为 363423 2 （ *） 将（ *）配方，得 32423 2 所以顶点 P 的坐标为（ 4， ） 2 分 令 y=0，得 032423 2 x， 解得 6,2 21 所以点 B 的坐标是（ 6， 0） . 3分 （ 2）在直线 y= 3 x 上存在点 D，使四边形 平行四边形 . 4分 理由如下： 设直线 +b，把 B（ 6,0） ,P(4, )分别代入，得6 解得所以直线 解析式为 363 5分 又直线 解析式为 所以直线 6分 设 设直线 解析式为 ，把 P(4, )代入，得 324 m 解得23P 么四边形 平行四边形 . 7分 设直线 解析式为 23，将 B(6,0) 代入，得 0= n 33 ，所以 33n 所以直线 解析式为 23， 解方程组所以 D 点的坐标为（ 2,2 3 ） 8 分 （ 3）符合条 件的点 M 存在 过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为为 C，则 3 ， ， 由勾股定理，可得 ， ，又 ，所以 等边三 角形，只要作 平分线交抛物线于 M 点，连接 M,由于 M, B=得 ,使 11 分 4、 解：（ 1） 抛物线 y=bx+c 的图象经过点 A（ 2， 0），点 B（ 4， 0），点 D（ 2， 4）， 设抛物线解析式为 y=a（ x+2