第七章第三节不等式组与简单的线性规划09年9月更新

1第三节 不等式组与简单的线性规划第一部分 五年高考荟萃2009 年高考题一、选择题1. (2009山东卷理)设 x，y 满足约束条件 0,263yx，若目标函数 z=ax+by（a0 ，b0 ）的是最大值为 12，则 23ab的最小值为 ( ). A. 65 B. 8 C. 31 D. 4答案 A解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax+by= z（a0 ，b0）过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点（4,6）时,目标函数 z=ax+by（a0 ，b0 ）取得最大 12,即 4a+6b=12,即 2a+3b=6, 而 23ab= 2311325()()66abab,故选A.【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知 2a+3b=6,求 23ab的最小值常用乘积进而用基本不等式解答.2.（2009 安徽卷理）若不等式组034xy所表示的平面区域被直线 43ykx分为面积相等的两部分，则 k的值是 A. 73 B. C. 43 D. 答案 B解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分ABC由 34xy得 A（1 ，1） ，又 B（0，4） ，C（0 ， 43）x 2 2 y O -2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-y+2=0 AxDyCOy=kx+ 432 SABC = 14()23，设 ykx与 34y的交点为 D，则由 12BCDSA知 1D， 52D 57,k选 A。 3.（2009 安徽卷文）不等式组 所表示的平面区域的面积等于A. 23 B. 32C. 34 D. 43解析 由 40xy可得 (1,)C，故 S阴 = 12cABx，选 C。答案 C4.（2009 四川卷文）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨，B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨，B 原料 3 吨，销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元。该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过13 吨，B 原料不超过 18 吨.那么该企业可获得最大利润是A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元答案 D解析 设生产甲产品 x吨，生产乙产品 y吨，则有关系：A 原料B 原料甲产品 吨 3 x 2 x乙产品y吨y 3 y则有： 18320yx目标函数 z5作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：当 x3， y5 时可获得最大利润为 27 万元，故选 D5.（2009 宁夏海南卷理）设 x,y 满足241,xyzxy则A.有最小值 2，最大值 3 B.有最小值 2，无最大值C.有最大值 3，无最小值 D.既无最小值，也无最大值答案 B解析 画出可行域可知，当 zxy过点（2，0 ）时， min2z，但无最大值。选 B.（3 ， 4）（0 ， 6）O （ ，0）1yx91336.（2009 宁夏海南卷文）设 ,xy满足24,1,y则 zxyA.有最小值 2，最大值 3 B.有最小值 2，无最大值C.有最大值 3，无最小值 D.既无最小值，也无最大值 答案 B解析 画出不等式表示的平面区域，如右图，由 zxy ，得 yxz ，令 z0，画出yx 的图象，当它的平行线经过 A（2,0）时，z 取得最小值，最小值为：z2，无最大值，故选.B7.(2009 湖南卷理)已知 D 是由不等式组 203xy，所确定的平面区域，则圆 24xy在区域 D 内的弧长为 BA . B. 2 C. 34 D. 32答案 B解析 解析如图示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率4分别是 1,23，所以圆心角 即为两直线的所成夹角，所以1|()|23tan|（ ），所以 4，而圆的半径是 2，所以弧长是 2，故选 B 现。8.（2009 天津卷理）设变量 x，y 满足约束条件：31xy.则目标函数 z=2x+3y 的最小值为A.6 B.7 C.8 D.23答案 B【考点定位】本小考查简单的线性规划，基础题。解析 画出不等式312xy表示的可行域，如右图， 让目标函数表示直线 3zxy在可行域上平移，知在点 B 自目标函数取到最小值，解方程组 32x得 )1,2(，所以 74minz，故选择 B。 8642-2-4-15 -10 -5 5 10 152x-y=3x-y=1x+y=3qx = -2x3 +7hx = 2x-3gx = x+1fx = -x+3AB9.（2009 四川卷理）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨。销售每吨甲产品可获得利润 5万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元，该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，B 原料不超过 18 吨，那么该企业可获得最大利润是 A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元 答案 D【考点定位】本小题考查简单的线性规划，基础题。 （同文 10）解析 设甲、乙种两种产品各需生产 x、 y吨，可使利润 z最大，故本题即5已知约束条件 01832yx，求目标函数 yxz35的最大 值，可求出最优解为 4，故 271maxz，故选 择 D。10.（2009 福建卷文）在平面直角坐标系中，若不等式组10xya（ 为常数）所表示的平面区域内的面积等于 2，则 a的值为A. -5 B. 1 C. 2 D. 3 答案 D解析 如图可得黄色即为满足 010101 yaxyx的 可 行 域 ， 而与 的直线恒过（0，1） ，故看作直线绕点（0，1 ）旋转，当 a=-5 时，则可行域不是一个封闭区域，当 a=1 时，面积是 1；a=2 时，面积是 23；当 a=3 时，面积恰好为 2，故选D.二、填空题11.（ 2009 浙江理）若实数 ,xy满足不等式组2,40,xy则 3xy的最小值是 答案 4 解析 通过画出其线性规划，可知直线 23yxZ过点 ,0时， min234xy612.（ 2009 浙江卷文）若实数 ,xy满足不等式组2,40,xy则 3xy的最小是 【命题意图】此题主要是考查了线性规划中的最值问题，此题的考查既体现了正确画线性区域的要求，也体现了线性目标函数最值求解的要求解析 通过画出其线性规划，可知直线 23yxZ过点 ,0时， min234xy13.（ 2009 北京文）若实数 ,xy满足0,4,5则 sy的最大值为 .答案 9解析：本题主要考查线性规划方面的基础知. 属于基础知识、基本运算的考查. 如图，当 4,5xy时，9s为最大值. 故应填 9.14.（ 2009 北京卷理）若实数 ,xy满足2045则 syx的最小值为_.答案 6解析 本题主要考查线性规划方面的基础知. 属于基础知识、基本运算的考查.如图，当 4,2xy时， 7246syx为最小值.故应填 .15.(2009 山东卷理)不等式 021x的解集为 . 答案 |x解析 原不等式等价于不等式组 21()0x或12()0x或12()(0x不等式组无解,由得 12x,由得 12x,综上得 ,所以原不等式的解集为 |1x. 16.(2009 山东卷文)某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品, 甲种设备每天能生产 A类产品 5 件和 B 类产品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲每天的租赁费为 200 元, 设备乙每天的租赁费为 300 元, 现该公司至少要生产 A 类产品 50 件,B 类产品 140 件,所需租赁费最少为_ 元. 答案 2300解析 设甲种设备需要生产 x天, 乙种设备需要生产 y天, 该公司所需租赁费为 z元,则203zxy，甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品的情况为下表所示 : 产品 设备 A 类产品 (件)(50) B 类产品 (件)( 140) 租赁费 (元) 甲设备 5 10 200 乙设备 6 20 300 则满足的关系为0124,xy即:610524,xy, 作出不等式表示的平面区域,当 03zxy对应的直线过两直线610524xy的交点(4,5)时，目标函数 2取得最低为 2300 元. 8【命题立意】:本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格, 找出线性约束条件 ,写出所研究的目标函数, 通过数形结合解答问题 17.（ 2009 上海卷文） 已知实数 x、y 满足23x则目标函数 z=x-2y 的最小值是_. 答案 9解析 画出满足不等式组的可行域如右图，目标函数化为： xy21z ，画直线xy21及其平行线，当此直线经过点 A 时，z 的值最大， z 的值最小，A 点坐标为（3,6） ，所以，z 的最小值为： 32 69。2005-2008年高考题一、 选择题1、 （2008 山东）设二元一次不等式组 0142,89yx，所表示的平面区域为 M，使函数y ax(a0， a1)的图象过区域 M的 a的取值范围是( )A .1,3 B.2, 10 C.2,9 D. 1,99答案 C解析 本题考查线性规划与指数函数。如图阴影部分为平面区域 M， 显然 1a，只需研究过 (1,9)、 3,8两种情形。 19a且 38即 29.a2、 （2008 广东）若变量 xy， 满足2405xy，则 32zxy的最大值是（ ）A90 B80 C70 D40答案 C解析 画出可行域（如图） ，在 (10,2)点取最大值 max31027z3 （ 2007 北京）若不等式组xya ， ， ， 表示的平面区域是一个三角形，则 a的取值范围是 （ ） 43a 01 413 01a 或 43答案 D4.（2007 天津）设变量 xy，满足约束条件 3xy，则目标函数 4zxy的最大值为 （ ）161412108642y=f(x)3,8 2,10 1,9 104 11 12 14答案 B5、 （2008 山东）10、 （2006 山东）已知 x和 y是正整数，且满足约束条件 .72,10xy则x2x 3y的最小值是(A)24 (B)14 (C)13 (D)11.5答案 B6、 （2006 广东）在约束条件 420xys下，当 53s时，目标函数 yxz23的最大值的变化范围是 ( )A. 15,6 B. 15,7 C. 8,6 D. 8,7答案 D7、 （2006 天津）设变量 x、 y满足约束条件 632xy，则目标函数 yxz2的最小值为 （ ）A 2 B 3 C 4 D 9答案 B8、 （2006 安徽）如果实数 xy、 满足条件10xy，那么 2xy的最大值为（ ）A 2 B 1 C 2 D 3答案 B9、 （2006 辽宁）双曲线 24xy的两条渐近线与直线 x围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是 （ ）(A)03xy(B)03xy(C) 03xy(D) 03xy答案 A10. (2005重庆)不等式组 1)(log2|x的解集为 ( )11A.(0, 3)； B.( 3,2)； C. ( 3,4) D.(2,4)设 xy， 满足约束条件2051xyy， ， 则 2z的最大值为 答案 11解析 本小题主要考查线性规划问题。作图(略)易知可行域为一个四角形,其四个顶点分别为 0,， (),， 20， (35),， 验证知在点 (35)， 时取得最大值 11.11 （ 2007 浙江）设 m为实数，若 220(,)(,)|5xyxym，则 m的取值范围是_ 。答案 0 m4312（ 2007 湖南） 设集合 ()|2|0Axyx， ， ， ()|Bxyxb， ，AB，（1 ） b的取值范围是 ；（2 ）若 ()xyB， ，且 xy的最大值为 9，则 b的值是 答案 （1） ， （2）914 （ 2007 福建）已知实数 x、y 满足203y，则 2Zxy的取值范围是_；答案 5,7解：令 12xe2（x2） ，解得 1x2。令 23log(1)x2（ x2）解得 x（ 10，+）选C15、 （2006 全国）设 zyx，式中变量 xy、 满足下列条件 123yx则 z的最大值为_。12答案 1116、 （2006 北京）已知点 P（x，y）的坐标满足条件4,1xy点 O为坐标原点，那么|PO |的最小值等于 ,最大值等于 ,答案 2 1017、 （ 2005 山东设 ,xy满足约束条件5,3210,4.xy则使得目标函数 65zxy的值最大的点 (,)是_答案 （2，3 ） 18、 （ 2005 福建）非负实数 yx,满足 yxy3,02则 的最大值为 答案 919、 （ 2005 江西）设实数 x, y 满足 的 最 大 值 是则 xyy,0324 答案 32.第二部分 三年联考题汇编2009 年联考题一、选择题1、 （山东省乐陵一中 2009届高三考前练习 ）若实数 x，y 满足不等式 1,024xyyx则的取值范围是（ ）A 31,B 31,C 2,D ,21答案 C132、 （山东省乐陵一中 2009届高三考前练习 ）已知满足约束条件 305xy，则yxz4的最小值是 （ ）A5 B6 C10 D10答案 B3福建省福州市普通高中 09年高三质量检查已知实数 yxzyx2,305, 则 目 标 函 数满 足的最小值为 （ ）A6 B3 C 5D19答案 B4. (北京市西城区 2009年 4月高三一模抽样测试文)设实数 x, y满足503x，则3zxy的最小值为（ ）A. 6- B. 3 C. 5 D. 27答案 A5(北京市崇文区2009年3月高三统一考试理)在如图所示的坐标平面 的可行域内（阴影部分且包括边界） ，若目标函数 z x ay取得最 小值的最优解有无数个，则 yxa的最大值是 ( ) A 23 B 25 C 16 D 14 答案 B6(北京市崇文区2009年3月高三统一考试文)在如下图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界） ，若目标函数 z x ay取得最小值的最优解有无数个，则 a等于 ( ) A1 B 1 C 3 D 3答案 B 7、 （ 2009 福州三中理）已知 x，y 满足 107y则 S=|y-x|的最大值是_ 。答案 3148、 （ 2009福州三中文）已知x，y满足 1073yx则S= yx4的最大值_。答案 99、 （ 2009 厦门一中）设二元一次不等式组2108 (04 xxyMya 所 表 示 的 平 面 区 域 为 ， 若 函 数,1)a的图象没有经过区域 ,Ma则 的取值范围是_答案 （0，1 ） （1 ，2） （9，+） ；w.w.10、 （2009 广东三校一模）若点 y)x,（ 在不等式组 021yx表示的平面区域内运动，则 yxt的取值范围是1,2.A1,2.B 2,1.C 2,1.D 答案 A11、 （2009 东莞一模）已知点 ),(yxP满足条件 yxzkyx3),(02, 若为 常 数 的最大值为 8，则 k .答案 612、 （2009 茂名一模）已知实数 ,xy满足不等式组2045xy,目标函数()zyaxR.若取最大值时的唯一最优解是(1,3),则实数 a的取值范围是 .答案 1,13、 （2009 湛江一模）若 x , y满足约束条件 30xy，则 yxz2的最大值为 答案 914、 （ 2009 潮州实验中学一模）满足不等式15组 0,8732yx，则目标函数 yxk3的最大值为 答案 415、 （山东省乐陵一中 2009届高三考前练习）已知变量230, .1xyxy满 足 约 束 条 件 若 目 标 函 数za（其中 a0）仅在点（3，0）处取得最大值，则 a 的取值范围为 。16、 （山东省乐陵一中 2009届高三考前练习）已知变量 x， y满足 2,5xy 则 2xyz的最大值为_. 17.安徽省示范高中皖北协作区 2009届高三第一次联考试题.已知函数2,01fx，则不等式 4fx的解集为 答案 （-，2） （3，+）18、安徽省示范高中皖北协作区 2009届高三第一次联考试题.已知实数 ,xy满足条件10,3xyzyax，若使 z取得最大值的有序数对 ,有无数个，则 a= 答案 1/319、 （山东省乐陵一中 2009届高三考前练习）某公司计划 2009 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告，广告总费用不超过 9 万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为 50元/分钟和 200 元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？【解】设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x分钟和 y分钟，总收益为 z元，由题意得 30529. ， ， ， 3 分目标函数为 302zxy5 分0 100 200 300100200300400500yxl M16二元一次不等式组等价于30529.xy ， ， ， 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行 域 8 分如图：作直线 :3020lxy，即 2xy平移直线 l，从图中可知，当直线 l过 M点时，目标函数 取 得最大值联立 30529.xy， 解得 102xy， 点 M的坐标为 ()， 10 分max3070zy（元）答：该公司在甲电视台做 100 分钟广告，在乙电视台做 200 分钟广告，公司的收益最大，最大收益是 70 万元 12 分9 月份更新一、选择题1.（2009 临沂一模）若实数 x，y 满足 10y，则 1yx的取值范围是A、 （1，1 ） B、 （，1）(1,) C、 （，1） D1, )答案 B2.（2009 上海十四校联考）实数 x、y 满足不等式组kyx3,0,8732则 目 标 函 数的最大值为 答案 43.（2009 临沂一模）如果一个二元一次不等式组表示的平面区域是图中的阴影部分（包括边界） ，则这个不等式组是 。17答案 012xy4.（2009 上海闸北区）设实数 yx,满足条件 .32,0yx则 yxz2的最大值是_.答案 45.（2009 日照一模理）设 223120: ,: ,0xypxyRqxyrxyRr、 、若 qp是 的充分不必要条件，则 r 的取值范围是 .答案 （0， 1256.