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-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 相似三角形与动点问题 【基金项目】甘肃省“十三五” 教 育科学规划 2016 年度初中数学动点 问题分析研究课题(课题立项号: GS2016GHB0653)成果. 中国论文网 /9/view-13002729.htm 所谓“ 动点问题” 是指题设图形中, 存在一个或多个动点,它们在线段、射 线或弧线上运动的一类开放性题目.解决 这类问题的关键是动中求静,在变化中 找到不变的性质.下面通过具体的例子说 明. 例 1 如图 1 所示,在平面直角坐 标系内,已知点 A(0,6) ,B(8,0) , 动点 P 从 A 开始在线段 AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 运动,同时动 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 移动.设点 P,Q 运动的时间为 t 秒.当 t 为何值时, APQ 与AOB 相似,并求出此时点 P 的坐标. 解A(0,6) ,B(8,0) , OA=6 ,OB=8. 在 RtAOB 中,AB=62+82=10. 由题意可知 AP=t,AQ=10-2t, 如图 1 所示, APQ=AOB,APQ ABC. APAO=AQAB,即 t6=10-2t10. 解得 t=3011,即 AP=3011. PO=AO-AP=6-3011=3611,即 P0,3611. 如图 2 所示,当 AQP=AOB 时,AQPAOB. APAB=AQAO,即 t10=10- 2t6,解得 t=5013,即 AP=5013. -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 PO=AO-AP=6-5013=2813,即 P0,2813. 综上所述 P0,3611 或 P0,2811. 例 2 如图 3 所示,在 RtABC 中, C=90,AB=10 cm,ACBC=43,cP 从点 A 出发 沿 AB 方向向点 B 运动,速度为 1 cm/s,同时点 Q 从点 B 出发沿 BCA 方向向点 A 运动,速度为 2 cm/s,当一个动点到达终点时,另一个 运动点也随之停止运动.设点 P 的运动 时间为 x(秒) ,PBQ 的面积为 y(cm2) ,当 PBQ 存在时,求 y 与 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值 范围. 图 3 图 4 解设 AC=4x,BC=3x. 在 RtABC 中,由勾股定理知 AC2+BC2=AB2, 即(4x)2+(3x)2=102,解得 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 x=2, 所以 AC=8 cm,BC=4 cm. 如图 3 所示,当 Q 在边 BC 上运动时,过 Q 作 QHAB 于 H. 由题可知 AP=x,则 BP=10- x,BQ=2x. QHAB,QHB=90, QHB=C. B=B,QHBACB. QHAC=QBAB,即 QH8=2x10,故 QH=85x. SPBQ=y=12BP QH=12(10-x) 85x =-45x2+8x(0x3 ). 如图 4 所示,当点 Q 在边 CA 上运动时,过 Q 做 QHAB 于 H. AP=x,BP=10-x,AQ=14-2x. -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 QHAB,QHA=90, QHA=C. A=A,AQH ABC. AQAB=QHBC,即 14- 2x10=QH6, 解得 QH=35(14-2x). y=12PB QH=12(10-2x) 35(14-2x )
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