新课程下立体几何实验教学初探

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 新课程下立体几何实验教学初探 摘要：几何实验课就是根据教学 内容的需要，有目的地创设一定的教学 情境，在典型的实验环境中，让学生进 行一定的几何图形的数学化操作，从而 认识数学中的几何事实，揭示数学对象 规律的一种数学活动。本文也从一高考 题出发，以几何实验的理念，构建模型， 通过对图形的变换，探索事物的本源。 中国论文网 /9/view-12780864.htm 关键词：几何实验 剪拼 组成相 等 新一轮的新课程改革，给浙江的 高中教学带来了不小的冲击。高中数学 的全面改版，不仅仅是教材的形式变化， 更重要的是内容和理念的变化。笔者注 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 意到人教 A 版数学必修 2中提出了 立体几何数学实验的模式及对实验教学 的探讨，颇有感触。越来越多的教育家 认识到，对于思维模式正从形象思维向 逻辑思维过渡的青少年来讲，他们学习 几何知识仍然离不开直观想象。论证几 何在培养人的逻辑思维能力方面起着重 要的作用，而实验几何则是发现几何事 实的有力工具，在培养人的知觉思维和 创造性思维方面起着巨大的作用。本文 重温了 2002 年全国高考文科试卷第 22 题，更深切的体会到改革家们提出几何 实验这一论题的战略眼光。 笔者在一堂高三的立体几何复习 课上，又把这道题目拿了出来，和同学 们一起进行了一次相当愉快的探索。 这道高考题为 2002 年全国高考 文科试卷第 22 题，题目和简答过程如 下： （）给出两块相同的正三角形 纸片（如图 1（1） （2） ） ，要求用其中一 块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面 积都与原三角形的面积相等.请你设计一 种剪拼方法，分别用虚线标示在图 1（1） 、图 1（2）中，并作简要说明； （）试比较你剪拼成的正三棱 锥与正三棱柱的体积的大小； （）如果给出的是一块任意三 角形纸片（如图 1（3） ） ，要求剪拼成一 个直三棱柱模型，使它的全面积与给出 的三角形的面积相等，请你设计一种剪 拼方法，用虚线标示在图 1（3）中，并 作简要说明。 解：（）如图 1（1） ，沿正三 角形中点连线折起，可拼得一个正三棱 锥。 如图 1（2） ，在正三角形角上剪 出三个相同的四边形，其较长的一组邻 边为三角形边长的，有一组对角为直角。 余下部分按虚线折起，可组成一个缺上 底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四 边形恰好拼成这个正三棱柱的上底。 （）依上面的剪拼方法得到的 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 几何体有. 推理如下： 设给出正三角形纸片的边长为 2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面 都是边长为 1 的正三角形，其面积为.现 在计算它们的高： ，. 所以. （）如图 1（3） ，分别连接三 角形的内心与各顶点，得到三条线段， 再以这三条线段的中点为顶点作三角形。 以新作的三角形为直三棱柱的底面，过 新三角形的三个顶点向原三角形三边作 垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可 以拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚 线折起，成为一个缺上底的直三棱柱。 两者组合即可得到一个直三棱柱模型。 自问题提出到问题解决，笔者发 现学生都反应平平，可能都觉得这也就 一道高考题而已，他们已经做的多了， 只是这一道还有点意思。当然，笔者不 能放过这一蛛丝马迹，提出了以下事实 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 （用多媒体展示） 。 下面对（） 、 （）两小题作一 些发散思考。先注意以下事实： （1）将正三角形的各边等份， 过各等分点作平行于边的线段，则将原 正三角形剖分为个小正三角形。如图 4 即为的情形。 （2）任何一个边长为的正三角 形均可按图 5 剪拼成一边长为，另一边 长为的矩形。 （3）任何一个一边长为，另一 边长为的矩形均可按图 6 剪拼成一个底 边长为，高为的等腰三角形。 （这时，已经开始有学生拿出纸 片来动手折叠了。 ）进一步引导。 知道了这些事实，再来考察前面 所述的高考题（） 、 （） ，不难得出 如下结论： 结论 1 正三角形纸片可剪拼成体 积取不超过某个数的任意一个数值的正 三棱锥。 剪拼方法：第 1 步，按（1）将 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 正三角形剪拼成个小正三角形。 （为方 便起见，设原正三角形的边长为 1，则 小正三角形的边长为，下同） 。 第 2 步，用一个小正三角形作三 棱锥的底面，对其余个小正三角形均按 （2）剪拼成一边长为，另一边长为的 矩形。 第 3 步，将这个矩形拼成一边长 为，另一边长为的长条矩形。 下转第页 上接第页 第 4 步，将上面的长条矩形剪成 三个一边长为，另一边长为的矩形。 第 5 步，将这三个矩形均按 （3）剪拼成边长为，高为的等腰三角 形。 第 6 步，以第 1 步得到的一个小 正三角形为底，第 5 步得到的三个等腰 梯形为侧面，即构成一个符合（）的 要求的正三棱锥。其体积为，由，知随 着的变化，可取到不大于的最大值的无 穷多个值，且这些值可无限趋向于 0。 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 如当时，0.0147313； 当时，0.0122488； 当时，0.0106078. 结论 2 正三角形纸片可剪拼成体 积不超过某个数的任意一个数值的正三 棱柱。 剪拼方法：在前面第 1 步的基础 上，用两个小正三角形作三棱柱的底面， 对其余个小正三角形，用完全类同于前 面的方法可剪拼出三个一边长为，另一 边长为的矩形。最后用这两个小正三角 形、三个矩形即可构成一个符合（） 的要求的正三棱柱。其体积为，由，知 随着的变化，可取到不大于的最大值的 无穷多个值，且这些值可无限趋向于 0。如 当时，0.015625； 当时，0.0162037； 当时，0.0136718. 结论 3 由结论 1 和结论 2 可知， 随着的变化，得到的正三棱锥的体积既 可以小于正三棱柱的体积，也可以大于 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 正三棱柱的体积。如， 当我们利用多媒体的快速计算功 能把这些结论一一证明过后，课堂的气 氛已经有点热气逼人了，有些学生都还 不满足，问是否还可推出