第1节随机事件

1654年 ,一个名叫 梅累的骑士就 “ 两个赌徒约定赌若干局 , 且谁先赢 c 局便算赢家 , 若在一赌徒胜 a 局 ( a c ),另一赌徒胜 b局 (b c)时便终止赌博 , 问应如何分赌本 ” 为题求教于帕斯卡 , 帕斯卡与费马通信讨论这一问题 , 于 1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念数学期望 .概率论的诞生及应用1. 概率论的诞生12. 概率论的应用概率论是数学的一个分支 , 它研究随机现象的数量规律 . 概率论的广泛应用几乎遍及所有的科学领域 , 例如天气预报 、 地震预报 ， 产品的抽样调查，保险费率计算，药物疗效评价 ， 在通讯工程中可用以提高信号的抗干扰性 、 分辨率等等 .23第一节4在我们所生活的世界上，充满了不确定性从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化 我们无时无刻不面临着不确定性和随机性 .不确定性 5在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象 .“太阳从东边升起 ”,1. 确定性现象 “同性电荷必然互斥 ”,“水从高处流向低处 ”,实例自然界所观察到的现象 : 确定性现象、 随机现象随机现象 6在一定条件下可能出现也可能不出现 的现象称为随机现象 .实例 1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况 .”2. 随机现象 “函数在间断点处不存在导数 ” ，等等 .结果有可能 出现正面 也可能 出现反面 .确定性现象的特征 条件完全决定结果7结果有可能为 :“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”.实例 3 “抛掷一枚骰子，观察出现的点数 .”实例 2 “用同一门炮向同一目标发射同一种炮弹多发 , 观察弹落点的情况 .”结果 : 弹落点会各不相同 .8实例 4 “从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品 .”其结果可能为 :正品 、 次品 .实例 5 “过马路交叉口时 ,可能遇上各种颜色的交通指挥灯 .”9实例 6 “出生的婴儿可能是 男 , 也可能是 女 .”实例 7 “明天的天气可能是 晴 , 也可能是 多云或 雨 ”等都为随机现象 .随机现象的特征 条件不能完全决定结果10从亚里士多德时代开始，哲学家们就已经认识到随机性在生活中的作用，他们把随机性看作破坏生活规律、超越了人们理解能力范围的东西 . 他们没有认识到有可能去研究随机性，或者是去测量不定性 .11将 不定性数量化 ，来尝试回答这些问题，是直到 20世纪初叶才开始的 . 还不能说这个努力已经十分成功了，但就是那些已得到的成果，已经给人类活动的一切领域带来了一场革命 .这场革命为研究新的设想、发展自然科学知识、繁荣人类生活，开拓了道路 . 而且也改变了我们的思维方法，使我们能大胆地探索自然的奥秘 .12下面我们就来开始一门 “将不定性数量化 ” 的 课程的学习，这就是13概率论的研究对象：概率论是研究什么的？概率论是研究什么的？概率论概率论 研究和揭示随机现象研究和揭示随机现象的统计规律性的科学的统计规律性的科学随机现象的统计规律性14当人们在一定的条件下对它加以观察或进行试验时，观察或试验的结果是多个可能结果中的某一个 . 而且在每次试验或观察前都无法确知其结果，即呈现出偶然性 . 或者说，出现哪个结果 “凭机会而定 ”.什么是随机现象什么是随机现象 ?带有随机性、偶然性的现象 .随机现象的特点15随机现象是不是没有规律可言随机现象是不是没有规律可言 ?No！在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性 .16例如 :一门火炮在一定条件下进行射击，个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差，但大量炮弹的弹着点则表现出一定的规律性，如一定的命中率，一定的分布规律，等等 . 17又如 :在一个容器内有许多气体分子，每个气体分子的运动存在着不定性，无法预言它在指定时刻的动量和方向 . 但大量分子的平均活动却呈现出某种稳定性，如在一定的温度下，气体对器壁的压力是稳定的，呈现 “ 无序中的规律 ”.18再如 :测量一物体的长度，由于仪器及观察受到环境的影响，每次测量的结果可能是有差异的 . 但多次测量结果的平均值随着测量次数的增加逐渐稳定于一个常数，并且诸测量值大多落在此常数的附近，越远则越少，因而其分布呈现 “ 两头小，中间大，左右基本对称 ” 的状况 .19随机试验随机现象是通过随机试验来研究的 .问题 什么是随机试验 ?如何来研究随机现象 ?20从观察试验开始研究随机现象，首先要对研究对象进行观察试验 . 这里的试验，指的是随机试验 .一、随机试验与事件21例如，在掷骰子试验中，“掷出 1点 ”掷出 2点22在概率论中 ， 把具有以下三个特征的试验称为 随机试验 .1. 可以在相同的条件下重复地进行 ;2. 每次试验的可能结果不止一个 ， 并且能事先明确试验的所有可能结果 ;3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现 .23E1: 抛一枚硬币，分别用 “H” 和 “T” 表示出正面和反面 ;E2: 将一枚 硬币连 抛三次，考 虑 正反面出现的情况；E3: 将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数 ;E4: 掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；E5： 记录某网站一分钟内受到的点击次数；E6： 在一批灯泡中任取一只，测其寿命 ；E7：任选一人，记录他的身高和体重 .随机试验的例子24二、样本空间与事件现代 集合论 为表述随 机试 验提供了一个方便的工具 .我们把随机试验的每个基本结果称为 基本事件 或 样本点 ，记作 e 或 . 全体样本点的集合称为样本空间 . 样本空间用 或 S 表示 .如果试验是将一枚硬币抛掷两次，则样本空间由如下四个样本点组成： =(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)25样本空间在如下意义上提供了一个理想试验的模型：在每次试验中必有一个且仅有一个样本点出现 .如果试验是 测试某灯泡的寿命 ：则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界，所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，故样本空间为 = t ： t 026定义 随机试验中每一种可能的结果，称为 随机事件 ，简称 事件 .记作 A、 B、 C 等 .随机事件任何事件均可表示为样本空间的某个子集 .为 了 讨论问题 方便，我 们 把必然事件和不可能事件也看成是特殊的随机事件 . 每次 试验 中都一定出 现 的事件，称做 必然事件 ，记 作 ；任何一次 试验 中都不会出 现 的事件，称做 不可能事件 ， 记 作 ；27例如，掷一颗骰子一次，观察出现的点数 . = 1,2,3,4,5,6 样本空间：事件 B就是 的一个子集 .事件 B: 出现奇数点 .B = 1,3,5“掷