2017年山东省聊城市高考数学一模试卷（理科）含答案解析

2017 年山东省聊城市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题 1已知复数 z 满足（ 1+i） z=1+3i（ i 是虚数单位），则 z 的共轭复数为（ ） A 1 i B 1+i C 2 i D 2+i 2已知集合 A=x|x 1| 2， B=x|x=2n 1， n Z，则 A B=（ ） A 1， 3 B 0， 2 C 1 D 1， 1， 3 3已知向量 =（ 1， 2）， =（ 2， m）， =（ 7， 1），若 ，则 =（ ） A 8 B 10 C 15 D 18 4已知两条直线 m， n 和两个不 同平面 ， ，满足 ， =l， m ， n ，则（ ） A m n B m n C m l D n l 5 “a+b=1”是 “直线 x+y+1=0 与圆（ x a） 2+（ y b） 2=2 相切 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6已知一个样本为 x， 1， y， 5，若该样本的平均数为 2，则它的方差的最小值为（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 7执行如图所示的程序框图，若输入 n=10，则输出 S=（ ） A B C D 8某几 何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 16 B 16 C 8 D 8 9过双曲线 =1（ a 0， b 0）的左焦点 F，作圆 x2+的一条切线，切点为 E，延长 双曲线的右支交于点 P，若 E 是线段 中点，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 10已知数列 等差数列，且 1， 5， 8，设数列 前 n 项和为 最大值为 M，最小值为 m，则 M+m=（ ） A 500 B 600 C 700 D 800 二、填空题 11已知函数 f（ x）是定义域为 R 的奇函数，当 x 0， 1时， f（ x） =x+1），则 f（ 1 ） = 12在区间 1， 1上任取一个数 a，则曲线 y= 点 x=a 处的切线的倾斜角为锐角的概率为 13若（ x ） n 的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等，则直线 y=y=成的封闭图形的面积为 14已知函数 f（ x） =2x+）（ x R， 0， ）的部分图象如图所示，若将函数 f（ x）的图象向右平移 个单位得到 函数 g（ x）的图象，则函数 g（ x）的解析式是 15对于函数 f（ x），方程 f（ x） =x 的解称为 f（ x）的不动点，方程 ff（ x） =f（ x）的稳定点 设函数 f（ x）的不动点的集合为 M，稳定点的集合为 N，则 M N； 函数 f（ x）的稳定点可能有无数个； 当 f（ x）在定义域上单调递增时，若 f（ x）的稳定点，则 f（ x）的不动点； 上述三个命题中，所有真命题的序号是 三、解答题 16（ 12 分）在锐角 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 （ ）求角 C； （ ）若 c=2 ，求 长的取值范围 17（ 12 分）在四棱锥 P ， E 为棱 中点， 平面 D 0， C=2， ， F 为棱 中点 （ ）求证： 平面 （ ）若二面角 F C 为 60，求直线 平面 成角的正切值 18（ 12 分）设 别是数列 前 n 项和，已知对于任意 n N*，都有 3，数列 等差数列，且 5， 9 （ ）求数列 通项公式； （ ）设 ，数列 前 n 项和为 使 2017 成立的 n 的取值范围 19（ 12 分）以 “赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美 ”为宗旨的中国诗词大会，是央视科教频道推出的一档大型演播室文化益智节目，每季赛事共分为10 场，每场分个人追逐赛与擂主争霸赛两部分，其中擂主争霸赛在本场个人追逐赛的优胜者与上一场擂主之间进行，一共备有 9 道抢答题，选手抢到并答对获得 1 分，答错对方得 1 分，当有一个选手累计得分达到 5 分时比赛结束，该选手就是本场的擂主，在 某场比赛中，甲、乙两人进行擂主争霸赛，设每个题目甲答对的概率都为 ，乙答对的概率为 ，每道题目都有人抢答，且每人抢到答题权的概率均为 ，各题答题情况互不影响 （ ）求抢答一道题目，甲得 1 分的概率； （ ）现在前 5 题已经抢答完毕，甲得 2 分，乙得 3 分，在接下来的比赛中，设甲的得分为 ，求 的分布列及数学期望 20（ 13 分）已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，一个顶点在抛物线 y 的准线上 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）设 O 为坐标原点， M， N 为椭圆上的两个不同的动点，直线 斜率分别为 否存在常数 P，当 时 面积为定值；若存在，求出 P 的值，若不存在，说明理由 21（ 14 分）已知函数 f（ x） =（ x2+a） a 是常数， e=是自然对数的底数），曲线 y=f（ x）与 x 轴相切 （ ）求实数 a 的值； （ ）设方程 f（ x） =x2+x 的所有根之和为 S，且 S （ n， n+1），求整数 n 的值； （ ）若关于 x 的不等式 x） +2x+2 2（ ， 0）内恒成立，求实数m 的取值范围 2017 年山东省聊城市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题 1已知复数 z 满足（ 1+i） z=1+3i（ i 是虚数单位），则 z 的共轭复数为（ ） A 1 i B 1+i C 2 i D 2+i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出 【解答】 解：（ 1+i） z=1+3i（ i 是虚数单位）， （ 1 i）（ 1+i） z=（ 1 i）（ 1+3i），化为 2z=4+2i， z=2+i 则 z 的共轭复数为 2 i 故选： C 【点评】 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力 ，属于基础题 2已知集合 A=x|x 1| 2， B=x|x=2n 1， n Z，则 A B=（ ） A 1， 3 B 0， 2 C 1 D 1， 1， 3 【考点】 交集及其运算 【分析】 由绝对值不等式的解法求出 A，由条件和交集的运算求出 A B 【解答】 解：由题意知， A=x|x 1| 2=x| 1 x 3= 1， 3， 又 B=x|x=2n 1， n Z是奇数集， 则 A B= 1， 1， 3， 故选 D 【点评】 本题考查交集及其运算，以及绝对值不等式的解法，属于基础题 3已知向量 =（ 1， 2）， =（ 2， m）， =（ 7， 1），若 ，则 =（ ） A 8 B 10 C 15 D 18 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 利用向量的坐标运算性质、向量公式定理即可得出 【解答】 解： 向量 =（ 1， 2）， =（ 2， m）， ， m 2 2=0， 解得 m= 4， =（ 2， 4）， =（ 7， 1）， =2 7 4 1=10， 故选： B 【点评】 本题考查了向量的坐标运算性质、向量公式定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 4已 知两条直线 m， n 和两个不同平面 ， ，满足 ， =l， m ， n ，则（ ） A m n B m n C m l D n l 【考点】 空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 利用直线与平面平行于垂直的关系，平面与平面垂直的关系判断选项即可 【解答】 解：两条直线 m， n 和两个不同平面 ， ，满足 ， =l， m ，n ，则 m， n 的位置关系是，平行，相交或异面，直线 n 与 l 的位置关系是垂直，如图： 故选： D 【点评】 本题考查空间直线与平面，平面与平面的 位置关系的判断与应用，考查空间想象能力 5 “a+b=1”是 “直线 x+y+1=0 与圆（ x a） 2+（ y b） 2=2 相切 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 由直线 x+y+1=0 与圆（ x a） 2+（ y b） 2=2 相切可得，从而可得 a， 可作出判断 【解答】 解：直线 x+y+1=0 与圆（ x a） 2+（ y b） 2=2 相切 = ， |a+b+1|=2， a+b=1 或 a+b= 3， “a+b=1”是 “直线 x+y+1=0 与圆（ x a） 2+（ y b） 2=2 相切 ”的充分不必要条件， 故选： A 【点评】 本题以充分与必要条件的判断为载体，主要考查了直线与圆相切的性质的应用 6已知一个样本为 x， 1， y， 5，若该样本的平均数为 2，则它的方差的最小值为（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 【考点】 极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数 【分析】 求出 x+y=2，求出 最小值，根据方差的定义求出其最小值即可 【解答】 解：样本 x， 1， y， 5 的平均数为 2， 故 x+y=2，故 1， 故 （ x 2） 2+（ y 2） 2+10= + （ x2+ + 2+ 2=3， 故方差的最小值是 3， 故选： C 【点评】 本题考查了求数据的方差和平均数问题，考查不等式的性质，是一道基础题 7执行如图所示的程序框图，若输入 n=10，则输出 S=（ ） A B C D 【考点】 程序框图 【分析】 算法的功能是求 S= + + + 的值，根据条件确定跳出循环的 i 值，利用裂项相消法计算输出 S 的值 【解答】 解：由程序框图知：算法的功能是求 S= + + + 的值 ， 输入 n=10， 跳出循环的 i 值为 12， 输出 S= + + + = + + + =（ 1 ） = 故选： B 【点评】 本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键，属于基础题 8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 16 B 16 C 8 D 8 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥 【解答】 解：由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱 锥 该几何体的体积 V= =8 故选： D 【点评】 本题考查了三棱台的三视图的有关知识、圆柱与四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 9过双曲线 =1（ a 0， b 0）的左焦点 F，作圆 x2+的一条切线，切点为 E，延长 双曲线的右支交于点 P，若 E 是线段 中点，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 通过双曲线的特点知原点 O 为两焦点的中点，利用中位线的性质，求出 长度及判断出 直 于 过勾股定理得到 a， c 的关系，进而求出双曲线的离心率 【解答】 解：如图，记右焦点为 F，则 O 为 中点， E 为 中点， 的中位线， 2OE=a， E 为切点， 点 P 在双曲线上， 2a， F+2a=3a， 在 ，有： F2=， 9a2+ 10 离心率 e= = = ， 故选： A 【点评】 本题主要考查双曲线的简单性质、圆的方程等基础知 识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，在圆锥曲线中，求离心率关键就是求三参数 a， b， c 的关系，注意解题方法的积累，属于中档题 10已知数列 等差数列，且 1， 5， 8，设数列 前 n 项和为 最大值为 M，最小值为 m，则 M+m=（ ） A 500 B 600 C 700 D 800 【考点】 数列的应用 【分析】 利用已知条件求出公差的最大值以及公差的最小值，即可求解 最大值为 M，最小值为 m 推出结果 【解答】 解：数列 等差数列，且 1， 5， 8，设数列 前 n， 最大值为 M，最小值为 m， 可知公差最大值时， M 最大，公差最小时， m 最小， 可得 ， ，此时公差 d=4 是最大值， M= 15+ =435， ， ，此时 d=1， m= 15 =165 M+m=435+165=600 故选： B 【点评】 本题考查等差数列的性质的应用，考查转化思想以及计算能力，判断数列和何时取得最值是解题的关键 二、填空题 11已知函数 f（ x）是定义域为 R 的奇函数，当 x 0， 1时， f（ x） =x+1），则 f（ 1 ） = 【考点】 抽象函数及其应用 【分析】 根据已知，先求出 f（ 1）的值，进而根据奇函数的性质，可得答案 【解答】 解： 当 x 0， 1时， f（ x） =x+1）， f（ 1） = ， 又 函数 f（ x）是定义域为 R 的奇函数， f（ 1 ） = f（ 1） = ， 故答案为： 【点评】 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，难度中档 12在区间 1， 1上任取一个数 a，则曲线 y= 点 x=a 处的切线的倾斜角为锐角的概率为 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求得函数的导数，可得曲线在 x=a 处切线的斜率，由题意可得斜率大于0，解不等式可得 a 的范围，再由几何概率的公式，求出区间的长度相除即可得到所求 【解答】 解： y= 的导数为 y=2x， 则曲线 y= 点 x=a 处的切线的斜率为 k=2a， 倾斜角为锐角，即为 2a 0， 解得 a 或 a 0， 由 1 a 1，可得 a 1 或 1 a 0， 则切线的倾斜角为锐角的概率为 = 故 答案为： 【点评】 本题考查导数的应用：求切线的斜率和倾斜角，考查不等式的解法，同时考查几何概率的求法，注意运用区间的长度，考查运算能力，属于中档题 13若（ x ） n 的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等，则直线 y=y=成的封闭图形的面积为 【考点】 二项式系数的性质；定积分 【分析】 先确定 n 的值，再求出直线 y=曲线 y=点坐标，利用定积分求得直线 y=曲线 y=成图形的面积 【解答】 解： （ x ） n 的展开式中第 2 项与第 4 项的二项式系数相等， n=4， 由直线 y=4x 与曲线 y=得交点坐标为（ 0， 0），（ 4， 16）， 直线 y=曲线 y=成的封闭区域面积为 （ 4x 2 = 故答案为： 【点评】 本题主要考查二项式定理的应用，利用定积分求曲边形的面积，属于基础题 14已知函数 f（ x） =2x+）（ x R， 0， ）的部分图象如图所示，若将函数 f（ x）的图象向右平移 个单位得到函数 g（ x）的图象，则函数 g（ x）的解析式是 g（ x） =22x+ ） 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【分析】 通过函数的图象求出 A，求出函数的周期，利用周期公式求出 ，函数过（ ， 2），结合 的范围，求出 ，推出函数的解析式，通过函数图象的平移推出结果 【解答】 解： 由图象知 A=2， T= （ ） = ， T=2， 2 （ ） +=2， 可得： 2 （ ） +=2 k Z， ， 得： = ，可得： f（ x） =22x+ ）， 则图象向右平移 个单位后得到的图象解析式为 g（ x） =2（ x ）+ =22x+ ）， 故答案为： g（ x） =22x+ ） 【点评】 本题考查学生的识图能力，函数的解析式的求法，图象的变换，考查计算能力，属于基本知识的考查 15对于函数 f（ x），方程 f（ x） =x 的解称为 f（ x）的不动点，方程 ff（ x） =f（ x）的稳定点 设函数 f（ x）的不动点的集合为 M，稳定点的集合为 N，则 M N； 函数 f（ x）的稳定点可能有无数个； 当 f（ x）在定义域上单调递增时，若 f（ x）的稳定点，则 f（ x）的不动点； 上 述三个命题中，所有真命题的序号是 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 若 M=，则 M N 显然成立；若 M ，由 t M，证明 t N，说明 正确；举例说明 正确；利用反证法说明 正确 【解答】 解： 若 M=，则 M N 显然成立； 若 M ，设 t M，则 f（ t） =t， f（ f（ t） =f（ t） =t， t N， 故 M N， 正确； 取 f（ x） =x，则方程 f（ x） =x 的解有无数个，即不动点有无数个， 不动点一定是稳定点， 函数 f（ x）的稳定点可能有无数 个，故 正确； 设 f（ x）的稳定点，则 f（ f（ = f（ f（ x）是 R 上的增函数， 则 f（ f（ f（ f（ 矛盾； 若 f（ f（ x）是 R 上的增函数， 则 f（ f（ f（ ， f（ 盾 故 f（ = 函数 f（ x）的不动点，故 正确 正确命题的序号是 故答案为： 【点评】 本题考查命题的真假判断与应用，考查函数单调性的性质，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题 三、解答题 16（ 12 分）（ 2017聊城一模）在锐角 ，角 A， B， C 的对边分别为a， b， c，且 （ ）求角 C； （ ）若 c=2 ，求 长的取值范围 【考点】 正弦定理 【分析】 （ ）由正弦定理及两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理可得得 ，从而解得 C 的值 （ ）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得 a+b+c=2 +4 A+ ），利用 A 的范围，利用正弦函数的性质可求 A+ ）的范围，即可得解 【解答 】 （本题满分为 12 分） 解：（ ）在 ，由正弦定理，可得 （ 2 分） A+B） =2 （ 4 分） ，故 C= ； （ 6 分） （ ）由正弦定理可得 ， 于是， a+b+c=2 +4（ =2 +4 A） =2 +4 A+ ）， （ 8 分） 锐角 ， C= ， A （ ， ）， A+ （ ， ）， A+ ） （ ， 1， 可得： a+b+c （ 6+2 ， 6 ， （ 11 分） 长的取值范围为：（ 6+2 ， 6 ， （ 12 分） 【点评】 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理，在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 17（ 12 分）（ 2017聊城一模）在四棱锥 P ， E 为棱 中点，平面 0， C=2， ， F 为棱 中点 （ ）求证： 平面 （ ）若二面角 F C 为 60，求直线 平面 成角的正切值 【考点】 直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）连接 点 M，连接 明 中位线，得出 明 面 （ ）证明 平面 E 为坐标原点， P 为 x、 y、 z 轴，建立空间直角坐标系，设 PE=m，表示出 、 ，求出平面一个法向量 ，取平面 一个法向量 ，利用 ， 是二面角的余弦值，求出直线 平面 成角的正切值 【解答】 解：（ ） 证明：连 接 点 M，连接 E， C， 又 C， 线段 中位线， 面 （ ） C， 四边形 平行四边形， 又 0， 四边形 矩形， 又 平面 以 E 为坐标原点， x， y， z 轴，建立空间直角坐标系， 如图所示， 设 PE=m，则 E（ 0， 0， 0）， B（ 3， 0， 0）， P（ 0， 0， m）， C（ 3， 2， 0）， F（ ， 1， ）， =（ 3， 0， 0）， =（ ， 1， ）； 设平面 一个法向量为 =（ x， y， z）， 由 ，得 ； 令 z=1，得 =（ 0， m， 1）， 取平面 一个法向量为 =（ 0， 0， 1）； ， = = = ， 由二面角 F C 为 60，得 = ，解得 m=2 ； 平面 是直线 平面 成角， 在 ， = ， 直线 平面 成角的正切值为 【点评】 本题考 查了空间中直线与平面的位置关系以及线面角、二面角的计算问题，是综合性题目 18（ 12 分）（ 2017聊城一模）设 别是数列 前 n 项和，已知对于任意 n N*，都有 3，数列 等差数列，且 5， 9 （ ）求数列 通项公式； （ ）设 ，数列 前 n 项和为 使 2017 成立的 n 的取值范围 【考点】 数列递推式；数列的求和 【分析】 （ I）由 3，可得 n=1 时， 3，解得 n 2 时， 31=21+3，可得 1，利用等比数列的通项公式可得 等差数列 公差为 d，由 5， 9可得 5d=25， d=19，联立解出即可得出 （ （ I）可得： = = = ，利用“裂项求和 ”方法可得 于 0，故数列 调递增，即可得出 【解答】 解：（ I）由 3，可得 n=1 时， 3，解得 n 2 时，31=21+3，可得 331=221=2得 1， 数列 等比数列，公比为 3，首项为 3 n 设等差数列 公差为 d， 5， 9 5d=25， d=19， 联立解得 ， d=2 +2（ n 1） =2n 1 （ （ I）可得： = = = ， 数列 前 n 项和为 + + + = 3， 由于 0， 数列 调递增， 2017， 184 2017 使 2017 成立的 n 的取值范围是 n 8 【点评】 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式、 “裂项求和 ”方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 19（ 12 分）（ 2017聊城一模）以 “赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美 ”为宗旨的中国诗词大会，是央视科教频道推出的一档大型演播室文化益智节目，每季赛事共分为 10 场，每场分个人追逐赛与擂主争霸赛两部分，其中擂主争霸赛在本场个人追逐赛的优胜者与上一场擂主之间进行，一共备有 9 道抢答题，选手抢到并答对获得 1 分，答错对方得 1 分，当有一个选手累计得分达到 5 分时比赛结 束，该选手就是本场的擂主，在某场比赛中，甲、乙两人进行擂主争霸赛，设每个题目甲答对的概率都为 ，乙答对的概率为 ，每道题目都有人抢答，且每人抢到答题权的概率均为 ，各题答题情况互不影响 （ ）求抢答一道题目，甲得 1 分的概率； （ ）现在前 5 题已经抢答完毕，甲得 2 分，乙得 3 分，在接下来的比赛中，设甲的得分为 ，求 的分布列及数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ I）设 “抢答一道题目，甲得 1 分 ”为事件 A，则事件 A 发生当且仅当甲抢到答题权后答对或乙抢到答题权后 答错利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出 （ 接下来的比赛中，甲的得分为 取值为 0， 1， 2， 3 P（ =0） = ，P（ =1） = ， P（ =2） = ， P（ =3）=1 P（ =0） P（ =1） P（ =2） 【解答】 解：（ I）设 “抢答一道题目，甲得 1 分 ”为事件 A，则事件 A 发生当且仅当甲抢到答题权后答对或乙抢到答题权后答错 P （ A ）= + = （ 接下来的比赛中，甲的得分为 取值为 0， 1， 2， 3 P（ =0） = = ， P（ =1） = = ， P（ =2） = = ， P（ =3） =1 = 的分布列： 0 1 2 3 P +1 +2 +3 = 【点评】 本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 20（ 13 分）（ 2017聊城一模）已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，一个顶点在抛物线 y 的准线上 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）设 O 为坐标原点， M， N 为椭圆上的两个不同的动点，直线 斜率分别为 否存在常数 P，当 时 面积为定值；若存在，求出 P 的值，若不存在，说明理由 【考点】 直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程 【分析】 （ ）由椭圆的离心率为 ，一个顶点在抛物线 y 的准线上，列出方程组，求出 a=2， b=1，由此能求出椭圆 C 的方程 （ ）当直线 在斜率时，设其方程为 y=kx+m，（ m 0），由 ，得（ 4） 4=0，由此利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式，求出 存在常数 P，当 时 面积为定值 1；当直 线 存在斜率时，若 ，则 | ， d= ，此时 S 由此求出存在常数 p= ，当 p 时， 面积为定值 【解答】 解：（ ） 椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，一个顶点在抛物线 y 的准线上 y 的准线方程为 y= 1， ， 解得 a=2， b=1， 椭圆 C 的方程为 =1 （ ）当直线 在斜率时，设其方程为 y=kx+m，（ m 0）， 由 ，消去 y，得（ 4） 4=0， 设 M（ N（ ，则 ， ， | = = ， 点 O 到直线 y=kx+m 的距离 d= ， = =2 ， = = = = ， 设 =p，则 4 1 4p） p， 于是 ， 由 S 定值，得 为定值， 从而 4p+1=0，解得 p= ，此时， S 当直线 存在斜