2011年浙江省高考数学文科卷解析版

2011 年浙江省高考数学文科卷解析版 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. （1）若 ，则1,PxQx A B C DPRPQRCP （2）若复数 ， 为虚数单位，则1zi(1)iz A B C D333i3i 【答案】 A 【解析】： 22(1)1()zzi21ii11ii （3）若实数 x， y 满足不等式组 则 3x+4y 的最小值是 50,7,xy A13 B15 C20 D28 【答案】 A 【解析】：作出可行域， ， 250371xyxy由 得 min341zA故 选 （4）若直线 不平行于平面 ，且 ，则lal A 内的所有直线与异面 B 内不存在与 平行的直线a al C 内存在唯一的直线与 平行 D 内的直线与 都相交 【答案】 B【解析】：直线 不平行于平面 ， 所以 与 相交lll （5）在 中，角 所对的边分 若 ，则,ABC,bcosinAbB2sicosAB A B C 1 D11212 （6）若 为实数，则 “0 0）与双曲线 有公共的焦点， 的一条 21:xyCaba22:4yCx2C 渐近线与以 的长轴为直径的圆相交于 两点，若 恰好将线段 三等分，则1 ,AB1AB （A） （B） 13 （C） （D） 2232a2bb （10）设函数 ，若 为函数 的一个极值点，则下列2,fxabcR1x2fxe 图象不可能为 的图象是yf 数苑网 第 3 页 【答案】 D 【解析】： ，令 则2fxab()xgfe()()xxgfef()xffe ，因为 为函数 的一个极值2(2)x xabceabc1()g 点，所以 是 的一个根，即1x2()0ac2()04()abcaA 于是 ， ，0cbfba224()bcA 则 故 A、B 可能；对于 D， ， ，则 于是12fa010fab0b 出现矛盾，不可能，故选 DA 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分. （11）设函数 ,若 ,则实数 =_k()1fx()2faa 【答案】 【解析】：1 （12）若直线 与直线 互相垂直，则实数 =_250xy60xmym 【答案】 【解析】： ，即112 12,k k直 线 互 相 垂 直 ,(),2m （13）某小学为了解学生数学课程的学习情况，在 3000 名学生中随机抽取 200 名，并统计这 200 名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）.根据频率分布直方图推 测 3000 名学生在该次数学考试中成绩小于 60 分的学生数是_600_ 4 （14）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的 的值是_.k （15）若平面向量 、 满足 ，且以向量 、 为邻边的平行四边形的面积为 ，则 1 12 和 的夹角 的取值范围是_. （16）若实数 满足 ，则 的最大值是_.【答案】,xy21xyy23 【解析】： 2 222()()()1xyxy （17）若数列 中的最大项是第 项，则 =_.【答案】4(4)3nk 【解析】： 则2()nna112()5()()534nan 于是 令 得 ，则 ， 22(1)53(4)0210n101na 数苑网 第 5 页 时递增，令 得 ，则 ， 时递减，故 是最大项，即4n210n10n1na44nk 三、解答题，共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （18） （本题满分 14 分）已知函数 ， ， ， ()sin()3fxAxR0A2 的部分图像，如图所示， 、 分别为该图像的最高点和最低点，点 的坐标为()yfxPQP 1,A （）求 的最小正周期及 的值；()fx （）若点 的坐标为 ， ，求 的值R(1,0)23PRQA 【命题意图】本题主要考查三角函数的图象与性质、三角运算等 基础知识. 【解析】 （）解：由题意得， 26.3T 因为 的图象上， 所以(,)sin()PAyx在 sin(,)1.3 又因为 ，所以026 （）解：设点 Q 的坐标为 0(,)xA 由题意可知 ，得03x4,(,)QA所 以 连接 PQ，在 ，由余弦定理得2,PR中2 229(4)1cos .QA 解得 又23.A0,3.所 以 （19） （本题满分 14 分） 已知公差不为 0 的等差数列 的首项为 ，且 ， ， 成等比数列na)(Ra12a4 6 （）求数列 的通项公式；na （）对 ，试比较 与 的大小*Nnaa23221.1 【命题意图】本题主要考查等差、等比数列的概念以及通项公式，等比数列的求和公式等基础知识， 同时考查运算求解能力及推理论证能力. 【解析】 （）解：设等差数列 的公差为 ，由题意可知nad214()a 即 ，从而211()(3)add21 因为 0,.a所 以 故通项公式 .n （）解：记 2 2211,nnTaa 因 为 所以 2 ()1()()22nnnaa 从而，当 时， ；当0a1nT10,.nT时 （20） （本题满分 14 分）如图，在三棱锥 中， ， 为 的中点， 平面PABCDBCPO ，垂足 落在线段 上ABCOD （）证明： ；PB （）已知 , , , ，求二面角 的大小8432OAP 【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系， 二面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力 【解析】 （）证明：由 AB=AC，D 是 BC 中点，得 ，DBC 又 平面 ABC，得OC 因为 ，所以 平面 PAD，故PAB. （）解：如图，在平面 PAB 内作 于 M，连 CM.PA 因为 平面 BMC，所以 AP CM.,BC得 故 为二面 角 BAPC 的平面角.M 在 22, 41,RtADDB中 得 在 ，POO中 在 中， ，tB22P 数苑网 第 7 页 所以 2236,.PBODBP得 在 2, 5RtAA中 得 又 212cos ,sin33PBB从 而 故 ，同理in4BMA4.GM 因为 所以22C90C 即二面角 BAPC 的大小为 . （21） （本小题满分 15 分）设函数 ，axaxf22ln)( 0 （）求 的单调区间；)(xf （）求所有实数 ，使 对 恒成立a2)(1exfe,1 注： 为自然对数的底数e 【命题意图】本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概 括、推理论证能力. 【解析】 （）解：因为 22()ln.0fxaxax其 中 所以 2)()afx 由于 ，所以 的增区间为 ，减区间为0()fx(0,)a(,)a （）证明：由题意得， 11c即 由（）知 内单调递增，(),fxe在 要使 恒成立，21,e对 只要 ，解得22 ()1fae.ae （22） （本小题满分 15 分）如图，设 P 是抛物线 ： 上的动点.过点 做圆1C2xyP 的两条切线，交直线 ： 于 两点.2C1)3(:2yx l3,AB （）求 的圆心 到抛物线 准线的距离.2M1 8 （）是否存在点 ，使线段 被抛物线 在点 处得切线平分，若存在，求出点 的坐标；PAB1CPP 若不存在，请说明理由. 【命题意图】本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、直线与圆的位置关系，同时考查解析 几何的基本思想方法和运算求解能力.满分 15 分. 【解析】 （）解：因为抛物线 C1 的准线方程为： 14y 所以圆心 M 到抛物线 C1 准线的距离为： |(3)|. （）解：设点 P 的坐标为 ，抛物线 C1 在点 P 处的切线交直线 于点 D.20(,)x l 再设 A， B， D 的横坐标分别为 ,AB 过点 的抛物线 C1 的切线方程为：20(,)x （1）0y 当 时，过点 P（1,1）与圆 C2 的切线 PA 为：01x 5(1)8yx 可得 7,1,5ABDABDxx 当 时，过点 P（1,1）与圆 C2 的切线 PA 为：0x ()yx 可得 DBADBA xx,1,75x 所以 20 设切线 PA， PB 的斜率为 ，则12,k （2）2010:()PAyx （3）2Bkx 将 分别代入（1） ， （2） ， （3）得3y2 220 00121();(,0)DABxxxkk 从而 2012(3).AB 又 ，即 201|xk20010()(3)(3)1xkxkx www.math16