浙江省杭州市2017届高三4月教学质量（二模）数学试题含答案

2016 学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测 数学试题卷 选择题部分（共 40 分） 一、 选择题：（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1, 0 ,1, 2U ，集合 2 | 1 , A x x x U ，则 ） A 0,1,2 B 1,1,2 C 1,0,2 D 1,0,1 i （ i 为虚数单位），则 1|z （ ） A 22B 2 C 12D 2 ， 是两个不同的平面， m 是一条直线，给出下列命题： 若 m ， m ，则 ；若 /m ， ，则 m ） A都是假命题 B是真命题，是假命题 C是假命题，是真命题 D都是真命题 “12/“12的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 )x （ 0a ， e 为自然对数的底数），则 （ ） A当 0a 时，方程没有实数根 B. 当 0 时，方程有一个实数根 C. 当 时，方程有三个实数根 D. 当 时，方程有两个实数根 a ， b ， c ，满足对任意实 数 x ， y 有 3 4 5x y a x b y c 3 4 5，则（ ） A. a b c 的最小值为 2 B. a b c 的最小值为 . a b c 的最大值为 4 D. a b c 的最大值为 6 的直线 l 经过抛物线 2: 2 ( 0 )C y p x p的焦点 F ，与抛物线 C 交于 A ，B 两点，设点 A 在 x 轴上方，点 B 在 x 轴下方 |AF ，则 的值为（ ） A 11B1. 1 21n 项和 i ， j ， k ， l 满足()i l j k i j k l ，则（ ） Ai l j ka a a aBi l j ka a a aC.i l j S SDi l j S S()f x x a x b ( , )a R 的两个零点为1x，2x，若12| | | | 2，则（ ） A | | 1a B | | 1b C. | 2 | 2 D | 2 | 2 中 ， C ， 2， M 为 点， N 为 点， D 为 沿 折使 C ，点 A 在面 的投影为点 O ，当点 C 上运动时，以下说法错误的是（ ） A. 线段 定长 B | | 1, 2 ) C. 180A M O A D B D点 O 的轨迹是圆弧 非选择题部分（共 110 分） 二、填空题：（本大题共 7 小题，第 11，每小题 6 分， 15小题 4 分，共 36 分） 2 12的渐近线方程为 ；离心率等于 )nx x 的展开式中所有二项式系数和为 64，则 n ；展开式中的常数项是 的概率分布列为： 则 E ， D . 位： 图所示，则 此几何体的体积是 3表面积是 2 为 所在平面上一点，且满足 34P A P C m A B( 0)m 的面积为8，则 的面积为 . 16.设 a ， b ， c 分别为 三内角 A ， B ， C 的对边，面积 212若 2，则2 2 2的最大值是 . 17. 设 函 数22 c o s , | | 1 ,() 21 , | | 1 ，若| ( ) ( ) 2 | | ( ) ( )f x f x l f x f x l 2(0)l对任意实数 x 都成立，则 l 的最小值为 . 三、解答题 ：（本大题共 5 小题， 共 74 分） 18. 设函数 ( ) 2 c o s ( c o s 3 s i n )f x x x(). （ 1）求函数 ()y f x 的周期和单调递增区间； （ 2）当 0, 2x 时，求函数 () 知 矩形， M ， N 分别为边 中点， 于点 O ，沿 矩形 起，设 2， 4，二面角 B 的大小为 . （ 1）当 90时，求 的值； （ 2）点 60时，点 P 是线段 一点，直线 平面 成角为 ，求线段 长 . 20. 设函数 ( ) 1 1f x x x . （ 1）求函数 () （ 2）当实数 0,1x ，证明： 21( ) 24f x x. 21. 如图，设点 A ，1F，22143的左顶点和左，右焦点，过点 A 作斜率为 k 的直线交椭圆于另一点 B ，连接2 . （ 1） 求点 B 的坐标（用 k 表示） ； （ 2）若1B，求 k 的值 . 21. 已知数列 前 n 项和为对任意的 *，都有21 2 . （ 1）若1 1a，505 2017a ，求6 （ 2）若对任意 *，都有 1，求证：+120 ( 1 ) . 2016 学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1 6 二、填空题（本大题共 7 小题，第 11，每小题 6 分， 15小题 4 分，共 36 分） 11. 2 ； 3 240 、解答题 1）因为 ( ) 2 c o s ( c o s 3 s i n )f x x x x 2 s 2 ) 16x . 2226 2 2k ， 36k x k ， 函数 ()y f x 的单调递增区间为： (,)36() （ 2） 0, 3x ， 72 , 6 6 6x ， 1s i n ( 2 ) , 1 62x ， ( ) 2 s i n ( 2 ) 16f x x 的最大值是 3. 图，设 E 为 中点，建立如图所 示的空间直角坐标系 . （ 1）当 90时， (2, 1,0)A ， (0,1,2)C ， ( 2 , 1, 0 ) ， (0,1, 2)， 1c o | | |O A O O C . （ 2）由 60得 (1,1, 3)C ， (1, 1, 3 )D ， (0, 1, 0)M ， (1 , 0 , 3 ) ， 设 ( 0 1 )M P M D ，则 ( , 1 , 3 )O P O M M P ， ( 2 , 0 , 3 )A P O P O A ， 设平面 法向量为 ( , , )n x y z ， 0n ， 0n ， 2030y z ，取 (1, 2 , 3 )n ， 由题意，得 14|7| | | |A P n ，即 23 1 0 3 0 ， 13或 3 （舍去）， 在线段 存在点 P ，且 1233M P M D. 1）函数 () 1,1 ， 211( )21 ，当 ( ) 0时，解得 0x ， ()在 (0,1) 上单调递增，在 ( 1,0) 上单调递减， m i n( ) ( 1 ) ( 1 ) 2f x f f ，m a x( ) ( 0 ) 2f x f， 函数 () 2,2 . （ 2）设 21( ) 1 1 24h x x x x ， 0,1x ， (0) 0h ， 11221 1 1( ) ( 1 ) ( 1 )2 2 2h x x x x ， 212 1 2 1 ( 1 1 )x x x x ， 因为 21 ( 1 1 )x x x 221 2 2 1 2 ， ( ) 0. ()在 (0,1) 上单调递减，又 (0) 0h ， 21( ) 2 4f x x . 1）设点 ( , )x y，直线 方程为 ( 2)y k x，联立 22143得， 2 2 2 2( 3 4 ) 1 6 1 6 1 2 0k x k x k ， 221 6 1 22 34k ，即 228634k ， 212( 2 ) 34BB ky k x k ，即 2228 6 1 2( , )3 4 3 4. （ 2）易知2(1,0)F，2 2414BF kk k ，11k ， 所以直线2 1 )14 ， 1 ( 1) ， 由21 ( 1 )4 ( 1 )14 ，解得 2(8 1, 8 )C k k ，代入 22143， 得 421 9 2 2 0 8 9 0 ，即 22( 2 4 1 ) ( 8 9 ) 0 ，得 2 124k ， 所以 612k . 1）由题意知1 2 1n n n na a a a ，设1i i id a a( 1, 2 , , 5 0 4 )i ， 则1 2 3 5 0 4d d d d ，且1 2 3 5 0 4 2016d d d d ， 1 2 55d d d 6 7 5 0 4409d d d 1 2 52 0 1 6 ( )409d d d ， 所以1 2 5 20d d d ， 6 1 1 2 5( ) 2 1a a d d d . （ 2） 若存在 *，使得1，则由 21 2 ， 得1 1 2k k k ka a a a ， 因此，从列 故12 na a a 1k k na a a ( 1) kn k a， 对于固定的 k ，当 n 足够大时，必有12 1na a a ，与