二次型的规范型唯一吗

二次型的规范型唯一吗篇一：二次型小结第五章 二次型(小结) 一、二次型与矩阵 1. 基本概念 二次型;二次型的矩阵和秩;非退化线性替换;矩阵的合同. 2. 基本结论 (1) 非退化线性替换把二次型变为二次型. (2) 二次型 f(x1,x2,?,xn)?X?AX可经非退化的线性替换 X?CY化为二次型 f?(y1,y2,?,yn)?Y?AY?B?C?AC. (3) 矩阵的合同关系满足反身性、对称性和传递性. 二、标准形 1. 基本概念 二次型的标准形;配方法. 2. 基本定理 (1) 数域 P上任意一个二次型 f(x1,x2,?,xn)都可经过非退化的线性替换 X?CY化 222 为标准形式 d1y1. ?d2y2?dnyn (2) 在数域 P上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 三、唯一性 1. 基本概念 复二次型的规范形;实二次型的规范形,正惯性指数、负惯性指数、符号差. 2. 基本定理 (1) 任一复二次型 f(x1,x2,?,xn)都可经过非退化的线性替换 X?CY化为唯一的规范 22形式 z1?z2?zr2,r?f的秩. 因而有:两个复对称矩阵合同?它们的秩相等. (2) 惯性定律:任一实二次型 f(x1,x2,?,xn)都可经过非退化线性替换 唯一的规范形式 X?CY 化为 22 的秩, z12?z2p?zp?1?zr,r?f p 为 f(x1,x2,?,xn)的惯性指数.因而两个 n元实二次型可经过非退化线性替换互化?它们分别有相同的秩和惯性指数. (4) 实二次型的标准形式中系数为正的平方项的个数是唯一确定的,它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数. 四、正定二次型 1. 基本概念 正定二次型，正定矩阵;顺序主子式，负定二次型，半正定二次型，半负定二次型，不定二次型. 2. 基本结论 (1) 非退化线性替换保持实二次型的正定性不变. (2) 实二次型 f(x1,x2,?,xn)?X?AX正定? A 与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵 P,使得 A?P?P; A 的顺序主子式都大于零. f(x1,x2,?,xn)的正惯性指数等于 n. 篇二：二次型化为标准形的几种方法二次型化为标准形的几种方法 摘要：二次型是代数学要研究的重要内容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形。这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法。正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明。其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方。 关键词：正交变换法 配方法 初等变换法 雅可比方法 偏导数法 Several Methods of Changing the Quadratic into the Standard Abstract：Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observed to formula. Keywords: orthogonal transform method match method elementary transformation jacobian method partial derivative method 1. 引言 二次型是代数学中的一个极其重要的问题，这个问题不仅在数学上，而且在物理学，工程学，经济学领域都有广泛的应用。在研究时为了研究的方便，我们经常要化二次型为标准形，本文介绍了五种化二次型为标准形的方法，各种方法的解题思路步骤及依据在正文部分都有详细的说明，并且每种方法后面配有例题这样理解起来就会更加容易。正交变换法是常用的方法之一，需要求出特征值，特征值就是对应的平方项的系数；配方法需要通过观察依次对每项配方，直到各项全部配成平方为止；初等变换法用一系列的合同变换将二次型矩阵化成与之合同形式上又比较简单的对角矩阵；雅可比方法相对其他方法更为简便，但是它要求二次型矩阵的各阶顺序主子式都 不为零，然后通过固定的公式确定平方项的系数；偏导数法的实质与配方法是一样的，但是偏导数法有固定的步骤，相对更好实施。2.正交变换法 由于实对称矩阵必定与对角矩阵合同，因此任何实二次型必定可以通过一个适当的正交线性变换将此实二次型化简成为不含混合项的形式。 定理 1 1 任意一个实二次型?aijxixj，aij?aji 都可以经过正交的线性替换变成平 i?1j?1 nn 22 方和?1y12?2y2 其中平方上的系数?1,?2.?n 就是矩阵 A的特征多项式的全?.?nyn 部的根。 解题步骤 1 将实二次型表示成矩阵形式 f?XTAX并写出矩阵 A。 2 求出矩阵 A的所有特征值?,?.?，可能会出现多重特征值，分别记它们的重数为 12n k1,k2?,kn（k1?k2?kn=n） 3 求出每个特征值所对应的特征向量?,?,?，能解出与 n列出方程(?1E?A)X?0，12 ?1 对应的 k1个线性无关的特征向量。同理，对其他的特征值?2,?,?n 也是采用此方 法求出与之对应的特征向量。因为 k1?k2?kn=n，所以一共能出 n个特征向量。 4 将所求出的 n个特征向量?,?,?先后施行正交(转 载 于 : 小 龙文 档 网:二次型的规范型唯一吗)化，单位化得到?,?,?,?，记nn1212 为 C =(?1,?2?,?n)T 5 作正交变换 X?CY,则得二次型 f的标准形f=?y2?y2?.?y2 1122nn 例 1用上面所述的方法化下面的二次型 222 f(x1,x2,x3,x4)?x12?x2?x3?x4?2x1x2?6x1x3?4x1x4?4x2x3?6x2x4?2x3x4为标 准形。 解：（1）首先写出原二次型的矩阵 ?1?13?2?11?23? A=?3?21?1?23?11? 由 A的特征多项式 1?32?1 ?1?12?3?=(?3)(?7)(?1)(?1) ?E?A=?32?11?2?31?1? 从而得 A的特征值为?1=-3，?2=7，?3=-1，?4=1 （2）求特征向量，将?1=-3 带入(?1E?A)X?0 中，得到方程 ?4x1?x2?3x3?2x4?0 ?x?4x?2x?3x?0?1234 ? ?3x?2x?4x?x?0234?1?2x1?3x2?x3?4x2?0 解此方程可得出基础解系?1=(1,?1,?1,1)，同样地，分别把?2=7，?3=-1，?4=1 带入(?E?A)X?0 中，解方程能够得出与?2=7，?3=-1，?4=1 对应的基础 解系依次为?2=(?1,1,?1,1)，?3=(?1,?1,1,1)，?4=(1,1,1,1) （3）将所求出的特征向量正交化，方法如下： 令 ?1=?1=(1,?1,?1,1) ?2=?2? (?2,?1) ?1=(?1,1,?1,1) (?1,?1) (?3,?1)(?,?) ?1?32?2=(?1,?1,1,1) (?1,?1)(?2,?2) (?,?)(?4,?1)(?,?) ?1?42?2?43?3=(1,1,1,1) (?1,?1)(?2,?2)(?3,?3) ?3=?3? ?4=?4? （4）将已正交的向量组单位化，如下： 令 ?i?于是能够得到 ?i （i=1,2,3,4） ?i ?1=(1,?1,?1,1)，?2=(?1,1,?1,1)，?3=(?1,?1,1,1)，?4=(1,1,1,1) 所以 ?1?1?1? 1?11?1C= 2?1?11? ?111 12121212 1?1? 1?1?1?1?1?1? ?y1?y2? ?y3?y?4? 于是所求正交变换为 ?x1?x2?=1?x3?2?x?4? ?1?1?1? ?11?1?1?11? ?111 原二次型化为 22 f=?3y12?7y2?y3?y12 3. 配方法 配方法是解决这类问题时另一个常用方法，通过观察对各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换。使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像其方法是利用两数的平方和公式和两数的平方差公式逐步的xixj(i?j)这样的交叉项， 消去非平方项并构造新的平方项。 定理 21 数域 P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和 22 的形式。 d1x12?d2x2?.?dnxn 解题思路 使用配方法化二次型为标准形时，视具体情况又可以将二次型分为下面两种不同的情形： 1 如果二次型含有 x的平方项，那么先把含有 x的乘积项集中，然后再配方，再对其ii 余的项同样进行，直到都配成平方项为止，写出前面过程所经过的所有非退化的线性替换，就将二次型化为标准形了。 2 如果所给二次型中不含有 x平方项，但是aij?0(i?j),我们就可以用前面所提到的 i方法构造出平方项，可以先做出可逆的线性变换 ?xi?yi?yj ?x?y?y?jij ,(k?1,2,?,n 且 k?i,j) ? ?xk?yk 1 中的方法进代入到原二次型中，这时二次型中就含有平方项了，然后再按照上述 行配方。 2 例 2 用上述所给出的方法化二次型 f(x,x2,x3)?x12?2x1x2?2x2?4x2x3为标准形，写 出所用的变换矩阵。 解：原二次型中含有 xi的平方项，先将含有 x1的项集中，利用平方和公式消去 x1x2， 然后对 x2配平方，消去 x2x3项。此过程为 2222 f(x,x2,x3)?(x12?2x1x2?x2)?(x2?4x2x3?4x3)?4x3 2 ?x1?x2?x2?2x3?4x3 2 2 于是作非退化的线性替换： ?y1?x1?x2?x1?y1?y2?2y3 ?y?x?x?2?x2?y2?2y3 12?y?x?x3?y33?3? 即 ?x1?1?12?y1? ?x01?2?2?y2? ?x?001?y?3?3? 于是就得到 22 f(x,x2,x3)?y12?y2?4y3 所用的变换矩阵为 ?1?12? ?C?01?2? ?001? 篇三：二次型摘要：矩阵的二次型问题是矩阵论中的一个重要概念与应用,本文主要讨论主要阐述的是矩阵二次型的书写、标准型的求解、正定性的证明等诸多问题，并简单的举了一些实例来阐述这些应用.全文分三部分；在第一部分,简单介绍二次型的定义、对应矩阵的写法；在第二部分,标准型的求解 ；在第三部分，正定性的证明。 关键词：矩阵 二次型矩阵 线性替换 标准型 实矩阵 正定性 1 二次型及其矩阵表示 设 P是一个数域,aij?P,n 个文字 x1,x2,?,xn 的二次齐次多项式 f?x1,x2,?,xn?a11x12?2a12x1x2?2a13x1x3?2a1nx1xn ?a22x22?2a23x2x3?2a2nx2xn?annxn2 ?aijxixj, i?1j?1n n 设 n 阶对称矩阵 n 称为数域 P上的一个 n元二次型,简称二次型。 ?a11a12? a?a A?2122 ?aa?n1n2 则 n元二次型可表示为下列矩阵形式: ? a1n?a2n? , ?ann? ?a11a12?a?a f(x1,x2,?,xn)?(x1,x2,?,xn)?2122 ?a ?n1a2 ? a1n?x1?a2n?x2?T ?XAX. ?ann?xn? 其中 X?(x1,x2,?,xn)T.对称矩阵 A称为二次型的系数矩阵,简称为二次型的矩阵. 二次型与非零对称矩阵一一对应.即,给定一个二次型,则确定了一个非零的对称矩阵作为其系数矩阵;反之,给定一个非零的对称矩阵,则确定了一个二次型以给定的对称矩阵为其系数矩阵. 1 二次型 f?x1,x2,?,xn?可唯一的表示成 f?x1,x2,?,xn?XAX, 其中,X?x1,x2,?,xn?,A?aij ? n?n 为对称矩阵,称上式二次型的矩阵形式, 称 A为二次型的矩阵(都是对称矩阵),称 A的秩为二次型 f的秩.设 x1,x2,?,xn;y1,y2,?,yn 是两组文字,系数在数域 P中的一组关系式 ?x1?c11y1?c12y2?c1nyn ， ?x?cy?cy?cy ，?22112222nn （） ? ?xn?cn1y1?cn2y2?cnnyn . 称为由 x1,x2,?,xn到 y1,y2,?,yn的一个线性替换.或简称线性替换.用矩阵形式可写为 X?CY, 其中 X?x1,x2,?,xn?,C?cij ? ,Y?y1,y2,?,yn?.如果系数行列式 n?n C?0, 那么线性替换（）就称为非退化的. 数域 P上的 n?n矩阵 A,B称为合同的,如果有数域 P上的可逆的 n?n矩阵 C,使 B?CAC.替换后的二次型与原二次型的关系;合同的。 （证明略去） 如果二次型中只含有文字的平方项.即 f?x1,x2,?,xn?d1x12?d2x22?dnxn2, 称 f为标准型. 设 f?x1,x2,?,xn?是一实二次型,对于任意一组不全为零的实数 c1,c2,?,cn,如果都有 f?c1,c2,?,cn?0,那么f?x1,x2,?,xn?称为正定的;如果都有 f?c1,c2,?,cn?0,那么 f?x1,x2,?,xn?称为负定的;如果都有 f?c1,c2,?,cn?0, 那么 f?x1,x2,?,xn?称为半正定的;如果都有f?c1,c2,?,cn?0,那么 f?x1,x2,?,xn?称为半负定的;如果它既不半正定又不半负定,那么 f?x1,x2,?,xn?就称为不定的. 二次型的写法 例 1写出二次型的矩阵 22 ?x3?4x1x2?x1,x2,x3,?x12?4x2 解 应注意由 f?x1,x2,x3,?可知右端的二次型为 3元二次型,其对应矩阵做 成 3阶对称矩阵: ?120?. ?A?24? 0?1? 2 二次型的标准型问题 定理 1数域 P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平 方和的形式.(证明略)定理 2 在数域 P上,任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.也就是说,对于任意一个对称矩阵 A都可以找到一个可逆矩阵 C使 C?AC成对角矩阵。 用可逆的线性变换化二次型为标准型 方法 1 配方法 用配方法化二次型为标准型的关键是消去交叉项,其要点是利用两数和的平方公式与两数平方差公式逐步消去非平方项并构造新平方项.分两种情形来处理: 二次型中含某个变量 xi的平方项和交叉项. 先集中含 xi的交叉项,然后与 xi2配方,化成完全平方,令新变量代替各个平方项中的变量,即可做出可逆的线性变换,同时立即写出它的逆变换（即用新变量表示旧变量的变换）,这样后面求总的线性变换就比较简单.每次只对一个变量配平方,余下的项中不应在出现这个变量,再对剩下的 n?1个变量同样进行,直到各项全化为平方项为止. 二次型中没有平方项,只有交叉项. 先利用平方差公式构造可逆线性变换,化二次型为含平方项的二次型,如当 xixj 的系数 aij?0时,进行可逆的线性变换 xi?yi?yj,xj?yi?yj,xk?yk?k?i,j?代入二次型后出现平方项 aijyi2?aijy2j, 在按情形来处理. 方法 2 初等变换法 用可逆的线性变换 x?Py化二次型 f?XTAX为标准型 22f?d1y12?d2y2?dnyn,相当于对于对称矩阵 A找到一个可逆矩阵 P使 PTAP?D,其中 D?diag?d1,d2,?,dn?,即 A合同于对角矩阵 D.由于