第三章机床误差综合数学模型

第三章第三章 机床误差综合数学模型机床误差综合数学模型3.0 齐次坐标变换的基本概念3.1 齐次坐标变换的基本原理3.2 建立机床误差综合数学模型的基本方法3.3 建立机床误差综合数学模型的具体步骤3.4 建立机床误差综合数学模型实例3.0 齐次坐标变换的基本概念矩 阵矢 量转换矩阵 二维变换xBXBYByBPyAxA XAYAOBOA aXay解析式如图所示，设 P点在原坐标系 O1: X1Y1Z1中的坐标值为 (x1, y1, z1)， 当 O1: X1Y1Z1坐标系沿 X1轴 平移 x至新坐标系 O2: X2Y2Z2后，则 P点在新坐标系 O2: X2Y2Z2坐标系中的坐标值 (x2, y2, z2)与 (x1, y1, z1)的关系可表示为：式中： Trans(x) 表征沿 X1轴平移的 平移矩阵 。 齐次坐标变换的基本概念=Trans(x) 坐标系的坐标变换Homogeneous coordinate transformation of coordinate systemX1Y1Z1 Y2Z2X2O1O2yzxxyzPTrans(x) 三维变换类似的，沿 Y1轴和 Z1轴的平移矩阵分别为若 O1: X1Y1Z1坐标系绕 X1轴 旋转 x 后成为 O2: X2Y2Z2坐标系，则式中： Rot (x) 绕 X1轴的 回转矩阵 。Rot(x)类似地，绕 Y1轴和 Z1轴的 回转矩阵 可分别表示为 Trans(y) ； Trans(z) Rot(x) Rot (y) ； Rot (z) 齐次坐标变换的基本概念 三维变换在 坐标系的坐标变换 示意 图中，若坐标系 O1: X1Y1Z1先分别沿 X1、 Y1和 Z1轴 平移x、 y和 z， 再分别绕 X1、 Y1和 Z1轴 旋转 x、 y和 z， 则表征 O1: X1Y1Z1经上述平移、旋转后转换到新坐标系 O2: X2Y2Z2之间关系的 齐次坐标变换矩阵 为T=Trans (x)Trans (y)Trans (z) Rot (x) Rot (y) Rot (z) 当旋转角度 x、 y和 z非常小时，有sinxx; sinyy; sinzz; cosx1; cosy1; cosz1 当平移 x、 y和 z分别 有误差 x、 y和 z时，如忽略二阶以上微量，可将上式 齐次坐标变换矩阵 简化为 齐次坐标变换的基本概念 三维变换3.1 齐次坐标变换的基本原理3.1.1 齐次坐标变换定义设对已给有序数组（ x， y， z） 及与之对应的有序数组（ x， y， z）， 满足（齐次）关系：x = a11 x + a12 y + a13 z ,T： y = a21 x + a22 y + a23 z , （ 3-1）z = a31 x + a32 y + a33 z ,称 T是把有序数组（ x， y， z） 变到（ x， y， z） 的一个齐次线性变换。有序数组（ x， y， z） 称为在变换 T下的（ x， y， z） 的像，而（ x， y， z） 则称（ x， y， z） 的原像。方阵（ 3-2）称为齐次线性变换 T的方阵或齐次线性变换矩阵。若有序数组（ x，y， z） 及与之对应的有序数组（ x， y， z） 分别为两个空间坐标系A和 B中的两个位置坐标，则称 T是把坐标系 A中的位置坐标（ x， y， z） 变到坐标系 B中的位置坐标（ x， y， z） 的一个齐次坐标（线性）变换。3.1.2 变换矩阵 图 3-1 坐标之间的齐次变换3.1.2 变换矩阵如图 3-1所示， A、 B为二个空间坐标系，设 r为坐标矢量，则有rA = rB （ 3-3）其中 是从坐标系 B变换到 A的一个 44齐次变换矩阵，根据坐标变换原理有（ 3-4）若角度 、 和 变化很小，并忽略二阶量则变换矩阵 可为（ 3-5）TAB = 1110 0 0 1- +- +- +a ba gb ga ab bc c3.1.3 机床 运动误差的理论分析假定滑板 行进到 x 处，导轨无导向误差， 与 重合， O1在基准轴线 i上，则与滑板相固连的一点 P1（刀具或工件上任意点）处于理论位置，径矢 1P1=r1，在 和 三轴上分量（投影）均为 ，亦即 P1点在 里的理论坐标为 。如果此时刻，导轨存在导向误差，矢量 随同 沿 j、 k方向平 移 ； 绕 转动 角，则 P1滑板在床身或立柱的导轨上作直线运动时，有五个自由度被导轨约束，即两个方向的平移和三个方向的转动，而滑板前进方向的自由度由进给系统控制。为了清楚的表达导轨导向误差的变化和计量，可在床身（或立柱）导轨和滑板上各建立一个直角坐标系 和 ，如图所示。原点O1和基准轴线 i（ 与主轴轴线平行或垂直）的选择可根据导向误差的测量方法来确定。原点 O 通常随同加工误差的度量基准一起固定在导轨纵向相应的位置上。另外，在滑板上加一个参考坐标系 ，它的坐标系与 的坐标轴相应平行，并随滑板平移而不旋转。 r1点偏离理论位置，产生加工误差。 由导轨在水平面内和垂直面内对基准轴线 i的平行度（或垂直度）误差造成； 由前、后导轨的平行度误差（扭曲）造成； 和 分别由导轨在垂直面和水平面内的直线度误差（弯曲）造成。假定在 x 处仅有导向误差 ，并且矢量 随 分别绕 旋转，则转换到 里成为矢量例如，记矢量 绕 轴旋转 角而得到矢量 的坐标变换为 ，由解析几何可知，记列矩阵为 坐标变换矩阵为 同理，矢量 绕 轴旋转 、绕 轴旋转 而产生的坐标变换矩阵分别为 ，有 r1r1r1当矢量 顺次绕 轴旋转 角时，则 可通过矩阵相乘得出。即 符号 “ ” 表示记为。在上述三个旋转变换矩阵 的元素中，由于导轨导向误差 中角位移误差数值量很微小，可以作如下近： 。因此，三个旋转矩阵任意交换相乘都得到同一结果，亦即不论旋转的顺序如何，旋转坐标变换的矩阵都是相同的。即 的正负号按右手定则确定。在不考虑 的平移误差的情况下，在 x处， 里的 P1点在 里的实际坐标为 。已知 P1点在 的理论坐标为 ，则 P1点的线位移误差为式中 I 为单位矩阵；、 、 为由角位移误差所产生的线位移误差。 r1 r1综合考虑所由导向误差 、 以及进给系统的线位移误差 和由角位移误差所产生的线位移误差 、 和 ，则滑板行进到某处 x，固连于滑板任意点 的线位移误差为或 上式的数学模型可推广到用二对或三对直线导轨副进行二维或三维进给的加工场合。注意 是依位移不同而异的。 机床溜板运动误差示意图机床拖板运动表达的变换矩阵对于如图的机床拖板运动，图中 为转角误差（一般很小）， 为移动误差， x为理论移动距离或位置坐标。用下列变换矩阵可以表达拖板的运动。X1Y1Z1X2Y2Z2旋转运动副的运动误差Motion error of rotary joint立式数控机床的主轴可抽象为如图所示。理想情况下，它绕着名义轴 Z1轴旋转 z时，它的变换矩阵为转动副（主轴）的运动学模型由于主轴的变形、主轴与轴套之间存在间隙以及轴向窜动等原因，使得主轴存在转角误差分量 x、 y和 z， 平移误差分量 x、 y和 z。 此时，坐标系 O2: X2Y2Z2相对于坐标系 O1: X1Y1Z1的变换矩阵为 Tr=T1-2 T 3.2 建立机床误差综合数学模型的基本方法刀具与工件的联结链图刀具12-JJTJJT 1- 1+JJT21+ JJTKKT1-12-KKT10T参考处刀具分支工件分支工件 主轴刀具与工件之间的联结链图表达了两者之间的联系。由于刀尖和工件上正被切削的点为同一点，故刀具与工件之间的联结为封闭矢量链。误差运动综合数学模型可通过从刀具坐标系（坐标系 K） 到工件坐标系（坐标系 0）的链转换而得到。对于每个运动副，必须建立一个坐标系。由于不但要考虑几何误差还要考虑热误差，故除了这些运动坐标系外，还需几个静止坐标系，像刀具、工件或主轴坐标系等。若有 M个运动副和 N个静联接，则需要定义 M + N = K个坐标系，如下式，通过 K次坐标转换才能完成全部链的转换。工件的绝对坐标刀具的绝对坐标床 身 (AS)立柱 工作台(CS)滑 台 (BS)主轴头 (DS)ABCD建立机床误差综合数学模型图示3.3 误差运动综合模型建模的具体步骤建立一系列坐标系及转换矩阵 分别建立刀具、工件和基坐标系的关系 建立刀具和工件之间的关系YX刀具工件ABCDZ主轴滑台床身滑台拖板 T = (W + W)A B CD AD B C一、建立一系列坐标系二、建立一系列转换矩阵、分别建立刀具、工件和基坐标系的关系机床刀具 工件联结链Ot=OpOtOpOo机床刀尖与工件上被切削点是同一点三、建立刀具和工件之间的关系Wx = -xx + xy - xz - (Wz + Oxzz + z) yx + (Wy +Oxzy) zx + (Tz + L) yy - Ty zy - Wz yz + Wyzz + L ys - y Sxy + z Sxz + xyx - xzx + SxWy = -yx + yy - yz + (Wz + Oxzx + z ) xx - (Wx +Oxzx) zx - (Tz+L) xy + Tx zy + Wz xz - Wxzz - L xs + z Syz - xzy + xyy + SyWz = -zx + zy - zz - (Wy + Oxzy) xx + (Wx +Oxzx) yx + Ty xy - Tx yy - Wy xz + Wx yz+xyz - xzz + Sz误差综合数学模型3.4 误差运动综合模型建模实例（一）实例一： 车削中心的误差运动综合数学模型机床结构简图及坐标系坐标系设定机床结构简图及所设坐标系如下（见 下 图）：（ 1）坐标系 r ： 设在机床上，为参考坐标系 (固定坐标系 )；（ 2）坐标系 s： 设在主轴上，随主轴热变形而移动；（ 3）坐标系 c： 设在拖板上，随拖板沿 Z轴运动 (包括拖板热变形产生的运动 )而移动；（ 4）坐标系 t： 设在刀架上，随拖板沿 X轴运动 (包括刀架热变形产生的运动 )而移动。误差元素分析本机床为平面误差，所有误差产生在 Z-X平面内，影响机床精度的主要误差元素有 14个：（ 1）有关 Z轴：定位误差 zz， 直线度误差 xz， 转角误差 ，拖板坐标系 c原点相对于参考坐标系 r 沿 X、 Z方向的热漂移 和 ；（ 2）有关 X轴：定位误差 xx， 直线度误差 zx， 转角误差 ，刀架坐标系 t 原点相对于拖板坐标系 c沿 X、 Z方向的热漂移 和 ；（ 3）有关主轴：主轴沿 Z、 X方向的热漂移误差（主轴热变形）rsx、 rsz； 主轴和 Z轴的平行度误差 sz；（ 4） 其它： Z轴和 X轴的垂直度误差 zx。误差运动综合计算先把刀尖坐标表达在其所在坐标系（刀架坐标系）中，再根据齐次坐标转化原理转化到参考坐标系。然后，把工件上正在被切削点的坐标表达在其所在坐标系（主轴坐标系）中，同理转化到参考坐标系。根据刀尖和工件上正被切削点位于空间同一点，得这两部分的等式。最后，求解等式可得几何和热误差综合数学模型。对于本例，有关刀尖位置有：（ 3-8）其中： 为在参考坐标系 r 的刀尖位置矢量；为从刀架坐表系 t 到拖板坐标系 c 的转化矩阵；为从拖板坐表系 c 到参考坐标系 r 的转化矩阵；为在刀架坐表系 t 的刀尖位置矢量。有关工件位置有：（ 3-9）其中： 为工件理想尺寸矢量，为工件尺寸误差矢量；为在参考坐标系 r 中的工件尺寸矢量；为从主轴坐标系 s 到参考坐标系 r 的转化矩阵；为在主轴坐标系 s 中的工件尺寸矢量（工件实际尺寸矢量）。刀尖和工件上正被切削点应在同一点位置，故有：= （ 3-10）最后，求解式（ 3-10）可得工件尺寸误差（或误差运动）矢量 。假设机床没有任何误差，则易得：其中： Wz、 Wx分别为工件轴向、径向的理想尺寸；z、 x分别为为拖板 Z轴方向、刀架 X轴方向的运动行程；Mrcz、 Mrcx分别为参考坐标系与拖板坐标系原点之间 Z向、 X向的距离；Mctz、 Mctx分别为拖板坐标系与刀架坐标系原点之间 Z向、 X向的距离；Tz、 Tx为刀尖在刀架坐标系中的位置。（ 3-11）根据齐次坐标变化基本原理，可得：其中： rs为主轴相对于参考坐标轴 Zr的平行度误差。其中： rz为 Z运动轴相对于参考坐标轴 Zr的平行