2011年全国高考理科数学试题及答案-湖南

2011 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（理工农医类） 参考公式：（1） ，其中 为两个事件，且 ，()()PAB,()0PA （2）柱体体积公式 ，其中 为底面面积， 为高。VShh （3）球的体积公式 ，其中 为求的半径。34R 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求的。 1.若 ， 为虚数单位，且 ，则（ ）,abRi()aibi A B C D 11,1,1,ab 答案：D 解析：因 ()aiib，根据复数相等的条件可知 ,。 2.设 ， ，则“ ”是1,2M2N1a “ ”则（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分 必要条件 D既不充分又不必要条件 答案：A 解析：因“ ”，即 ，满足“ ”，反1aNM 之“ ”，则 ，或 ，M2=12=a 不一定有“ ”。 3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A B 912918 C D 436 答案：B 解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积 39+2=18V（ ） 。 4.通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 3 3 2 正视图 侧视图 俯视图 图 1 2 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由 算得 22()(nadbcK2210(430)7.865K 附表： 2()Pk 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参照附表，得到的正确结论是（ ） A在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关 ”0.1% B在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C有 以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”9 D有 以上的把握认为“ 爱好该项运动与性别有关” 答案：C 解析：由 27.8635K，而 2(6.35)0.1PK，故由独立性检验的意义可知选 C. 5.设双曲线 的渐近线方程为 ，则 的值为（ ） 21(0)9xya2xya A4 B 3 C2 D1 答案：C 解析：由双曲线方程可知渐近线方程为 ，故可知 。3yxa2 6. 由直线 与曲线 所围成的封闭图形的面积为（ ）,03xcos A B1 C D2323 答案：D 解析：由定积分知识可得 ，故选 D。 333cosin|()2Sxd 7. 设 ，在约束条件 下，目标函数 的最大值小于 2，则 的取1m1 ymxzxmym 值范围为（ ） A B C D(,2)(,)(1,3)(3,) 答案：A 3 解析：画出可行域，可知 在点 取最大值，由 解5zxy1(,)m21m 得 。12m 8.设直线 与函数 的图像分别交于点 ，则当 达到最xt2(),()lnfxgx,MN| 小时 的值为（ ）t A1 B C D12522 答案：D 解析：由题 ， 不妨令 ，则 ，令2|lnMNx(0)x2()lnhx1()2hx 解得 ，因 时， ，当 时， ，()0hx2,0,()0 所以当 时， 达到最小。即 。2|Nt 二填空题：本大题共 8 小题，考生作答 7 小题，每小题 5 分，共 35 分，把答案填在答题 卡中对应题号的横线上。 一、选做题（请考生在第 9、10、11 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 9.在直角坐标系 中，曲线 C1的参数方程为 （ 为参数）在极坐xoycos,1inxy 标系（与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 轴正半轴x 为极轴）中，曲线 的方程为 ，则 与 的交点个数为 2cosin01C2 。 答案：2 解析：曲线 ， ，由圆心到直线的距离221:()1Cxy2:10Cxy ，故 与 的交点个数为 2.|0|d12 10.设 ,则 的最小值为 。,xyR22()(4)xy 答案：9 4 解析：由柯西不等式可知 。2221()(4)(19xy 11.如图 2， 是半圆周上的两个三等分点，直径 ，,AE4BC ,垂足为 D, 与 相交与点 F，则 的长为 。DBCBADA 答案： 3 解析：由题可知， ， ,得 , ，60AOBEC2OAB1D3F 又 ，所以 .23ADC 3FD 二、必做题（1216 题） 12、设 是等差数列 的前 项和，且 ，则nS*()naNn14,7a5_S 答案：25 解析：由 可得 ，所以 。14,71,2nd5(9)2 13、若执行如图 3 所示的框图，输入 ，123,2xx 则输出的数等于 。 答案： 2 解析：由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差， 则 。 222(1)()(3)S 14、在边长为 1 的正三角形 中，设 ，ABC2,3BDCAE 则 。_ADBE 答案： 4 解析：由题 ， ，12CABC13EBCA 所以 。17()()3264ADBE 5 15、如图 4， 是以 为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形，将EFGHO 一颗豆子随机地扔到该圆内，用 A 表示事件“豆子落在正方形 内” ，B 表示事件“豆子落在扇形 （阴影部分）内” ，则HE （1） ；（2 ）=_PA（ ） =_P（ B|） 答案：（1） ；（2 ）14（ ） 解析：（1）由几何概型概率计算公式可得 ；2=SA正圆（ ） （2）由条件概率的计算公式可得 。 142PB（ ）（ |） （ ） 16、对于 ，将 表示为 ，*nN121002 2kkkkknaaa 当 时， ，当 时， 为 0 或 1.记 为上述表示中 为 0 的个数，0i1iaii ()Ini （例如 ， ：故 ）则022141,42 （1） （2）()_I7()1_In 答案：（1）2；（2） 093 解析：（1）因 ，故 ；2101+2(1)2I （2）在 2 进制的 位数中，没有 0 的有 1 个，有 1 个 0 的有 个，有 2 个 0()k 1kC 的有 个，有 个 0 的有 个，有 个 0 的有 个。故对所有 21kCm1mkCk1 进制为 位数的数 ，在所求式中的 的和为：n()2In 。01211123kkkk 又 恰为 2 进制的最大 7 位数，所以 。7277()011239Ink 三解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分 12 分）在 中，角 所对的边分别为 ，且满足ABC, ,abc .sincosAa （I）求角 的大小；C 6 （II）求 的最大值，并求取得最大值时角 的大小3sinco()4AB,AB 解析：（I）由正弦定理得 sinsico.CAC 因为 所以0,0. s0,tan1,4C从 而 又 所 以 则 （II）由（I）知 于是34 sinco()3sinco()3s2().610,46623ABAA 从 而 当 即 时 取最大值 22sin()6A 综上所述， 的最大值为 2，此时3sico()4B5,.312B 18. 某商店试销某种商品 20 天，获得如下数据： 日销售量（件） 0 1 2 3 频数 1 5 9 5 试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变） ，设某天开始营业时有该 商品 3 件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于 2 件，则当天进货补充 至 3 件，否则不进货，将频率视为概率。 (）求当天商品不进货的概率； （）记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求 X 的分布列和数学期望。 解析：（I）P（“当天商店不进货” ）=P（“当天商品销售量为 0 件” ） +P（“当天商品销售量 1 件” ）= 。53201 （II）由题意知， 的可能取值为 2，3. ；(2)(“)4Px当 天 商 品 销 售 量 为 件3+(“)+(1953“)+204PP当 天 商 品 销 售 量 为 0件 当 天 商 品 销 售 量 为 2件 当 天 商 品 销 售量 为 件 故 的分布列为X 2 3 7 P1434 的数学期望为 。X312+=EX 19.（本题满分 12 分）如图 5，在圆锥 中，已知 的直径PO2,OA 的中点A2,BCDC是 的 中 点 为 （I）证明： ;POA平 面 平 面 （II）求二面角 的余弦值 解：（I）连接 ，因为 , 为的 中点， 所以 .AC 又 因,.POOACP底 面 底 面 所 以 为 内的两条相交直线，所以,D是 平 面 P 而 ，所以AC平 面 。 AC平 面 。O平 面 平 面 （II）在平面 中，过 作 于 ，由（I ）知， ,PDOHPDPODAC平 面 平 面 所以 又 所以 .,HAC平 面 ,AC平 面 H 在平面 中，过 作 连接 ,则有 ，G于 AG平 面 从而 ，所以 是二面角 的平面角PBP 在 2,sin45RtODA中 在 210, 5+2PODtPH中 在 26, 31ARtOAG中 8 在 ,所以 。 105,sin63OHRtOHGG中 10cos5OGH 故二面角 的余弦值为 。BPAC105 20. 如图 6，长方形物体 E 在雨中沿面 P（面积为 S）的垂直方向作匀速移动， 速度为 ，雨速沿 E 移动方向的分速度为 。E 移动时单位时间内(0)v()cR 的淋雨量包括两部分：（1）P 或 P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假 设其值与 S 成正比，比例系数为 ；（2）其它面的淋雨量之和，其值c10 为 ，记 为 E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离 d=100，面积 S= 时。2y 32 （）写出 的表达式y （）设 0v10,0c 5，试根据 c 的不同取值范围，确定移动速度 ，使v 总淋雨量 最少。 解析：（I）由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为 ，31|20vc 故 .10315(|)(3|10)2yvcvc （II）由(I)知，当 时，5(310)()cyvv； 当 时，10cv5510(3)yvc. 9 故 。 5(310),10cvcvy (1)当 时， 是关于 的减函数.故当 时， 。103cyv10vmin320cy (2) 当 时，在 上， 是关于 的减函数；在 上， 是关于5(0,cy(,1y 的增函数；故当 时， 。vvmin5 A.(本小题满分 13 分） 如图 7，椭圆 21:(0)xyCab 的离心率为 32 ， x轴被曲线 22:Cyxb 截得的线段长等于 的长半轴长。 （）求 1， 2的方程； （）设 C与 y轴的交点为 M，过坐标原点 O 的 直线 l与 2相交于点 A,B,直线 MA,MB 分别与1 相交与 D,E. （i）证明： DE； (ii)记MAB,MDE 的面积分别是 .问：是否12,S 存在直线 l,使得 2 1S = 3 7 ? 请说明理由。 解析：（I）由题意知 ，从而2cea，又 ，解得 。2aba2,1b 10 故 1C， 2的方程分别为 。 221,4xyx （II） （i）由题意知，直线 l的斜率存在，设为 ，则直线 l的方程为 .kykx 由 得 ，21 ykx20kx 设 ，则 是上述方程的两个实根，于是 。2(,)(,)ABy12, 1212,xkx 又点 的坐标为 ，所以M02 21212112()()1ABykxkxxkkx 故 ，即 DE。 （ii）设直线的斜率为 ，则直线的方程为 ，由 解得1k1ykx12ykx 或 ，则点的坐标为01xy12 21(,) 又直线 的斜率为 ，同理可得点 B 的坐标为 .MB1k21(,)k 于是 21 1211| |.2 |SAk 由 得 ，1240ykx211(4)80x 解得 或 ，则点 的坐标为 ；1xy 214kD21184(,)k 又直线的斜率为 ，同理可得点 的坐标1kE 2112(,)4k 11 于是 2123()|1|4kSMDE 因此 2112(47)6k 由题意知， 解得 或 。211()32214k21 又由点 的坐标可知， ，所以,AB121kk3.2k 故满足条件的直线 存在，且有两条，其方程分别为 和 。l yxx 22.（本小题满分 13 分） 已知函数 ( ) = ，g ( )= + 。fx3x （）求函数 h ( )= ( )-g ( )的零点个数，并说明理由；f （）设数列 满足 ， ，证明：存在常*naN10)a1()(nnfag 数 M,使得对于任意的 ，都有 .nM 解析：（I）由 知， ，而 ，且3()hxx,)()0h ，则 为 的一个零点，且 在 内有(1)0,260h(x()x12（ ， ） 零点，因此 至少有两个零点()x 解法 1： ，记 ，则 。 1223hx122()3x32()64x 当 时， ，因此 在 上单调递增，则 在 内(0,)x()00,)(0,) 至多只有一个零点。又因为 ，则 在 内有零点，所3(1),()x3,1) 以 在 内有且只有一个零点。记此零点为 ，则当 时，()x0,)11(0,x 12 ；当 时， ；1()0x1(,)x1()0x 所以，