七年级教学渗透数学思想方法例谈

七年级教学渗透数学思想方法例谈 湖北 熊志新 向其智 表示函数的常见方法有三种：表格、图形和关系式。我们经常在数学思想方法中谈到 的寻找规律、应用题的表格分析法、数形结合思想等，都是函数思想的细化。这里探讨一 下北师大版七年级上册数学教材中的一些问题以及习题如何从函数的思想角度进行处理。 图形部分 点线面数的关系 从小学数学过渡到初中数学，学习内容、研究方法，都是个转折，尤其是数学思想认 识上更是一个质的飞跃。数学知识重在培养学生思维能力，数学思想对培养学生的思维能 力又至关重要。新教材对数学思想的体现更明显，这些数学思想在学生今后的数学学习中 又将不断地运用。用数学眼光看待问题，建立用数学思想解决数学问题，是学习数学的最 高境界。因此，从七年级一开始将数学思想方法不断地渗透于教学中显得尤为重要，它将 为学生后续学习打下坚实的基础，会使学生终生受益。结合七年级数学下册的教学浅谈如 下几种数学思想方法的渗透。 一、化归转化思想 即将所要研究和解决的问题，通过变形、变换、转化为已经解决过的问题上来处理的 一种数学思想。 例 1 如图 1，是中国共产主义青年团团旗上的图案，点 A、B、C、D、E 五等分圆， 则A+B+C+D+E 的度数是（ ） A B C D 8050135120 图 3 21 E D C BA图 2图 1 21 A B CD E OE D C B A 思维指导 求多个角的度数问题，我们可以联想三角形内角和定理，将所求角转化到 一个或数个三角形中来求解，其中的关键是通过作辅助线构造三角形。 解：如图 2,是图案画成的几何图形。连结 CD，在ACD 中， A+ACD+ADC= ，180 即A+ACE+2+1+ADB= 。180 因为B+E=EOD=1+2， 所以A+B+ACE+ADB+E =A+ACE+ADB+（B+E） =A+ACE+ADB+1+2 = 180 注 本题的巧妙之处在于构造ACD，把所求的五个角的和通过EOD 转化为 B+E=1+2，从而利用三角形内角和定理进行解答。 例 2 一个零件的形状如图 3 所示，按规定BAC= ，B= ，C= ，检验工90210 人量得BDC= ，就断定这个零件不合格，运用所学知识说明零件不合格的理由。130 思维指导 依据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，把实际问题转化 为三角形知识来解，关键是通过转化建立起数学模型。 解：依据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，连结 AD 并延长到 E 点， 有CDE=C+1，BDE=B+2， 所以CDE+BDE=C+1+B+2，即BDC=C+B+CAB。 若零件合格，则有BDC= + + = ，所以零件不合格。90213 注 本题把实际问题与所学的三角形知识很好地结合起来。 二、分类讨论思想 在人的生活中，存在很多分类的事件。数学问题的研究中，也一样存在，根据问题的 特点把它分为若干情形，有利问题的研究和解决，这就是数学分类的思想。新教材中的分 类思想在各节中都在不断加强。如实数可进行如下分类： 1、按实数的定义分类：实数 无 理 数 分 数整 数有 理 数 2、按实数的性质分类：实数 负 无 理 数负 有 理 数负 实 数 正 无 理 数正 有 理 数正 实 数 0 因此在化简、计算有关实数的问题时，应注意分类讨论。 例 3 计算： 。x31 思维指导 因无法知道 的大小而不能去掉绝对值的符号，因此，在这里借助各绝对 值为零的“零值点”来进行分段讨论，以达到去掉绝对值符号的目的。 解：当 ， 时， ， 。01x3x13x 在数轴上表示-1 和 3 的点把数轴分为了三段二点，因此， 当 -1 时，原式=-( +1)+(3- )=- -1+3- =-2 +2；x 当-1 3 时，原式= +1+3- =4； 当 3 时，原式= +1-（3- ）= +1-3+ =2 -2。xxx 注 对于含有绝对值的算式的计算、化简等，都必须取各个绝对值为零时的“零值点” ， 把数轴分成几个部分，对每一部分的取值进行分类计算、化简，求得在各部分的值或算式。 例 4 已知： ，求 的值=_。7,3yxyx 思维指导 此题虽然能求出 、 的值，但各有两个数值，学生往往只注重将正值与 正值，负值与负值相组合，而遗漏正与负或负与正的组合。 解： 。 。3x7yy 当 时， 3+7=10；7,yx 当 时， 3-7=-4；,3xy 当 时， -3+7=4；7,yx 当 时， -3-7=-10。7,3yxyx 注 应用分类讨论思想解题，可化整为零，化大为小；解题时，分类标准要统一，答 案 既不重复也不遗漏。 三、数形结合思想 即利用数量关系来研究图形性质，或利用图形性质来研究数量关系的一种数与形相互 转化的解题数学思想。如在学习无理数后，有理数扩展到了实数，实数与数轴上的点建立 了一一对应关系，任何一个实数都能用数轴上的点表示；反过来，数轴上的每一个点都表 示一个实数，抽象的“数”转化为具体的“形（点） ”，观察“形”的特点，就可以得到 “数”的性质。比如表示 2 的点和表示-2 的点到原点的距离相等，因此 2 和-2 是互为相反 的数，它们的绝对值相等，借助于数轴就可以解答一些比较抽象的问题。 例 5 已知 0， 0，且 0，则 、 、 、- 的大小关系是abbaab _。 思维指导 直接比较大小相当困难，利用数轴先标出 、 两个数的相对位置，再利 用绝对值的意义标出 、- 的位置，如图 4，就可以清楚地看出 、 、 、- 的大小 ab 关系是： - 。 图 4 0-b b -aaaba 注 本题利用数轴比较有理数大小，既做到了数形结合，又沟通了有理数间的知识联 系，因而利于激发学生的学习兴趣，有利于提高能力。 例 6 3 个球队进行单循环比赛（参加比赛的每一个队都与其它所有的队各赛一场） ， 总的比赛场数是多少？4 个球队呢？5 个球队呢？写出 个球队进行单循环比赛时总的比赛m 场数 的公式。n 思维 指导 如图 5，将每个球队看作一个点，两个球队间只有一场比赛，即在对应的 两点间连一条线，则由条件知，每两点都要作一条连线，且两点间刚好有一条连线，如图 5 中图形的边数即为球队进行单循环比赛的场数。 图 6 On O3 O2 O1 A 图 5 五 个 队四 个 队?三 个 队 ? 解：显见：3 个球队单循环比赛的场数就是三角形的边数，即 3 场；4 个球队单循环比 赛的场数就是四边形的边数加对角线的条数，即 （场） （其中 为2)4(2)4( 四边形的对角线条数，因为从每一个顶点出发的对角线都有（4-3）条，所以 4 个顶点共有 条，而其中每一条都重复了一次，这样四边形的所有对角线就有 条） ；5)34( )3( 个球队单循环比赛的场数就是五边形的边数加对角线的条数，即 （场） 。1025 按照这样的思路，如果有 个球队，它参加单循环比赛的场数就是 边形的边数加对mm 角线的条数，即 （场） 。213n 注 解决本题的思想方法实质上是图证思想通过研究点、边组成的图形的性质 来得出事物的关系，这里图是解决问题的关键。 四、整体思想 所谓“整体思想”就是指在解决数学问题时，将要解决的问题看作一个整体，通过对 问题的整体形式、整体结构、已知条件和所求综合考虑后，得出结论。 例 7 计算： 。 2041312053120413120531 思维指导 在数据较多的情况下，相同的数可以看作一个整体，进行整体换元。 解：设 ， ，则ab 原式= = 。b12051aa 注 用整体思想解题不仅解题过程简捷明快，而且富有创造性。 例 8 甲、乙、丙三种商品，若购甲种 4 件、乙种 7 件、丙种 1 件共需 36 元，若购甲 种 5 件、乙种 8 件、丙种 2 件共需 45 元，若购甲、乙、丙商品各一件，共需多少元？ 思维指导 解这道应用题，若按常规思维设未知数列方程组来求解，显然有三个未知 数，只有两个方程。它属于不定方程组，三个未知数的值不唯一确定，看似无法求出，实 则不然，若把提出的问题“若购甲、乙、丙商品各一件，共需多少元？”看作一个整体的 未知数去求，将会柳暗花明又一村。 解：设购甲一件需 元，乙一件需 元，丙一件需 元。根据题意，得xyz 变形得)2(,458513674zyx （4）-（3）得)(,3 （元） 。9z 注 在用常规的解法无法解决问题时，不妨将所求问题视为一个整体，将问题中的条 件与这一整体充分地协调，则可使问题顺利解决。 例 9 桌面上有许多大小不等的圆纸片交错地叠在一起，但每个圆的圆心都不在其它 圆的圆内，用一根尖针去刺纸片，问尖针一下子最多能刺到几张纸片？为什么？ 思维指导 此问题看上去无从下手，用常规的方法较难解出，我们不妨将针尖这一点 和若干个圆的圆心看作一个整体，则可解出。 解：设最多能刺到 张纸片，它们的圆心分别为 ，半径为 ，针n nO,21 nr,21 尖为 A 点。如图 6 所示,分别连接 ., 321AOn 针尖刺在圆形纸片上， .,21nrArO 又每个圆的圆心都必须不在其它圆的内部， .,112121 nnrr及大 于及大 于 即 , AOAO及大 于及大 于 .60,60121 AOAOn 又 ,3132n .